高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第39练抛物线(原卷版+解析)

第39练抛物线一、课本变式练1.（人A选择性必修一P133练习T2变式）抛物线的准线方程是（

）A． B． C． D．2.（人A选择性必修一P133练习T3变式）已知抛物线：上一点到轴的距离是5，则该点到抛物线焦点的距离是（

）A． B． C． D．3.（人A选择性必修一P138习题3.3T4变式）（多选）经过点的抛物线的标准方程为（

）A． B． C． D．4.（人A选择性必修一P138习题3.3T2（1）变式）已知抛物线的准线方程为，则实数_________．二、考点分类练(一)抛物线的方程与性质5.（2023届辽宁省鞍山市高三上学期质量监测）抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．6.（多选）（2023届福建省三明第一中学高三上学期期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（

）A． B．抛物线的方程为C．直线的方程为 D．7.（2023届海市宝山区高三上学期10月教学质量检测）如图抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面3米时，水面宽12米，则水面上升1米后，水面宽度为___________米.(二)抛物线定义及应用8．（2023届云南省曲靖市第一中学高三上学期第三次月考）已知平面四边形的四个顶点都在抛物线上，其中顶点，为抛物线的焦点，若，则（

）A．12 B．9 C．6 D．39.（多选）（2023届湖南省湘潭市第一中学高三上学期期中）已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（

）A． B．C． D．的坐标为10.（2022届辽宁省沈阳市五校协作体高三联考）已知点P是抛物线上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是，则的最小值为______．(三)抛物线中的长度与面积问题11.（2023届贵州省贵阳第一中学高三月考）O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（

）A． B． C．8 D．12.（2023届福建福州第十一中学高三上学期期中考）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上.(1)求点的坐标和抛物线的准线方程；(2)过点的直线与抛物线交于，两个不同点，若的中点为，求的面积.13.已知曲线C是到点和到直线距离相等的点的轨迹．l是过点的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，，轴（如图）．(1)求曲线C的方程；(2)求出直线l的方程，使得为常数．(四)抛物线中的定点定值及范围问题14.已知动圆过定点，且与直线相切，其中．(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)设是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．15.已知中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，抛物线的顶点为原点.(1)求椭圆和抛物线的方程；(2)设点为抛物线准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，，其中为切点.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.16.如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，(1)求抛物线的方程；(2)设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.三、最新模拟练17.（2022届云南省玉溪市民族中学高三模拟）已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C的准线l上，线段与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．418.（2023届山西省山西大学附属中学校高三上学期9月模块诊断）已知抛物线：的焦点为，是上位于第一象限内的一点，若在点处的切线与轴交于点，且，为坐标原点，则直线的斜率为（

）A．

B．

C．

D．119.（多选）（2023届河北省衡水市部分学校高三上学期9月月考）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线相交于A，B两点.过A，B两点分别作抛物线的切线，两切线交于点Q.直线l为抛物线C的准线，与x轴交于点D，则（

）A．当时， B．若，P是抛物线上一个动点，则的最小值为2C． D．若点Q不在坐标轴上，直线AB的倾斜角为，则20.（2023届江苏省南通市通州区高三上学期期中）已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是______．21.（2023届江西省智慧上进高三上学期考试）已知抛物线C：上一纵坐标为4的点M到其焦点F的距离为5，过点的直线与C相交于A，B两点．(1)求C的标准方程；(2)在x轴上是否存在异于点N的定点P，使得点F到直线PA与直线PB的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．22.（2022届陕西省渭南市富平县高三下学期二模）已知抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，为在动直线上的投影，当为等边三角形时，其面积为.(1)求抛物线的方程；(2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于A，两点，直线与线段交于点，试问：是否存在，使得和的面积相等恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.四、高考真题练23．(2021新高考全国Ⅱ卷)抛物线的焦点到直线的距离为，则 ()A．1 B．2 C． D．424.（多选）(2022新高考全国II卷)已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A．B两点，其中A在第一象限，点，若，则 ()A．直线的斜率为 B．C． D．25．（多选）(2022新高考全国I卷)已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则 ()A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．26．(2021年新高考全国Ⅰ卷)已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______．五、综合提升练27.已知点P为抛物线上一动点，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．28.（多选）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，过点且斜率大于0的直线交抛物线于，两点(其中在的上方)，过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线，，于点，，.则（

）A．B．若，是线段的三等分点，则直线的斜率为C．若，不是线段的三等分点，则一定有D．若，不是线段的三等分点，则一定有29.（2023届四川省成都市第七中学高三上学期第三次质量检测）过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过抛物线的焦点，那么=______.30.抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点，(1)若的面积为，求的值及圆的方程(2)若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求的取值范围.第39练抛物线一、课本变式练1.（人A选择性必修一P133练习T2变式）抛物线的准线方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】抛物线的准线方程是.故选D2.（人A选择性必修一P133练习T3变式）已知抛物线：上一点到轴的距离是5，则该点到抛物线焦点的距离是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得：抛物线：的准线方程为，由焦半径公式得：该点到抛物线焦点的距离等于.故选B3.（人A选择性必修一P138习题3.3T4变式）（多选）经过点的抛物线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为，又因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为，又因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为.故选AC．4.（人A选择性必修一P138习题3.3T2（1）变式）已知抛物线的准线方程为，则实数_________．【答案】【解析】由可得，则其准线为：，得.二、考点分类练(一)抛物线的方程与性质5.（2023届辽宁省鞍山市高三上学期质量监测）抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，抛物线的焦点坐标为，故选C6.（多选）（2023届福建省三明第一中学高三上学期期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（

）A． B．抛物线的方程为C．直线的方程为 D．【答案】ACD【解析】因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确故抛物线的方程为，焦点，故B错误则，．又是的中点，则，所以，即，所以直线的方程为．故C正确由，得．故D正确，故选ACD．7.（2023届海市宝山区高三上学期10月教学质量检测）如图抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面3米时，水面宽12米，则水面上升1米后，水面宽度为___________米.【答案】【解析】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，将A（6，-3）代入，得，∴，代入B得，故水面宽为米，(二)抛物线定义及应用8．（2023届云南省曲靖市第一中学高三上学期第三次月考）已知平面四边形的四个顶点都在抛物线上，其中顶点，为抛物线的焦点，若，则（

）A．12 B．9 C．6 D．3【答案】C【解析】因为在抛物线上，所以，即，所以，设，由得，所以，即，根据抛物线的定义可得.故选C.9.（多选）（2023届湖南省湘潭市第一中学高三上学期期中）已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（

）A． B．C． D．的坐标为【答案】AC【解析】由题可知,由，，所以，.，故选AC．10.（2022届辽宁省沈阳市五校协作体高三联考）已知点P是抛物线上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是，则的最小值为______．【答案】【解析】由题意可得：抛物线的焦点，准线，过点P作准线的垂线，垂足为D，则有，∴的最小值为.(三)抛物线中的长度与面积问题11.（2023届贵州省贵阳第一中学高三月考）O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（

）A． B． C．8 D．【答案】A【解析】由可得抛物线的焦点，准线方程为，由抛物线焦半径公式知，将代入，可得，所以的面积为，故选A．12.（2023届福建福州第十一中学高三上学期期中考）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上.(1)求点的坐标和抛物线的准线方程；(2)过点的直线与抛物线交于，两个不同点，若的中点为，求的面积.【解析】（1）解：因为点在抛物线上，所以，即，则，所以抛物线方程为，则其焦点坐标为，准线方程为；（2）解：设点，，因为的中点为，所以，，所以，则，所以，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，所以，即，所以，点到直线的距离，所以．13.已知曲线C是到点和到直线距离相等的点的轨迹．l是过点的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，，轴（如图）．(1)求曲线C的方程；(2)求出直线l的方程，使得为常数．【解析】（1）设N（x,y）为C上的点，则，N到直线的距离为．由题设得，化简，得曲线C的方程为．（2）设，明显直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋k，则B（x,kx＋k），从而．在Rt△QMA中，因为，．所以，∴，．当k＝2时，，从而所求直线l方程为2x−y＋2＝0，使得为常数(四)抛物线中的定点定值及范围问题14.已知动圆过定点，且与直线相切，其中．(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)设是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．【解析】（1）由题可知动圆圆心到定点的距离与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以动圆圆心的轨迹方程为；（2）设，由题意得(否则)，且，由题意知直线的斜率存在，从而设的方程为，显然，将与联立消去，得，由韦达定理知，，因为为定值，当时，，所以，所以直线的方程为，即，所以直线恒过定点，当时，则，可得，直线的方程为，恒过定点，综上，当时，直线恒过定点，当时，直线恒过定点.15.已知中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，抛物线的顶点为原点.(1)求椭圆和抛物线的方程；(2)设点为抛物线准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，，其中为切点.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.【解析】（1）设椭圆和抛物线的方程分别为，，，椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，，解得，，椭圆的方程为，抛物线的方程为．（2）由题意知过点与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，设，则切线方程为，联立，消去，得，由，得，直线，的斜率分别为，，，为定值．16.如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，(1)求抛物线的方程；(2)设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.【解析】（1）因为，故，故抛物线的方程为：.（2）[方法一]：通式通法设，，，所以直线，由题设可得且.由可得，故，因为，故，故.又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，则且，故，故即，解得或或.故直线在轴上的截距的范围为或或.[方法二]：利用焦点弦性质设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，由题设可得且．由得，所以．因为，，．由得．同理．由得．因为，所以即．故．令，则．所以，解得或或．故直线在x轴上的截距的范围为．[方法三]最优解设，由三点共线得，即．所以直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．设直线的方程为，则．所以．故（其中）．所以，且，因此直线在x轴上的截距为．三、最新模拟练17.（2022届云南省玉溪市民族中学高三模拟）已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C的准线l上，线段与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】设l与x轴的交点为H，由O为中点，知点A为的中点，因为，所以．过点B作，垂足为Q，则由抛物线的定义可知，所以，则，所以．故选C18.（2023届山西省山西大学附属中学校高三上学期9月模块诊断）已知抛物线：的焦点为，是上位于第一象限内的一点，若在点处的切线与轴交于点，且，为坐标原点，则直线的斜率为（

）A．

B．

C．

D．1【答案】C【解析】设，因为：，故，故切线的方程为，即，故.又由抛物线的定义可得，且，故，故，故直线的倾斜角为.所以，即，故.所以直线的斜率为.故选C19.（多选）（2023届河北省衡水市部分学校高三上学期9月月考）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线相交于A，B两点.过A，B两点分别作抛物线的切线，两切线交于点Q.直线l为抛物线C的准线，与x轴交于点D，则（

）A．当时， B．若，P是抛物线上一个动点，则的最小值为2C． D．若点Q不在坐标轴上，直线AB的倾斜角为，则【答案】ACD【解析】设，，直线AB为，则整理得，，，.当时，则，故，，∴，故，∴，故A正确；M到抛物线准线的距离为，结合抛物线的定义可知，当P的纵坐标为1时，的最小值是，故B错误；不妨设A在第一象限，B在第四象限，则，，，则点A处切线斜率，，，则点B处切线斜率，所以，又因为，所以，所以，故C正确；不妨设A在第一象限，B在第四象限，记直线AD与直线BD的倾斜角为，，，因为直线AB倾斜角为，则，故，故D正确.故选ACD20.（2023届江苏省南通市通州区高三上学期期中）已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是______．【答案】【解析】由已知，，.如图，设点，则，，在中，有，易知，则，则，因为，，所以当时，取得最大值，又，所以，.所以，的取值范围是.21.（2023届江西省智慧上进高三上学期考试）已知抛物线C：上一纵坐标为4的点M到其焦点F的距离为5，过点的直线与C相交于A，B两点．(1)求C的标准方程；(2)在x轴上是否存在异于点N的定点P，使得点F到直线PA与直线PB的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．【解析】（1）设，则，∴，由抛物线的定义得，解得或，因为，所以（舍去）所以C的标准方程为．（2）设，，，，由题可知l的斜率不为零，设l：，代入抛物线方程消去x，得，从而，①，点F到直线PA与直线PB的距离相等，可得，故，，得，将①代入得，于是得，因此存在符合条件的点P，且P点坐标为.22.（2022届陕西省渭南市富平县高三下学期二模）已知抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，为在动直线上的投影，当为等边三角形时，其面积为.(1)求抛物线的方程；(2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于A，两点，直线与线段交于点，试问：是否存在，使得和的面积相等恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】由题意得：，由抛物线定义可知：此时，过点F作FD⊥PQ于点D，由三线合一得：D为PQ中点，且，可得：所以抛物线方程为（2）由题意得：当M为AB中点时，满足题意，设，由得：直线斜率为，则可设直线：，整理得：，联立得：，设，则，则，由得直线OQ：，联立直线OQ与直线l得：，从而，可得：，解得：.四、高考真题练23．(2021新高考全国Ⅱ卷)抛物线的焦点到直线的距离为，则 ()A．1 B．2 C． D．4【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去)，故选B．24.（多选）(2022新高考全国II卷)已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A．B两点，其中A在第一象限，点，若，则 ()A．直线的斜率为 B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确．故选ACD．25．（多选）(2022新高考全国I卷)已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则 ()A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．【答案】BCD【解析】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故B正确；设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，所以，直线的斜率存在，设其方程为，，联立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正确；因为，，所以，而，故D正确．故选BCD26．(2021年新高考全国Ⅰ卷)已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______．【答案】【解析】不妨设因为，所以的准线方程为,故答案为．五、综合提升练27.已知点P为抛物线上一动点，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据抛物线的对称性，不妨设，若，则，，，所以；若，则