辽宁省盘锦市第二高级中学2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题含解析

PAGE17-辽宁省盘锦市其次高级中学2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直线的斜率，由此可得出该直线的倾斜角.【详解】直线的斜率为，该直线的倾斜角为.故选：D.【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，一般要求出直线的斜率，考查计算实力，属于基础题.2.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：抛物线化为标准方程，则，所以准线方程为，故答案为D．考点：抛物线的性质．3.已知，则下列向量中与平行的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据空间向量共线的等价条件推断即可.【详解】对于A选项，，A选项中的向量与不平行；对于B选项，，B选项中的向量与不平行；对于C选项，，C选项中的向量与不平行；对于D选项，，D选项中的向量与平行.故选：D.【点睛】本题考查空间向量共线的推断，考查计算实力与推理实力，属于基础题.4.已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出线段斜率，可得出其垂线的斜率，并求出线段的中点坐标，利用点斜式可得出线段的垂直平分线的方程，化为一般式即可.【详解】线段的中点坐标为，直线的斜率为，则线段的垂直平分线的斜率为，因此，线段的垂直平分线的方程为，整理为．故选：B.【点睛】本题考查线段垂直平分线方程的求解，要求出线段的中点坐标与垂线的斜率，考查计算实力，属于基础题.5.在锐角中，角所对的边长分别为.若（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：考点：正弦定理解三角形6.已知椭圆两焦点间的距离为，且过点，则椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的定义求出，再结合半焦距求出的值，从而可得出椭圆的标准方程.【详解】由题意知，椭圆的焦点坐标为，由椭圆的定义得，，.因此，椭圆的标准方程为.故选B.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，在涉及椭圆的焦点时，可以充分利用椭圆的定义来求解，考查计算实力，属于中等题.7.等差数列前几项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于（）A.1 B. C.2 D.3【答案】C【解析】设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得.本题选择C选项.8.在直三棱柱中，若，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出异面直线与所成角的余弦值.【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，，，则，所以，，因此，异面直线与所成角的余弦值为.故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解是解答的关键，考查计算实力，属于基础题.9.若点和点分别为椭圆的中心和右焦点，为椭圆上随意一点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设点的坐标为，可得，且有，然后利用平面对量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求出的最小值.【详解】设点的坐标为，则，且有，，，，，当时，取得最小值.故选：C.【点睛】本题考查椭圆中向量数量积最值的计算，涉及到椭圆的有界性，考查计算实力与函数方程思想的应用，属于中等题.10.已知等比数列的公比且，其前项和为，则与的大小关系为（）A. B.C. D.不能确定【答案】B【解析】【分析】利用和表示与，然后利用作差法可比较出与的大小关系.【详解】，因此，.故选：B.【点睛】本题考查等比数列中相关项的大小比较，一般利用首项和公比相应的项进行表示，考查推理实力与计算实力，属于中等题.11.已知是双曲线上的点、是其左、右焦点，且，若的面积为，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理与双曲线的定义可求出，结合三角形的面积公式可求出的值.【详解】由得，由勾股定理得，由双曲线的定义得，，所以，则的面积为，，解得.故选：B.【点睛】本题考查焦点三角形面积的计算，涉及双曲线的定义和勾股定理的应用，考查计算实力，属于中等题.12.已知F是椭圆C：(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆相切于点Q，（其中为椭圆的半焦距），且则椭圆C的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先利用几何关系找到a、b的比例关系，然后计算椭圆的离心率即可.【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为F1,连接PF1，设圆心为C，则圆心坐标为,半径为，∴|F1F|=3|FC|，∵PQ=2QF,∴PF1∥QC,|PF1|=b，∴|PF|=2a−b，∵线段PF与圆相切于点Q，∴CQ⊥PF，∴PF1⊥PF，∴b2+(2a−b)2=4c2，，,则，.故选：A.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只须要依据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：13.已知直线：，：，则直线，之间的距离为______.【答案】【解析】【分析】将直线的方程化为,再利用两平行线的距离公式求解.【详解】直线的方程可化为,则直线,之间的距离为,故答案为:.【点睛】本题考查求两平行线间的距离,留意应用公式时,两平行线方程必需是一般式方程,且的系数对应相等.14.设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则________．【答案】【解析】【分析】依据双曲线的焦点坐标可得出关于的等式，解出即可.【详解】由于点是双曲线的一个焦点，则，解得.故答案为：.【点睛】本题考查依据双曲线的焦点坐标求参数，考查运算求解实力，属于基础题.15.斜率为的直线经过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点，则线段的长为________．【答案】【解析】【分析】先依据抛物线的焦点坐标得出抛物线的标准方程，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可计算出线段的长.【详解】由于抛物线的焦点为，则，所以，抛物线的方程为，设点、，直线的方程为，联立，消去得，，．故答案为：.【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，涉及韦达定理与抛物线定义的应用，考查计算实力，属于中等题.16.已知圆与圆在第一象限内交点为，过点的直线与圆及圆的另一交点分别为，．若，则直线的斜率为______．【答案】【解析】【分析】依据题意，联立圆和圆的方程，可求出点的坐标，设直线的斜率为，依据直线点斜式求得直线的方程，利用点到直线的距离公式分别求出点和点到直线的距离和，再由，得出，再依据直线与圆的弦长公式分别求出和，从而可求出直线的斜率.【详解】解：由题可知，圆与圆在第一象限内的交点为，联立，解得：，则，故，设直线的斜率为，则的方程为：，即直线的方程为：，则点到直线的距离，点到直线的距离，由，得为线段的中点，则，又，，∴，则，即，解得：.即直线斜率为.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆的弦长公式、点到直线的距离公式，以及直线的斜率和点斜式方程，考查化简运算实力.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.已知圆，直线．（1）求圆的圆心坐标和半径；（2）若直线与圆相切，求实数的值．【答案】（1）圆心坐标为，半径为；（2）或.【解析】【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，可得出圆的圆心坐标和半径；（2）利用圆心到直线的距离等于半径，可得出关于的等式，进而可解得实数的值.【详解】（1）圆的方程化为标准方程为：，故圆的圆心坐标为，半径为;（2）圆心到直线的距离为，整理得，解得，故实数的值为或．【点睛】本题考查圆心坐标与半径的求解，同时也考查了利用直线与圆相切求参数，考查计算实力，属于基础题.18.在中，内角、、所对的边分别为、、，已知．（1）求值；（2）若的面积为，，求、的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）将题干中的等式变形为，利用余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）依据三角形的面积公式和余弦定理列出关于、的方程组，解出即可.【详解】（1）将等式变形为，由余弦定理得，，故；（2）由题意有：，整理得，解得或．【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了利用余弦定理和三角形面积求边长，考查运算求解实力，属于基础题.19.在等比数列中，，，且，又、的等比中项为．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对随意恒成立？若存在，求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，且最小值为．【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，依据题意求出和的值，即可求出的值，然后利用等比数列的通项公式可得出数列的通项公式；（2）求出与，利用裂项求和法求出，可得出该代数式的取值范围，由此可得出正整数的最小值.【详解】（1）设数列的公比为，由题意可得，故，，，，；（2），．，，因此，正整数的最小值为．【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了数列不等式的恒成立问题，涉及等差数列的前项和以及裂项求和法的应用，考查计算实力，属于中等题.20.已知抛物线与直线相交于、两点，为坐标原点．（1）求证：；（2）当的面积等于时，求的值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）设点、，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，利用平面对量数量积的坐标运算计算出，即可证明出；（2）由题意得出的面积为，代入韦达定理即可求得的值.【详解】（1）设，，若，则抛物线与直线只有一个交点，所以，，联立方程，消去得，则有．因为，，所以．所以，故；（2）由题可知直线经过点，则可拆分为和．所以．因为，，所以，所以当时，有，解得．【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，涉及两直线垂直的证明以及利用三角形的面积求参数，考查运算求解实力与推理实力，属于中等题.21.如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】【分析】（1）取的中点，连接，证明出四边形为平行四边形，由此可得出各边边长，利用勾股定理逆定理可证明出，进而得出，再由侧棱底面，可得出，利用线面垂直的判定定理可证明出平面；（2）以为原点，、、的方向为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，计算出平面的一个法向量，利用空间向量法可求出直线与平面所成角的正弦值．【详解】（1）取的中点，连接．，，四边形为平行四边形，且．在中，，，，，，即，又，所以．平面，平面，．又，平面；（2）以为原点，、、的方向为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，．设平面的法向量，则由，得，取，得．设直线与平面所成角为，则．因此，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查推理实力与计算实力，属于中等题.22.已知椭圆，焦距为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若始终线与椭圆相交于、两点（、不是椭圆的顶点），以为直径的圆过椭圆的上顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2）存在，直线过定点．【解析】【分析】（1）依据椭圆的焦距求出的值，进而可得出椭圆的标准方程；（2）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，依据以为直径的圆过椭圆的上顶点，得，利用平面