2024年广东省茂名市某中学中考二模数学试题（教师版 ）

2024年广东省茂名市实验中学中考二模数学押卷试题

一、选择题

1.-2024的倒数是（

11

A.-2024B.2024C.--------D.------

20242024

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案.

1

【详解】解：；一2024x=1

2024

.••-2024的倒数为-——

2024

故选：C.

2.“墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有暗香来.”出自宋代诗人王安石的《梅花》，梅花的花粉直

径约为0.000036m,用科学记数法表示为3.6xl（Tm，则"的值为（）

A.-4B.-5C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中

1W忖＜10,“为整数，解题的关键是确定。的值以及"的值.确定〃的值时，要看把原数变成。时,

小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：0.000036=3.6x10-5,

故选：B.

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查了几何体的三视图，俯视图是从上往下看，即可得到结果，正确得到俯视图是解题的关

键.

【详解】解：从上往下看，是一个矩形，看不见的线为虚线，所以左右两边为两条虚线，在两条虚线的中

间有两条实线，

故选：C.

4.下列调查中，最适宜采用全面调查的是（）

A,对我国中学生身高状况的调查B.调查某批次汽车抗撞能力

C.调查春节联欢晚会的收视率D,了解某班学生身高情况

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵

活选用.对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度

要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.

【详解】解：A、对我国中学生身高状况的调查，适合抽样调查，故A选项错误；

B、调查某批次汽车抗撞能力，适合抽样调查，故B选项错误；

C、调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故C选项错误；

D、了解某班学生身高情况，适于全面调查，故D选项正确.

故选：D.

5.把不等式x+3<6的解集在数轴上表示出来，正确的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集.不等式的解集在数轴上表示的方

法：“>”空心圆点向右画折线，“2”实心圆点向右画折线，“〈”空心圆点向左画折线，实心

圆点向左画折线.在数轴上正确表示出不等式的解集是解题的关键.先求出不等式的解集，再根据不等式

的解集在数轴上表示方法画出图示即可.

【详解】解：x+3<6

将不等式移项得：x<6-3,

合并同类项得：x<3,

将不等式的解集表示在数轴上如下：

mRimr.1mmev,

/雄：，可熟点圈第

故选：D.

6.下列运算正确的是（）

A.a4-a3=aB.a4-a3=a1C.D.（a,=a

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查合并同类项，同底数塞的乘法和除法，塞的乘方，掌握其运算法则是解题的关键.

【详解】A./、/不是同类项，不能合并，原计算错误；

B.a4-a3=a7>计算正确；

C.原计算错误；

D.（叫=〃2,原计算错误；

故选B.

7.为培养青少年科技创新能力，科技制作实践活动设置了无人机、3。动画、计算机编程三个项目组，若

小明和小红都选择了科技制作活动，则他们被抽到同一个项目组的概率是（）

1124

A.-B.-C.—D.一

2339

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了用树状图法求概率，树状图可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两

步以上完成的事件，准确画出树状图是解题的关键.

画树状图，共有9种等可能性的结果，其中小明和小红恰好选择同一个项目组的结果有3种，再由概率公

式求解即可.

【详解】解：把无人机、3。动画、计算机编程分别记为4B、C,

画树状图如下:

ABC

/4\/N/N

ABCABCABC

共有9种等可能的结果，其中小明和小红恰好选择同一个项目组的结果有3种，

31

・•.他们被抽到同一个项目组的概率为一=一,

93

故选：B.

8.小明同学设置了一个数值转换机，其原理如图所示，如果第一次输入x的值为2,可以发现第一次输出

的结果是1,第二次输出的结果是4,…，那么第2024次输出的结果是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】此题考查了代数式求值，根据数值转换机中的规律，确定出第2024次输出的结果即可.

【详解】把x=2代入程序中得：-x2=l；

2

把x=l代入程序中得：1+3=4；

把x=4代入程序中得：-x4=2；

2

把尤=2代入程序中得：晨2=1；

2

把x=l代入程序中得：1+3=4；

故输出的结果是1、4、2循环，

依此类推，

2024+3=674…2,

.,.第2024次输出的结果为4.

故选：D.

9.点幺（2,%），8（4,必）是抛物线昨尤2_2wx+l上的两个点，且丹〉%,则加的值可以是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查二次函数的性质，求出力和%,再根据%>%求解即可.

【详解】方法一：•••点4(2,%),8(4,%)是抛物线昨》2_2蛆+1上的两个点,

必=4一4m+1,y2=16-8m+1,

,,,%%，

4—4m+1>16—8m+1,

解得m>3,

故选：A；

方法二：由题意得，抛物线的对称轴为直线》=加.

:抛物线的开口向上，2<4且%>%,

易得抛物线的对称轴在直线x=3的右侧.

'.m的取值范围是加>3.

故选：A.

10.如图，抛物线y=a?+6x+c(aH0),与x轴交于点(-3,0),其对称轴为直线x=—l,结合图象给

出下列结论：

①b+2a=0；@4a+c<2b；

@a+b+c=0；④对于任意实数〃,a<a”？+6〃.

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查二次函数的图象和性质.根据二次函数图象的开口方向、对称轴、交点坐标、最值，逐

项判断即可.

【详解】解：•••对称轴为x=-1,

----=-1,即b=2a,

2a

■■-b-2a=Q；

故①错误，

由图象可知当x=—2时，y^4a-2b+c<0,

4a+c<2b,

故②正确；

•••抛物线y=ax2+bx+c(aw0),与x轴交于点(一3,0),其对称轴为直线x=—1,

••・抛物线y=加+氏+0(。00)与工轴的另一个交点为(1,0),

・•・当x=l时，歹=a+Z?+c=O,

故选项③正确；

:抛物线y=加+及+c(a00)抛物线开口向上，其对称轴为直线x=-1,

・•・当x=-1时，函数有最小值y=。-b+c,

二对于任意实数〃,a-b+cVan2+bn+c.

二对于任意实数"，a-b<an2+bn

故选项④正确，

综上所述正确的有：②③④.

故选：C.

二、填空题：

11.若关于x的一元二次方程H2一2x-l=0有两个不相等的实数根，则实数人的取值范围是.

【答案】上>一1且左70

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，明确根的判别式与根的个数之间的关系是解答此题的关键.

根据一元二次方程有两个不相等的实数根则得判别式〃—4ac>0，且二次项系数不为0,列含k的不等式,

求解即可.

【详解】解：•••一元二次方程去2-2x-1=0有两个不相等的实数根,

.•・△=(—2『一4左x(—1)〉0且上70,

.•・4+4左＞0,且无工0,

解得左＞—1且左70.

故答案为：女＞一1且女70

12.分解因式：x3y-6x2y+9xy=

【答案】xy(x-3)2

【解析】

【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是

解题的关键.

【详解】解：原式=町卜2—6x+9)=盯(x—3)~,

故答案为：xy(x-3)2.

13.如图，半径为4的。(9中，CD为直径，弦48LC。且过半径OD的中点，点E为。O上一动点,

CF上4E于点、F.当点E从点3出发逆时针运动到点C时，点厂所经过的路径长为

【解析】

【分析】连接NC,AO,由4gl.c利用垂径定理得到G为48的中点，由中点的定义确定出OG

的长，在直角三角形NOG中，由Z。与OG的长，利用勾股定理求出NG的长，进而确定出4B的长，

由CO+G。求出CG的长，在直角三角形NGC中，利用勾股定理求出ZC的长，由CE垂直于ZE,得

到三角形/CE始终为直角三角形，点少的运动轨迹为以NC为直径的半圆，如图中红线所示，当E位于

点B时，CGLAE,此时尸与G重合；当E位于。时，CA1.AE,此时尸与A重合，可得出当点£

从点8出发顺时针运动到点。时，点少所经过的路径长花，在直角三角形ZCG中，利用锐角三角函数

定义求出NZCG的度数，进而确定出CG所对圆心角的度数，再由NC的长求出半径，利用弧长公式即

可求出CG的长，即可求出点厂所经过的路径长.

【详解】解：连接幺C,A0,

-1•AB±CD,

；.G为4B的中点，即NG=5G=L4B,

2

vOO的半径为4,弦4BLCD且过半径0D的中点，

0G=2,

.•.在R/A40G中，根据勾股定理得：4G=YAO?—0G?=2也，

又•.•CG=CO+GO=4+2=6,

在R/A4GC中，根据勾股定理得：AC=^AG2+CG2=473，

CFVAE,

：.AACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆,

当E位于点B时，CG1AE,此时歹与G重合；

当E位于。时，CA1AE,此时歹与A重合，

,当点E从点3出发顺时针运动到点。时，点少所经过的路径长CG，

在R/ZUCG中，tanZ^CG=—=—，

CG3

ZACG=30°,

.•.在R/A4CG中，NG4G=60°,

・••花所对圆心角的度数为120。，

直径AC=4-\/3，

・‘~120»x4V3

・・CG的长为--------二=二一兀，

1803

则当点E从点3出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为.

3

故答案为：4Gn.

3

【点睛】此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长

公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点。时，点厂所经过的路径长

；G，是解本题的关键.

14.若直线y=依（左〉0）与双曲线y=9交于/（西，必），N（%2，%）两点，则西的值为-

x

【答案】-6

【解析】

【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题.根据反比例函数和正比例函数均是中心对称图形可知

%1=-X2,进一步可知%•%的值.

【详解】解：；直线y=履/>0）与双曲线y=9交于加（石，必），N（X2,8）两点，

X

X]=-x2,x2y2=6,

「•王』=一%%=~6.

故答案为：-6.

15.如图，在矩形4BCZ）中，ABS幺。=8,点G、尸分别在边Z。、BC上，线段GE恰好平分

矩形4BCD的面积，且NDGE=60。，点E为边43的中点，连接EG、EF,则A£EG的周长为

【答案】12+46

【解析】

【分析】本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理;

过尸作Ml，于由矩形的性质得到CZ）=/5=4百，推出四边形MDCE是矩形，得到

MD=FC,FM=DC=4C，由矩形的性质得到ZG=EC,BF=DG,因此NG=DM,解直角

三角形求出/G=8,得到GM=^bG=4,求出ZG=2,BF=6,由线段中点定义得到

2

AE=BE=26再由勾股定理求出EG和£尸即可.

【详解】解：过尸作于

:四边形4BCZ）是矩形,

.1.ZD=ZC=ZA=ZB=90°,CD=AB=473-

,ZZDMF=90°,

四边形"DCF是矩形，

MD=FC,FM=DC=473.

•.•线段GE恰好平分矩形ABCD的面积，

.••FG过矩形Z8C£）的中心，

：.AG=FC,BF=DG,

：.AG=DM,

FM

•ZsinZFGM=sin600=——，

FG

“FM473o

••sin60°G，

T

•1"ZMFG=90°-ZFGM=30°,

：.GM=~FG=4,

2

.•./G=：x（8—4）=2,

：.BF=DG=AD-AG=8-2=6,

是48中点，

AE=BE=^AB=2道,

2

：•EG=dAG?+AE?=4,EF7BE。+BF?=4百,

•••A£EG的周长=PG+EG+所=8+4+46=12+46，

故答案为：12+46•

三、解答题

16.计算：&—4cos45。+4尸+|—2|

【答案】4

【解析】

【详解】解：原式=2拒-4x1+2+2

2

=4

11—X

17.解方程：—+3=-~-

x—22—x

【答案】无解

【解析】

【分析】方程两边都乘x-2得出1+3(x-2)=-(1-x),求出方程的解，再进行检验即可.

【详解】解：方程两边都乘x-2,得

1+3(x-2)=-(1-x),

解得：x=2,

检验：当x=2时x-2=0,

所以尸2是原方程的增根，

即原分式方程无解.

【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键.

18.如图，在平面直角坐标系中，点幺(1,4)在反比例函数y=4第一象限的图象上，将点/先向左平移5

X

个单位长度，再向下平移加个单位长度后得到点C,点C恰好落在反比例函数y=2第三象限的图象上,

经过。，C两点的直线J=k2x交反比例函数第一象限的图象于点B.

(1)求反比例函数y=&和直线y=与x的表达式；

X

(2)连接4GAB,求448。的面积；

(3)请根据函数图象，直接写出关于x的不等式勺〉左2X的解集.

斤41

【答案】(1)反比例函数>=」的表达式为〉=—,直线y=的表达式为y=-X

xx4

(2)15(3)x<—4或0<x<4

【解析】

【分析】(1)将41,4)代入3；=',可得左，进而可得反比例函数解析式，根据平移表示C点坐标

X

(-4,4一加)，代入反比例函数解析式，可求加的值，进而可得点C的坐标，然后代入>=左2%，可得上2,

进而可得一次函数解析式；

(2)联立方程组求B点坐标，可得点8和点C关于原点对称，则S^"=2S^c°.如图，连接/。，待

定系数法求直线NC的表达式为：■*，进而可得直线NC与〉轴的交点坐标为。(0,3),根据

S△…丝求心℃的值’进而可得的面积；

(3)数形结合求解即可.

【小问1详解】

k

解：♦.•点2(1,4)在反比例函数>=」的图象上，

x

，4=+,解得勺=4,

k4

・・・反比例函数歹=」的表达式为y二—；

xx

由平移可知，点C的坐标为(—4,4—m)，

:点。（-4,4一%）在反比例函数y=&的图象上，

X

4

4-m=—,解得m=5,

...点C的坐标为（―4,一1）,

•.•点C（-4,-l）在直线歹=5X上，

-1=-4左2,解得k-,=一，

24

.1.直线J=k2x的表达式为y=；X,

441

反比例函数j=—的表达式为歹=-，直线J=kx的表达式为y=-x；

xx24

【小问2详解】

解：.经过0C两点的直线了=；x交反比例函数第一象限的图象于点8,

,1

y=7x[%——4fx-4

ZL九一।九一i

・・・联立｛:，解得＜1，1，

4y=-ly=l

y=-ii

IX

・,•点5的坐标为（4』），

・・・点5和点。关于原点对称，

•v—9c

,,—ABC—乙°AACO'

如图，连接40,

将”(1,4)'CT-1)代入4=得k+b解得I

...直线NC的表达式为：

直线ZC与〉轴的交点坐标为£>(0,3),

.v。。(乙一七)3*(1+4)_15

••-22-2

*e,^/\ABC~2s△力co=2x万=15・

【小问3详解】

解：由图象可得，关于X的不等式与＞抬x的解集为x＜-4或0＜尤＜4.

x

【点睛】本题注意考查了反比例函数与一次函数综合.解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性

质.

19.为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的时间不少于1小时，某校为了解学

生参加户外活动的情况，对某班学生参加户外活动的时间进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完

请根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）该班共有人；户外活动时间的众数是小时，中位数是.小时；将条形统计图补

充完整；

（2）若该校共有学生1200人，请根据上述调查结果，估计该校学生中户外活动的时间不少于1小时的学

生总人数；

（3）某校园广播站的小记者准备到该班对学生参加户外活动的情况进行调查了解，决定对该班5位同学

小明（用工表示）、小刚（用2表示）、小敏（用C表示）、小颖（用。表示）、小亮（用E表示）中的两

个进行采访，则恰好采访到小明和小敏的概率是多少？（请用列表法或画树状图的方法说明理由）.

【答案】（1）50；1；1；见解析

（2）960人（3）一

10

【解析】

【分析】（1）用活动0.5小时的人数除以其占比，即可求出总数，据此求出活动1.5小时的人数，根据众数、

中位数的定义即可作答，结合所得数据补全图形即可；

（2）利用总人数乘以样本中活动不少于1小时的人数的占比即可作答；

（3）采用树状图列举法列举即可作答.

【小问1详解】

总人数：10+20%=50（人），

活动1.5小时的人数：50x24%=12（人），

即：活动0.5小时、1小时、1.5小时、2小时的人数分别为：10人、20人、12人、8人,

...户外活动时间的众数是1小时，中位数是1小时，

故答案为：50,1,1：

【小问2详解】

1200x(1-20%)=1200x80%=960(人),

即：该校学生中户外活动的时间不少于1小时的学生约为960人;

【小问3详解】

画树状图如下（或用列表法）：

开始

共有20种等可能的结果，其中恰好采访到小明和小敏的结果数为2,所以恰好采访到小明和小敏的概率

_2__J_

-20-io）

即所求概率为

【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，众数，利用样本估计总体以及利用列表法或树状图法列举求概

率的知识，注重数形结合的思想以及掌握利用列表法或树状图法列举求概率，是解答本题的关键.

20.如图，。。是448C的外接圆，4D是。。的直径，8c与过点A的切线E下平行，BC,4D相交

于点G.

(1)求证：AB=AC；

⑵若DG=BC=16,求48的长.

【答案】(1)证明见解析

⑵475

【解析】

【分析】(1)由切线的性质和可得由垂径定理可得8G=CG,从而得到垂直

平分BC,最后利用垂直平分线的性质即可得证；

(2)先利用勾股定理得到AD=8石，然后利用两组对应角相等证明从而得到

这=空，代入数据计算即可.

BDDG

【小问1详解】

证明：：直线E5切。。于点A,4D是。。的直径,

ADLEF,

ZDAE=ZDAF=90°,

•1,BC//EF,

/.ZDGB=ZDAE=90°,

AD1BC,

BG=CG,

幺。垂直平分8C,

/.AB=AC；

【小问2详解】

如图，连接RD,

由（1）知：AD1BC,BG=CG,

ZDGB=NAGB=90°,

,ZDG=BC=16,

：.BG=-BC=8,

2

在中，BD=yjBG2+DG2=A/82+162=875-

是OO的直径，

E）ABD=90°,

：.ZABG+ZDBG=90°,

又•：€BDG+SDBG=90°,

ZABG=ZBDG,

又,：NDGB=NAGB=90。

：./\AGB^/\BGD,

.AB_BG

••茄一丽‘

AB8

即市工

•••AB=475，

即AB的长为4君.

F

【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，垂直平分线的性质，平行线的性质，三角形相

似的判定和性质，勾股定理，直角三角形的两锐角互余等知识.通过作辅助线构造相似三角形是解答本题

的关键.

21.为增强民众生活幸福感，某社区服务队在休闲活动场所的墙上安装遮阳棚，方便居民使用.如图，在

侧截面示意图中，遮阳棚长4米，与水平线的夹角为22。，且靠墙端离地的高4B为4米，当太阳光

3

线CD与地面ZX4的夹角为67°时，求4。的长.（结果精确到0.1米；参考数据：sin22°^-,

8

15212512

COS22°Q—，tan22°^—,sin67°«一，cos67°«一，tan67°q—）

16513135

【答案】4D的长为2.7m.

【解析】

【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度.过

点C作CE1Z8于点E,作CE，幺。于点少，易知四边形CEAF为矩形，得到CE=,

CF=AE,利用三角函数求出BE,CE,推出CE,AF-再利用三角函数求出。尸，最后根据

AD=AF—DF,即可解题.

【详解】解：过点C作CE1AB于点E,作CE，幺。于点F,

由题易知四边形CE4F为矩形,

CE=AF,CF=AE,

••・遮阳棚BC长4米，与水平线的夹角为22。,

33

/.BE=BC-sin22°«4x—=—m

82

CE=BC-cos22°«4x—=—m

164

•••高48为4米,

35

,-.CF=AE=AB-BE=4——=-m,

22

•••AF=CE=—m

4

又••・太阳光线CD与地面D4的夹角为67°,

==竺m,

tan67021224

AD=AF—DF=----=—~2.7m.

42424

22.在行知学校第二届趣味篮球赛活动中，某班一位身高1.6m女同学参加3.5m定点投篮比赛(如图

①).为了获得更好的成绩，同学们对这位选手的训练数据进行了收集和分析：篮球运行的路线是一条抛

篮球运行高度A与运行水平距离x之间的函数关系式；

(2)已知比赛时篮圈中心到地面的高度为3.05m,为保证篮球准确投入篮圈内，该选手在训练时应如何

调整自己的起跳高度？

【答案】⑴〃=-0.2(x-2.5)2+3；

(2)选手在训练时应增加起跳高度0.25m

【解析】

【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，

(1)由待定系数法即可求解；

(2)设起跳增加am,则新抛物线的表达式为：J=-0.2(X-2.5)2+3+«,将(3.5,3.05)代入卜.式即可求

解.

数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

【小问1详解】

解：由题意得，顶点的坐标为：(2.5,3),

则函数的表达式为：〃=a(x-2.5)2+3,

•••1.6+0.15=1.75，

将(0,L75)代入抛物线表达式得：1.75=a(0-2.5y+3,

解得：a=—0.2,

则抛物线的表达式为：h=-0.2(x-2.5)2+3；

【小问2详解】

设起跳增加am,

则新抛物线的表达式为：j=-0.2(%-2.5)2+3+。，

将(3.5,3.05)代入上式得：3.05=—02(3.5—2.5)2+3+。,

解得：a=0.25(m),

故选手在训练时应增加起跳高度0.25m.

23.如图，抛物线》=——+区+°过点(一2,-5)和(2,3).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)已知该抛物线与x轴交于点4B(点/位于点2的左侧)，与了轴交于点C.

①若点尸是该抛物线位于第一象限部分上的一动点，过点P作x轴的垂线交8C于点0,求尸。的最大值

及此时点尸的坐标；

②若点”是抛物线对称轴上一动点，是否存在以点8,C,M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请

在备用图上画出符合条件的图形，并求出点/的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=—x~+2x+3