高考数学 热点题型和提分秘籍 专题11 函数与方程 文（含解析）

专题11函数与方程【高频考点解读】1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．【热点题型】题型一函数的零点例1．函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为()A．4B．5C．6D．7【提分秘籍】1.若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点．2．由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶次零点)时，函数值变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．3．若函数f(x)在[a，b]上单调，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．4.判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【举一反三】函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)【热点题型】题型二由函数零点存在情况求参数问题例2．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当－1<x≤1时，f(x)＝x3，若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有5个零点，则a的取值范围是()A．(1,5) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,5)))∪[5，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,5)))∪[5，＋∞) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，1))∪(1,5]【提分秘籍】已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．【举一反三】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋1，x>0,－x2－2x，x≤0，))若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．【热点题型】题型三二次方程实数根的分布问题例3．关于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0，当a为何实数时：(1)方程有两个不同正根；(2)方程在(1,3)内有两个不同实数根；(3)方程有一根大于2，另一根小于2.【提分秘籍】二次方程实数根的分布问题主要是构造二次函数之后，数形结合从判别式Δ，对称轴与区间关系及区间端点值符号三个方面得出条件，解决时要注意逐一方面进行验证．【举一反三】若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))【热点题型】题型四判断函数零点(方程根)所在的区间例4、在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))【提分秘籍】判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用零点存在性定理进行判断；(3)画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．【举一反三】函数f(x)＝log2x－eq\f(1,x)的零点所在的区间为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(1,2) D．(2,3)【高考风向标】1．（·北京卷）已知函数f(x)＝eq\f(6,x)－log2x，在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，4)D．(4，＋∞)2．（·浙江卷）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则()A．c≤3B．3＜c≤6C．6＜c≤9D．c＞93．（·重庆卷）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)－3，x∈（－1，0]，,x，x∈（0，1]，))且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，－2))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(11,4)，－2))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，－2))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(11,4)，－2))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))4．（·福建卷）函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2，x≤0，,2x－6＋lnx，x＞0))的零点个数是________．5．（·湖北卷）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3}B．{－3，－1，1，3}C．{2－eq\r(7)，1，3}D．{－2－eq\r(7)，1，3}6．（·江苏卷）已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋\f(1,2))).若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．7．（·江西卷）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·2x，x≥0，,2－x，x<0))(a∈R)．若f[f(－1)]＝1，则a＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2【答案】A【解析】因为f(－1)＝21＝2，f(2)＝a·22＝4a＝1，所以a＝eq\f(1,4).8．（·浙江卷）设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋2，x≤0，,－x2，x＞0.))若f(f(a))＝2，则a＝________.9．（·全国卷）函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1，2)是增函数，求a的取值范围．10．（·天津卷）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x2＋5x＋4|，x≤0，,2|x－2|，x＞0.))若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．【随堂巩固】1．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则可以是（）A．B．C．D．2．用表示a，b两个数中的最大数，设，若函数有2个零点，则k的取值范围是（）A．B．