2023年人教版七年级数学上册总复习知识点

七年级数学上册知识点

第一章有理数

1.1正数与负数

1.正数和负数日勺概念

①正数:不小于0时数叫正数。（根据需要,有时在正数前面也加上“+”）

②负数:在此前学过的0以外时数前面加上负号“一”时数叫负数。与正数具有相反意义。

③0既不是正数也不是负数。0是正数和负数的分界,是唯一的中性数。

2.注意：①字母a可以表达任意数，当a表达正数时，-a是负数；当a表达负数时，-a是正数；

当a表达0时，-a仍是Oo（假如出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说

法是错误的，例如+a,-a就不能做出简朴判断）

3.②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。因此省略“+”的正数的符号是正号。

4.具有相反意义的量

若正数表达某种意义的量，则负数可以表达具有与该正数相反意义的量，例如：

零上8℃表达为：+8℃；零下8℃表达为：-8℃

3.0表达的意义

⑴0表达“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；

⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。如：

（3）0表达一种确切的量。如：0℃以及有些题目中的基准，例如以海平面为基准，则0米就表

达海平面。

注意:弄清相反意义的量:南北；东西；上下；左右；上升下降；高下；增长减少等

1.2有理数

有理数

1.有理数的概念

⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）

⑵正分数和负分数统称为分数

⑶正整数，0,负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数时数才是有理数。①B是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理

数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3,整数也能化成分数，也是有理数

注意：引入负数后来，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，…也是

奇数。

2.有理数的分类

⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分

＜正整数Y‘正整数

正有理数〔

整数0

I负整数

I正分数

有理数I有理数’0（0不能忽视）

Y~正分数Y负整数

分数负有理数

负分数负分数

总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）

②负整数、0统称为非正整数

③正有理数、0统称为非负有理数

④负有理数、0统称为非正有理数

数轴

1.数轴的概念

规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺

一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2.数轴上时点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上时点来表达，正有理数可用原点右边时点表达，负有理数可用原点

左边时点表达，0用原点表达。

⑵所有的有理数都可以用数轴上时点表达出来，但数轴上时点不都表达有理数，也就是说，有理数

与数轴上时点不是一一对应关系。（如，数轴上的点口不是有理数）

3.运用数轴表达两数大小

⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边时数大；

⑵正数都不小于0,负数都不不小于0,正数不小于负数；

⑶两个负数比较，距离原点远时数比距离原点近的数小。

4.数轴上特殊的最大（小）数

⑴最小时自然数是0,无最大的自然数；

⑵最小时正整数是1,无最大的正整数；

⑶最大的负整数是T,无最小的负整数

5.a可以表达什么数

⑴a〉0表达a是正数；反之，a是正数，则a>0；

⑵a〈0表达a是负数；反之，a是负数，则a<0

⑶a=0表达a是0；反之，a是0,,则a=0

相反数

1.相反数

只有符号不一样的两个数叫做互为相反数，其中一种是另一种的相反数，。的相反数是0。

注意：⑴相反数是成对出现日勺；⑵相反数只有符号不一样，若一种为正，则另一种为负；

⑶0时相反数是它自身；相反数为自身的数是0。

2.相反数日勺性质与鉴定

⑴任何数均有相反数，且只有一种；

⑵0的相反数是0；

⑶互为相反数的两数和为0,和为0时两数互为相反数，即a,b互为相反数，则a+b=0

3.相反数日勺几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表达的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的

对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表达0的相反

数。

阐明：在数轴上，表达互为相反数的两个点有关原点对称。

4.相反数的求法

⑴求一种数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；

⑵求多种数的和或差时相反数时，要用括号括起来再添，然后化简（如；5a+b的相反数是-

（5a+b）o化简得-5a-b）；

⑶求前面带的单个数，也应先用括号括起来再添，然后化简（如：-5的相反数是-（-

5）,化简得5）

5.相反数的表达措施

⑴一般地，数a时相反数是-a,其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。

当a〉0时，-a<0（正数的相反数是负数）

当a〈0时，-a〉0（负数的相反数是正数）

当a=0时，-a=0,（0时相反数是0）

绝对值

1.绝对值的几何定义

一般地，数轴上表达数a时点与原点时距离叫做a的绝对值，记作|a|。

2.绝对值时代数定义

⑴一种正数的绝对值是它自身；⑵一种负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0.

可用字母表达为：

①假如a>0,那么|a|=a；②假如a<0,那么|a|=-a；③假如a=0,那么|a|=0。

可归纳为①：a"0,<->|a|=a（非负数的绝对值等于自身；绝对值等于自身的数是非负数。）

②aWO,<=>|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）

经典考题

如数轴所示，化简下列各数

al,b,c,a-b|,a-c|,b+c

解：由题懂得,由于a>0,b<0,c<0,a-b>0,a-c>0,b+c<0,

因止匕Ia|=a,|b|=-b,|c|=-c,|a-b=a-b,|a-c=a-c,|b+c|=-（b+c）=-

b-c

3.绝对值的性质

任何一种有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。因此，a取任何有理

数，均有|a|20。即Q）0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0<=>a|=0；

⑵一种数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：1a|NO；

⑶任何数的绝对值都不不不小于原数。即：|a|2a；

⑷绝对值是相似正数时数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0）,则x=±a；

⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=O,则|a|=|b|；

⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：［a|=|b1,则a=b或a-b；

⑺若几种数的绝对值的和等于0,则这几种数就同步为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。

（非负数的常用性质：若几种非负数的和为0,则有且只有这几种非负数同步为0）

经典考题

已知|a+3|+12b-2|+1c-l=0,求a+b+c日勺值

解：由于|a+3|20,12b-21^0,c-l|>0,且|a+31+|2b-21+|c-11=0

因此|a+3|=0,2b-2|=0,c-l|=0

即a=-3,b=l,c=l

因此a+b+c=_3+l+l=-l

4.有理数大小的比较

⑴运用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；

⑵运用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，

正数不小于负数。

5.绝对值日勺化简

①当a"0时，|a|=a；②当aWO时，|a|=-a

6.已知一种数的（绝对值，求这个数

一种数a的绝对值就是数轴上表达数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一种正数的有理数

有两个，它们互为相反数，绝对值为0时数是0,没有绝对值为负数的数。如：|a|=5,则a=±5

1.3有理数附加减法有理数的加减法

1.有理数附加法法则

⑴同号两数相加，取相似的I符号，并把绝对值相加;

⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对

值；

⑶互为相反数的两数相加，和为零；

⑷一种数与零相加，仍得这个数。

2.有理数加法的运算律

⑴加法互换律：a+b=b+a

⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以到达化简时目的，一般有下列规律：

①互为相反数的两个数先相加一一“相反数结合法”；

②符号相似的两个数先相加一一“同号结合法”；

③分母相似的数先相加一一“同分母结合法”；

④几种数相加得到整数，先相加一一“凑整法”；

⑤整数与整数、小数与小数相加一一“同形结合法”。

3.加法性质

一种数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即：

⑴当b〉0时，a+b>a⑵当b〈0时，a+b<a⑶当b=0时，a+b=a

4.有理数减法法则

减去一种数，等于加上这个数的相反数。用字母表达为：a-b=a+(-b)o

5.有理数加减法统一成加法日勺意义

在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进

行计算。

在和式里，一般把各个加数的括号和它前面附加号省略不写，写成省略加号附和的形式。如:

（-8）+（-7）+（-6）+（+5）=-8-7-6+5.

和式的读法：①按这个式子表达的意义读作“负8、负7、负6.正5附和”

②按运算意义读作“负8减7减6加5”

6.有理数加减混合运算中运用结合律时的某些技巧：

I.把符号相似的加数相结合(同号结合法)

(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)

原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)（将减法转换成加法）

=-33+18-15-1+23（省略加号和括号）

=(-33-15-1)+(18+23)（把符号相似的加数相结合）

=-49+41（运用加法法则一进行运算）

=-8（运用加法法则二进行运算）

II.把和为整数的加数相结合(凑整法)

(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)

原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)（将减法转换成加法）

=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加号和括号）

=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8（把和为整数的加数相结合）

=4-10+3.8（运用加法法则进行运算）

=7.8-10（把符号相似的加数相结合，并进行运算）

=-2.2（得出结论）

III.把分母相似或便于通分附加数相结合（同分母结合法）

313217

++

524528

>^=(-3---2)+(-1-+11)+(+3--7-)

552248

1

=-1+0—

8

1

=T—

8

IV.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）

312

(+0.125)-(-3-)+(-3-)-(-10-)-(+1.25)

483

13121

原式=(+—)+(+3—)+(-3—)+(+10—)+(-1—)

84834

13121

--+3--3—+10--1—

84834

(3--1-)+(--3-)+10-

44883

12

=2--3+10-

23

=-3+13-

6

1

=10-

6

V.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）

1617

-3-+10--12—+4——

5112215

原式=(-3+10-12+4)+(-工+7、，61、

—)+(--一)

5151122

—+U

1522

一+a+”

3030

7

30

VI.分组结合

2-3-4+5+6-7-8+9—1-66-67-68+69

原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+•••+(66-67-68+69)

=0

vn.先拆项后结合

(1+3+5+7-+99)-(2+4+6+8-+100)

①有理数加法法则：

1.同号两数相加,取相似的符号,并把绝对值相加。

2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝

对值。互为相反数的两个数相加得0。

3、一种数同0相加,仍得这个数。

加法的互换律和结合律

②有理数减法法则：减去一种数，等于加这个数的相反数。

1.4有理数的乘除法

1.有理数的乘法法则

法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；(“同号得正，异号得负”专指“两

数相乘”的状况，假如因数超过两个，就必须运使用方法则三)

法则二：任何数同0相乘，都得0；

法则三：几种不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是

负数；

法则四：几种数相乘，假如其中有因数为0,则积等于0.

2.倒数

乘积是1的两个数互为倒数，其中一种数叫做另一种数的倒数，用式子表达为a-=1(aWO),

就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。

注意：①0没有倒数；

②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时,

先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；

③正数的倒数是正数，负数日勺倒数是负数。(求一种数的倒数，不变化这个数的性质)；

④倒数等于它自身时数是1或T,不包括0。

3.有理数日勺乘法运算律

⑴乘法互换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，互换因数的位置，积相等。即ab=ba

⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即

(ab)c=a(be).

⑶乘法分派律：一般地，一种数同两个数日勺和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相

加。即a(b+c)=ab+ac

4.有理数的除法法则

(1)除以一种不等0的数，等于乘以这个数的倒数。

(2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一种不等于。的数，都得0

5.有理数时乘除混合运算

(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最终求出成果。

(2)有理数附加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照'先乘除,后加减'的次序进

行。

有理数的乘方

1.乘方的概念

求n个相似因数的积的运算,叫做乘方,乘方的成果叫做暴。在中,a叫做底数,n叫做指数。

2.乘方的性质

(1)负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕的正数。

(2)正数的任何次塞都是正数,0的任何正整多次塞都是0。

有理数的混合运算

做有理数日勺混合运算时,应注意如下运算次序：

1.先乘方,再乘除,最终加减；

2.同级运算,从左到右进行；

3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号，中括号,大括号依次进行。

科学记数法

把一种不小于10时数表达成的形式（其中，n是正整数），这种记数法是科学记数法。

从一种数的左边第一种非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。四舍五入

遵从精确到哪一位就从这一位时下一位开始，而不是从数字的末尾往前四舍五入。例如：3.5449精

确到0.01就是3.54而不是3.55.

第二章整式附加减

2.1整式

1.单项式：由数字和字母乘积构成的式子。系数，单项式的次数.单项式指的是数或字母的积时代数式.

单独一种数或一种字母也是单项式.因此，判断代数式与否是单项式，关键要看代数式中数与字母与

否是乘积关系，即分母中不具有字母,若式子中具有加、减运算关系,其也不是单项式.

2.单项式的系数:是指单项式中的数字因数；

3、单项数的次数:是指单项式中所有字母的指数附和.

4.多项式：几种单项式的和。判断代数式与否是多项式，关键要看代数式中的每一项与否是单项

式.每个单项式称项，常数项，多项式的次数就是多项式中次数最高的次数。多项式日勺次数是指多项

式里次数最高项的次数，这里是次数最高项，另一方面数是6；多项式的项是指在多项式中，每一种

单项式.尤其注意多项式的项包括它前面的性质符号.常数项的次数为0。

5.它们都是用字母表达数或列式表达数量关系。注意单项式和多项式的每一项都包括它前面的符

号。

①6、单项式和多项式统称为整式。注意:分母上具有字母的不是整式。

②代数式书写规范：

③数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“•”表达，并把数字放到字母前；

④出现除式时,用分数表达；

⑤带分数与字母相乘时,带分数要化成假分数；

若运算成果为加减的式子,当背面有单位时,要用括号把整个式子括起来。

2.2整式附加减

1.同类项:所含字母相似，并且相似字母的指数也相似的项。与字母前面的系数（wo）无关。

2.同类项必须同步满足两个条件：（1）所含字母相似；（2）相似字母的次数相似，两者缺一不可.

同类项与系数大小、字母的排列次序无关

3.合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项。可以运用互换律,结合律和分派律。

合并同类项的环节：（1）精确的找出同类项；（2）运用加法互换律，把同类项互换位置后结合在

一起；（3）利使用方法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；（4）写出合并后的成

果。

4.合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数

附和,且字母部分不变；

5、去括号法则：去括号，看符号：是正号，不变号；是负号，全变号。

6、整式加减的一般环节：

一去、二找、三合

（1）假如碰到括号按去括号法则先去括号.（2）结协议类项.（3）合并同类项

第三章一元一次方程

3.1一元一次方程

1.方程是具有未知数的等式。

2.方程都只具有一种未知数（元）x,未知数x的指

数都是1（次），这样日勺方程叫做一元一次方程。

注意：判断一种方程与否是一元一次方程要抓住三点:

1）未知数所在的式子是整式（方程是整式方程）；

2）化简后方程中只具有一种未知数；

3）经整顿后方程中未知数的次数是1.

一般形式：ax+b=O（a#O）

注意：未知数在分母中时,它的次数不能当作是1次。如，它不是一元一次方程。

3.解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的

解。

4.等式的性质：1）等式两边同步加（或减）同一种数（或式子），成果仍相等；

2）等式两边同步乘同一种数,或除以同一种不为0时数,成果仍相等。

注意：运用性质时,一定要注意等号两边都要同步变；运用性质2时,一定要注意0这个数.

3.2、3.3解一元一次方程

在实际解方程的过程中，如下环节不一定完全用上，有些环节还需反复使用.因此在解方程时还要注

意如下几点：

①去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项；分子是一种整体，去分

母后应加上括号；去分母与分母化整是两个概念,不能混淆；

②去括号:遵从先去小括号，再去中括号，最终去大括号；不要漏乘括号的项；不要弄错符号；

③移项：把具有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（移项要变符号）移项要

变号；注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。

④合并同类项：不要丢项,解方程是同解变形,每一步都是一种方程，不能像计算或化简题那样写能连

等的形式；

⑤系数化为1：:字母及其指数不变系数化成1,在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解。

不要分子、分母搞颠倒。

3.4实际问题与一元一次方程

一.概念梳理

⑴列一元一次方程处理实际问题的一般环节是：①审题，尤其注意关键的字和词的意义，弄清有关数

量关系；②设出未知数（注意单位）；③根据相等关系列出方程；④解这个方程；⑤检查并写出答

案（包括单位名称）。

⑵某些固定模型中的等量关系及经典例题参照一元一次方程应用题专练学案。

二、思想措施（本单元常用到的数学思想措施小结）

⑴建模思想:通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型,建立一元一次方程的思想.

⑵方程思想:用方程处理实际问题的思想就是方程思想.

⑶化归思想：解一元一次方程的过程，实质上就是运用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知

数的系数化为1等多种同解变形，不停地用新的更简朴的方程来替代本来的方程，最终

逐渐把方程转化为x=a的形式.体现了化“未知”为“已知”的化归思想.

⑷数形结合思想：在列方程处理问题时，借助于线段示意图和图表等来分析数量关系，使问题中的

数量关系很直观地展示出来，体现了数形结合的优越性.

⑸分类思想：在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论，在解有关方

案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用.

三、数学思想措施的学习

1.解一元一次方程时，要明确每一步过程都作什么变形，应当注意什么问题.

2.寻找实际问题的数量关系时，要善于借助直观分析法,

如表格法，直线分析法和图示分析法等.

3.列方程解应用题的检查包括两个方面：⑴检查求得的

成果是不是方程的解；

⑵是要判断方程的解与否符合题目中的实际意义.

实际问题的常见类型：

行程问题：旅程=时间X速度，时间=，速度=

（单位:旅程一一米、千米；时间一一秒、分、时；速度一一米/秒、米/分、千米/小时）

工程问题:工作总量=工作时间X工作效率,工作总量=各部分工作量的和

利润问题：利润=售价-进价，利润率=，售价=标价义（1-折扣）

等积变形问题：长方体的体积=长乂宽X高；圆柱的体积=底面积X高；铸造前的体积=铸造后的体

积

利息问题:本息和=本金+利息；利息=本金X利率

四、一元一次方程经典例题

例1.已知方程2xm—3+3x=5是一元一次方程,则m=.

解：由一元一次方程的（定义可知m—3=1,解得m=4.或m—3=0,解得m=3

因止匕m=4或m=3

警示：诸多同学做到这种题型时就想到指数是1,从而写成m=l,这里一定要注意x的指数是（m

—3）.

例2.已知是方程ax2—（2a—3）x+5=0的解，求a时值.

解：；x=-2是方程ax2—（2a-3）x+5=0的解

.•.将x=-2代入方程，

得a-(-2)2—(2a-3)•(-2)+5=0

化简，得4a+4a-6+5=0

a=—

8

点拨：要想处理这道题目，应当从方程的解的定义入手，方程的解就是使方程左右两边值相等的

未知数的值,这样把x=-2代入方程,然后再解有关a的一元一次方程就可以了.

例3.解方程2(x+1)—3(4x—3)=9(1—x).

解：去括号,得2x+2-12x+9=9—9x,

移项,得2+9-9=12x-2x-9x.

合并同类项,得2=x,即x=2.

点拨：此题的一般解法是去括号后将所有的未知项移到方程的左边，已知项移到方程的右边，其

实,我们在去括号后发现所有的未知项移到方程的左边合并同类项后系数不为正,为了减少计算的难

度，我们可以根据等式的对称性，把所有的未知项移到右边去，已知项移到方程的左边，最终再写成

x=a的|形式.

例4.解方程.

解析:方程两边乘以8,再移项合并同类项,得

同样,方程两边乘以6,再移项合并同类项,得

方程两边乘以4,再移项合并同类项，得

方程两边乘以2,再移项合并同类项，得x=3.

阐明：解方程时，碰到多重括号，一般的措施是从里往外或从外往里运用乘法的分派律逐层去特

号，而本题最简捷的措施却不是这样，是通过方程两边分别乘以一种数，到达去分母和去括号的目

叽

例5.解方程.

解析:方程可以化为

整顿,得

去括号移项合并同类项,得一7x=ll,因此x=.

阐明：一见到此方程，许多同学立即想到老师简介的措施，那就是把分母化成整数，即各分数分

子分母都乘以10,再设法去分母，其实，仔细观测这个方程，我们可以将分母化成整数与去分母两步

一步到位,第一种分数分子分母都乘以2,第二个分数分子分母都乘以5,第三个分数分子分母都乘以

10.

例6.解方程

解析：原方程可化为

-fc-mgnsrXXXXXXXX.

万桂即为------1---------------1-------------1-----------=1.

23344556

因此有=

26

再来解之,就能很快得到答案：x=3.

知识链接：此题假如直接报销率

去分母，或者通分，数字较大，（%）

运算啰嗦，发现分母6=2X3,

12=3X4,20=4X5,30=5X6,

联络到我们小学曾做过这样的

分式化简题，故采用拆项法解

之比较简便.

例7.参与某保险企业的医

疗保险，住院治疗的病人可享

有分段报销，•保险企业制度

的报销细则如下表，某人今年

住院治疗后得到保险企业报销

的金额是1260元，那么此人

的实际医疗费是（）

住院医疗费（元）

不超过500的部分0

超过500〜1000的部分60

超过1000~3000的部分80

.......

A.2600元B.2200元C.2575元D.2525元

解析：设此人的实际医疗费为x元,根据题意列方程,得

500X0+500X60%+(x—500—500)X80%=1260.

解之,得x=2200,即此人的实际医疗费是2200元.故选B.

点拨：解答本题首先要弄清题意，读懂图表，从中应理解医疗费是分段计算累加求和而得的.由于

500X60%V1260<2023X80%,因此可知判断此人的医疗费用应按第一档至第三档累加计算.

例8.本市某县城为鼓励居民节省用水，对自来水顾客按分段计费方式收取水费：若每月用水不超

过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每立方米2元收费.

假如某户居民今年5月缴纳了17元水费,那么这户居民今年5月的用水量为_________立方米.

解析：由于1X7C17,因此该户居民今年5月的用水量超标.

设这户居民5月的用水量为x立方米,可得方程:7X1+2(x-7)=17,解得x=12.

因此,这户居民5月的用水量为12立方米.

例9.足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，一支足球队在某

个赛季中共需比赛14场，现已比赛了8场，输了1场，得17分，请问：

⑴前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？

⑵这支球队打满14场比赛,最高能得多少分？

⑶通过对比赛状况的分析,这支球队打满14场比赛,得分不低于29分,就可以到达预期

的目的,请你分析一下,在背面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场,才能到达预期目的？

解析:⑴设这个球队胜了x场,则平了(8-1-x)场，根据题意，得：

3x+(8-1-x)=17.

解得x=5.

因此,前8场比赛中，这个球队共胜了5场.

⑵打满14场比赛最高能得17+(14-8)X3=35分.

⑶由题意知,后来的6场比赛中，只要得分不低于12分即可.

...胜不少于4场，一定能到达预期目的.而胜了3场，平3场，恰好到达预期目的.因此在后来的比

赛中，这个球队至少要胜3场.

例10.国家为了鼓励青少年成才，尤其是贫困家庭的孩子能上得起大学，设置了教育储蓄，其

优惠在于，目前暂不征收利息税.为了准备小雷5年后上大学的学费6000元，他的父母目前就参与

了教育储蓄，小雷和他父母讨论了如下两种方案:

⑴先存一种2年期,2年后将本息和再转存一种3年期；

⑵直接存入一种5年期.

你认为以上两种方案,哪种开始存入的本金较少？

[教育储蓄(整存整取)年利率一年:2.25%；二年:2.27%；三年:3.24%；五年:3.60%.]

解析：理解储蓄的有关知识，掌握利息的计算措施，是处理此类问题的关键，对于此题，我们可以

设小雷父母开始存入x元.然后分别计算两种方案哪种开始存入的本金较少.

⑴2年后，本息和为x(1+2.70%X2)=1.054x;

再存3年后,本息和要到达6000元，则1.054x(1+3.24%X3)=6000.

解得x^5188.

⑵按第二种方案，可得方程x(1+3.60%义5)=6000.

解得x^5085.

因此,按他们讨论的第二种方案,开始存入的本金比较少.

例11.扬子江药业集团生产的某种药物包装盒的侧面展开图如图所示.假如长方体盒子的长比宽

多4,求这种药物包装盒的体积.

分析：从展开图上的数据可以看出，展开图中两高与两宽和为14cm,因此一种宽与一种高的和为

7cm,假如设这种药物包装盒的宽为xcm,则高为(7—x)cm,由于长比宽多4cm,因此长为(x+4)

cm,根据展开图可知一种长与两个高附和为13cm,由此可列出方程.

解:设这种药物包装盒的宽为xcm,则高为(7—x)cm,长为(x+4)cm.

根据题意，得(x+4)+2(7—x)=13,

解得x=5,因此7—x=2,x+4=9.

故长为9cm,宽为5cm,高为2cm.

因此这种药物包装盒的体积为：9X5X2=90(cm3).

例12.某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%,由于国际油价上涨,这个月进

口石油的费用反而比上个月增长了14%.求这个月的石油价格相对上个月的增长率.

解：设这个月的石油价格相对上个月的增长率为x.根据题意得

(1+x)(1-5%)=1+14%

解得x=20%

答:这个月的石油价格相对上个月的增长率为20%.

点评:本题是一道增长率的应用题.本月的进口石油的费用等于上个月的费用加上增长的费用，也

就是本月的石油进口量乘以本月的价格.设出未知数，分别表达出每一种数量，列出方程进行求解.列

方程解应用题的关键是找对等量关系,然用代数式表达出其中的量,列方程解答.

例13.某市参与省初中数学竞赛的选手平均分数为78分,其中参赛的男选手比女选手多50%,而女

选手的平均分比男选手时平均分数高10%,那么女选手的平均分数为.

解析：总平均分数和参赛选手的人数及其得分有关.因此，必须增设男选手或女选手的人数为辅助

未知数.不妨设男选手的平均分数为x分，女选手的人数为a人,那么女选手的平均分数为l.lx

分，男选手的人数为1.5a人，从而可列出方程，解得x=75,因此l.lx=82.5.即女选手的平均分数

为82.5分.

第四章几何图形初步

4.1几何图形

1.几何图形:从形形色色的物体外形中得到的图形叫做几何图形。

2.立体图形:这些几何图形的各部分不都在同一种平面内。

3、平面图形:这些几何图形的各部分都在同一种平面内。

4、虽然立体图形与平面图形是两类不一样的几何图形，但它们是互相联络的。

立体图形中某些部分是平面图形。

5.三视图：从左面看,从正面看,从上面看

6.展开图：有些立体图形是由某些平面图形围成的，将它们的表面合适剪开，可以展开成平面图

形。这样的平面图形称为对应立体图形的展开图。

3.生活中的立体图形圆柱

柱体厂

棱柱:三棱柱、四百土(长方体、正方体)、五棱柱、

生活中的立体图形球体

椎体

棱锥

、⑴几何体简称体；包围着体的是面；面面相交形成线；线线相交形成点；

⑵点无大小，线、面有曲直；

⑶几何图形都是由点、线、面、体构成的；

⑷点动成线,线动成面,面动成体；

⑸点:是构成几何图形的基本元素。

4.棱柱及其有关概念：

棱:在棱柱中，任何相邻两个面的交线,都叫做棱。

侧棱:相邻两个侧面的交线叫做侧棱。

n棱柱有两个底面,n个侧面，共(n+2)个面；3n条棱,n条侧棱；2n个顶点。

棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上下两个底面是相似的多边形，直棱柱的侧面是长方形。

棱柱的侧面有也许是长方形,也有也许是平行四边形。

5、正方体的平面展开图：11种

6.截一种正方体：用一种平面去截一种正方体，截出的面也许是三角形，四边形，五边形，六边

形。

7、三视图

物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。

主视图：从正面看到的I图，叫做主视图。

左视图：从左面看到的图，叫做左视图。

俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。

平面图形的认识

线段，射线，直线不一样点

联络共同点

名称延伸性端点数

线段不能延伸2线段向一方延长就

射线只能向一方延伸1成射线，向两方延

都是直的线

长就成直线

直线可向两方无限延伸无

点、直线、射线和线段的表达

在几何里,我们常用字母表达图形。

一种点可以用一种大写字母表达,如点A

一条直线可以用一种小写字母表达或用直线上两个点的大写字母表达,如直线1,或者直线AB

一条射线可以用一种小写字母表达或用端点和射线上另一点来表达（端点字母写在前面），如射线1,

射线AB

一条线段可以用一种小写字母表达或用它的端点的两个大写字母来表达,如线段1,线段AB

点和直线的位置关系有两种:

①点在直线上,或者说直线通过这个点。

②点在直线外,或者说直线不通过这个点。

线段的性质

(1)线段公理:两点之间的所有连线中，线段最短。

(2)两点之间的距离：两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离。

(3)线段的中点到两端点的距离相等。

(4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。

(5)线段的比较：1.目测法2.叠合法3.度量法

线段的中点：

点M把线段AB提成相等的两条相等的线段AM与BM,点M叫做线段AB的中点。

I__________.__________I：M是线段AB的中点

人NA口

AM=BM=-AB（或者AB=2AM=2BM）

2

直线的性质

(1)直线公理:通过两个点有且只有一条直线。

(2)过一点的直线有无数条。

(3)直线是是向两方面无限延伸时,无端点,不可度量,不能比较大小。

(4)直线上有无穷多种点。

(5)两条不一样的直线至多有一种公共点。

角：有公共端点的两条射线构成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条

射线叫做这个角的边。或：角也可以当作是一条射线绕着它的端点旋转而成的。

平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平

角。终边继续旋转,当它又和始边重叠时,所形成的角叫做周角。

角的表达：

①用数字表达单独的角，如/I,N2,/3等。

②用小写的希腊字母表达单独的一种角，如/a,/B,/丫，/9等。

③用一种大写英文字母表达一种独立（在一种顶点处只有一种角）的角，如/B,/C等。

④用三个大写英文字母表达任一种角，如/BAD,ZBAE,/CAE等。

注意：用三个大写英文字母表达角时,一定要把顶点字母写在中间,边上的字母写在两侧。

用一副三角板，可以画出15°,