高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第02讲函数的单调性与最大(小)值(分层精练)(原卷版+解析)

第02讲函数的单调性与最大（小）值(精练（分层练习）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）下列四个函数中，在上单调递增的是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·广东东莞·高一统考期末）“”是“在上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2023·全国·高三专题练习）已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上的最大值是,最小值是,则实数的取值范围是A． B． C． D．5．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（2023·全国·高三专题练习）设，已知函数是定义在上的减函数，且，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2023秋·内蒙古赤峰·高二统考期末）已知，，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：．已知函数，则函数的值域为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2023秋·江苏徐州·高一统考期末）下列函数中满足“对任意，都有”的是（

）A． B．C． D．10．（2022秋·江苏常州·高一校考期末）已知函数的最小值为，则的可能取值是（

）A．1 B．3 C．5 D．7三、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是______．12．（2023秋·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）若关于的不等式的解集为R，则的取值范围是______.四、解答题13．（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）已知，.(1)解不等式；(2)判断并证明函数的单调性.14．（2023·高一课时练习）已知函数的表达式，求在上的最大值和最小值．15．（2023春·高一校考开学考试）已知函数(1)作出函数的图象；(2)写出函数的单调区间；(3)当时，求的值域.16．（2023·高一课时练习）已知函数.(1)用单调性定义证明函数在上为减函数；(2)求函数在上的最大值.B能力提升1．（2023秋·内蒙古赤峰·高二统考期末），，若对任意的，存在，使，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）已知函数，用表示中的较小者，记为，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．3．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知函数.(1)证明:函数为奇函数；(2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明.C综合素养1．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）下列函数中，对任意且，同时满足性质：（1）；（2）的函数是（）A． B．C． D．2．（2023秋·山东滨州·高一统考期末）定义，若，则关于函数的三个结论：①该函数值域为；②该函数在上单调递减；③若方程恰有四个不等的实数根，则m的取值范围是.其中正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2023秋·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期末）已知二次函数.(1)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围；(2)已知函数，若对，使不等式成立，求的取值范围.4．（2023春·山东青岛·高一统考开学考试）如图所示，为增加学生劳动技术实践活动区域，学校计划将一矩形试验田扩建成一个更大的矩形试验田，要求在的延长线上，在的延长线上，且对角线过点．已米，米，设（单位：米），记矩形试验田的面积为．(1)要使不小于64平方米，求的取值范围；(2)若（单位：米），求的最大值及此时的长度．第02讲函数的单调性与最大（小）值(精练（分层练习）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）下列四个函数中，在上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】在上单调递减，故A错误；在上单调递增，故B正确；在上单调递减，在上单调递增，故C错误；在上单调递减，故D错误.故选:B.2．（2023秋·广东东莞·高一统考期末）“”是“在上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】在单调递增，充分性成立，若时在单调递增，但是不满足，所以必要性不成立.故选：A3．（2023·全国·高三专题练习）已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】若是真命题，由题意知不等式有解，，解得:.因此，实数的取值范围是.故选：A4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上的最大值是,最小值是,则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可知抛物线得对称轴为,开口向上,在对称轴的左侧,对称轴的左侧图象为单调递减,在对称轴左侧时有最大值,上有最大值,最小值,当时,,的取值范围必须大于或等于,抛物线得图象关于对称,,所以.故选：A.5．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】函数在上是减函数，当时，恒成立，而函数在区间上不单调，因此，不符合题意，当时，函数在上单调递增，于是得函数在区间上单调递减，因此，并且，解得，所以实数的取值范围是.故选：D6．（2023·全国·高三专题练习）设，已知函数是定义在上的减函数，且，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵函数是定义在上的减函数，且，∴，解得.故选：C7．（2023秋·内蒙古赤峰·高二统考期末）已知，，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：函数在上单调递减，在上单调递增，所以，函数在上单调递减，所以，因为恒成立，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：B8．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：．已知函数，则函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以，因为，所以；故选：D.二、多选题9．（2023秋·江苏徐州·高一统考期末）下列函数中满足“对任意，都有”的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】对任意，都有，在上单调递增；对于A，由一次函数性质知：在上单调递增，A正确；对于B，由反比例函数性质知：在上单调递减，B错误；对于C，由二次函数性质知：对称轴为，则在上单调递增，C正确；对于D，由对数函数性质知：在上单调递增，则在上单调递减，D错误.故选：AC.10．（2022秋·江苏常州·高一校考期末）已知函数的最小值为，则的可能取值是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】AB【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，函数，，对称轴为，当时，当时，，要想函数的最小值为，只需，即，显然选项AB符合，当时，当时，，显然不是，综上所述：只有选项AB符合条件，故选：AB三、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是______．【答案】(1，＋∞)【详解】由题意，函数满足，解得或，即函数的定义域为，令，则函数在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再根据复合函数的单调性“同增异减”法则，可得函数的单调递增区间是；故答案为：.12．（2023秋·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）若关于的不等式的解集为R，则的取值范围是______.【答案】【详解】当得：，满足题意；当时，要想保证关于的不等式的解集为R，则要满足：，解得：，综上：的取值范围为故答案为：四、解答题13．（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）已知，.(1)解不等式；(2)判断并证明函数的单调性.【答案】(1)(2)减函数，证明见解析【详解】（1）由，，得，解得，即不等式解集为.（2）在为减函数.证明如下：设，则，因为，，，所以，即.所以是上的减函数.14．（2023·高一课时练习）已知函数的表达式，求在上的最大值和最小值．【答案】最大值为2，最小值为．【详解】因为在上为严格减函数，所以函数在上为严格减函数．所以当时，的最大值为，最小值为．15．（2023春·高一校考开学考试）已知函数(1)作出函数的图象；(2)写出函数的单调区间；(3)当时，求的值域.【答案】(1)见解析(2)单调增区间为，单调减区间为(3)【详解】（1）解：，作出函数图象，如图所示：（2）解：由图可得：函数的单调增区间为，单调减区间为；（3）解：因为函数在上递减，所以，所以的值域为.16．（2023·高一课时练习）已知函数.(1)用单调性定义证明函数在上为减函数；(2)求函数在上的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)5【详解】（1）设对任意的，则由题设可得，，，，即.故函数在上为减函数..（2）由（1）得在上为减函数，函数在上的最大值为.B能力提升1．（2023秋·内蒙古赤峰·高二统考期末），，若对任意的，存在，使，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数，因为，所以在的值域为，函数在的值域为，因为对任意的，存在，使，所以，所以，解得．故选：A．2．（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）已知函数，用表示中的较小者，记为，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．【答案】D【详解】令，即,解得,所以，当时，由在定义域内单调递减可得，当时，由二次函数的性质可得,综上，函数的最大值为，故选：D3．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知函数.(1)证明:函数为奇函数；(2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明.【答案】(1)证明见解析(2)在区间上是增函数；证明见解析【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，函数，又,所以，函数为奇函数.（2）在区间上是增函数.证明：对于任意且，作差：，,，即，函数在区间上是增函数.C综合素养1．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）下列函数中，对任意且，同时满足性质：（1）；（2）的函数是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】对于AD，因为对任意且，，不妨设，则，所以，即，所以在上单调递减，而与在上单调递增，故AD错误；对于BC，因为对任意且，，所以的图像在上是凹形曲线，而的图像在上是凸形曲线，故C错误；而的图像在上是凹形曲线，同时在上单调递减，故B正确.故选：B．2．（2023秋·山东滨州·高一统考期末）定义，若，则关于函数的三个结论：①该函数值域为；②该函数在上单调递减；③若方程恰有四个不等的实数根，则m的取值范围是.其中正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】令，得或，则，则函数在上递减，又当时，，所以该函数在上单调递减，故②正确；当时，，当或，，所以函数的值域为，故①错误；方程实根的个数，即为函数交点的个数，作出两个函数的图象如图所示，由图可知两函数图象有4个交点时，m的取值范围是，故③正确，所以正确结论的个数是2个.故选：C.3．（2023秋·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期末）已知二次函数.(1)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围；(2)已知函数，若对，使不等式成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)或【详解】（1）因为二次函数，所以关于的不等式对恒成立，转化为对恒成立，即对恒成立，令，记，因为，所以，则，因为在上单调递增，所以，，所以；（2）对，使不等式成立，转化为，在上单调递增，，，①当，即时，在上单调递增，，此时，且，解得；②当，即时，在上单调递减，此时，且，解得；③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时，且，解得，综上所述，实数的取值范围为或.4．（2023春·山东