2025年中考数学暑假复习讲义：胡不归问题

胡不归问题

方法说明

如图堆NAOB的边0B上有一点P,当点P位于什么位置时,AP+kQP(O<k<l)最小?此类问题俗称“胡不归问

方法归纳

如图，在OB的下方作射线OC,使得sin/BOC=k。过点P作PH1OC于H,当点A,P,H三点共线时,AP+

k-OP(0<k<l)最小。

H

C

备注：①题目中要求mAP+nOP(m>n>0)的最小值时，常常进行提公因式，变形为小(2P+三。P)的形式；②

题目中已知动点速度，要求动点运动时间最少时，常常把求时间的问题转化为求路程的问题。

典型例题

例5如图,已知点A(-8,0),点B(-5,-4),直线y=2x+m过点B交y轴于点C,交x轴于点D,抛物线y=ax2+11

x+c经过点A,C,D,连接AB,ACo

(1)求抛物线的表达式。

(2)判断△ABC的形状，并说明理由。

(3)E为直线AC上方的抛物线上一点，且tanNECA=Z，求点E的坐标。

2

(4)N为线段AC上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BN运动到点N,再以

每秒、片个单位长度的速度沿线段NC运动到点C,又以每秒1个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当点

P运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标。

思路点拨

(1)把点B的坐标代入直线解析式，再求出点C,D的坐标，用待定系数法求抛物线的表达式即可。

(2)观察图形可知△ABC为直角三角形，且NBAC=90。。只需根据点A,B,C的坐标求出三边长，用勾股定理的

逆定理进行证明即可。

(3)由(2)的结论可得tan/BC4=^=工。因此只需作点B关于AC的对称点F,连接CF并与抛物线交于一

AC2

点E,点E即为所求。

(4)由于速度是已知的，那么运动时间的最小值即可转化为求BN+近NC的最小值，也就是我们说的胡不归问

5

题。再观察易得sin乙4。F=5也乙8&4=延=逅,因此只需过点N作CF的垂线段NM,当点B,N,M三点共线时运

BC5

动时间取最小值。

解题过程

解:⑴：直线y=2x+m过点B(—5,—4),交y轴于点C,；.—4=2x(—5)+m,解得m=6,：.C(0,6)。

2=64a2

把A(—8,0),C(0,6)代入y=ax+llx+c,得f°-^+：解得/=抛物线的表达式为y=

4IC=6=6

+11%+6o

44

(2)AABC为直角三角形，且NBAC=90。,理由如下。

,点A(-8,0),B(-5,-4),C(0,6),AB2=(-8+5)2+(0+4)2=25,AC2=(-8+0)2+(0-6)2=100,BC2=

(-5+0)2+(-4-6)2=125,AC2+AB2=BC2,：.AABC为直角三角形，且NBAC=90。。

(3)由⑵得AB=5,AC=10,/.tanZBCA=些=!=tanzFCX,/.BCA=/.ECA.

AC2

如图，延长BA至F,使AF=AB,连接CF,则点B,F关于点A对称，则F(-11,4),BC=FC。

ZBAC=ZFAC=90°,AZBCA=NFCA,.,.点E为直线CF与抛物线的交点。

设直线CF的解析式为y=kx+b,则「*+2=4,解得一=土直线CF的解析式为y=2%+6。

1b=6(b=6n

y=2%+6v=-113_

1

.•.由［11，解得f11OU，...点E的坐标为(-113,500)o

ly="2+llx+6Iy=%ly2=6V1112〃

441121

(4)【方法一】

如图，过点N作NMLCF于点M,过点B作BM」CF于点M；并与AC交于点

•••AB=5,CF=BC=V125=5A/5,Asm^ACF=sm^BCA=幽=恒，:.MN=在NC。

BC55

•••s=lBF-AC=iCF-BM',BM'=%始="婆=4Vs.•.CM，=弋BC2-BM，2=3g

BCF22CF575

设M，(mf—m+6),CM，2=m2+(-Lm+)6—6)2=空5m2=45,解得m=一至=33/5(舍去)。

V117V1177121151_

•・・B(-5,-4),・••直线BM，的解析式为y=—ll)-坦。

22

・・・A(-8,0),C(0,6),，直线AC的解析式为y=2%+6。

4

y=-11%-x—、

...由［22,解得［3•.点N，的坐标为(―6,Z

1

Iy=3x+6--I2,

由题可知，点P的运动时间t=阻+吧+£2=BN+芯NC+6=BN+MN+62BM，+6=4,5+6,...当

1Vs15

点N与N，重合且点M与M，重合时，点P的运动时间取最小值，最小值为4,5+6,此时点N的坐标为

【方法二】

过N作MNXBC于M,过F作FM'±BC交AC于N,连接FN,则FN=BN。

■：AB=5,BC=V125=5V5,sm^BCA=妪=恒=幽,；.MN=空。

BC5NC-5

・.・CO=6,・••点P的运动时间t=%+^+^-=BN+MN+6=FN+MN+6>FM'+60

1V51

当F,N,M三点共线时,t最小。

AC=10,BC=5V5,sinzXBC=丝=型=上丝,.•.用3=4V5,...点P运动时间t的最小值为4vs+6。

BC5BF

由直线BC的表达式y=2x+6得点D的坐标为(-3,0)。

■FD=-(-11+3)2+42=4低.•.点D与点M，重合，则点N(即N)为直线FD与直线AC的交点。

由点和得直线的表达式为

A(—8,0)C(0,6)ACy=3X+6O

4

由点F(-ll,4)和D(-3