人教版高中数学必修1 第2章 基本初等函数(Ⅰ)

第二章

基本初等函数（I）

指数函数

雷对数函数

幕函数

•欠J

我们已经如道.由故是描述客电世界变化

规律的史史教学模型.而对纷繁正.条的变化现

象.我们还可以根据变化现象的不同才征进行

分类研究.例如•在自然翁件下，细胞,的分

我、人口的用长.生物体内碑II的衰减等变

化规律.可以用指收函用摸笈来研5ts地震震

级的变化理体、溶液|>11的变化现■井等•可以

用对发函数校里在研宽；正方体的体枳与边

长间的关系、理想状态下气体的质强与体积

的关系等・可以用尊的数模型来研究.

指致函收，对致函数和厚函敦是三光在

要且常用的米本初手函数.是进一步学习做

学的底础.在本幸.我们将学习指数函数,对

软品数和祖函数的慨念与底本性质.并运用

它们解决一些简中的实陆问题.

2/指数函数

九“我心仆㈣个阿密

问题I据国务院发展研完中心2<HMI即发匕的人*21）《|我国发展前求分析

判斯.农来力"|.我国C（国内生产总值-I1,•均增长钓仙!达到7.3.那么.

。川川2020%.各"的（J『可中为2IHK）年的匕少倍？

如果把我国20<HM|<山1>。成足1个单（：，.20<>1"为第I”♦那么:

I<|ln（l!|l2<x>l<|.）.我国的《；1出可坐为2（刈年的（I7.：｛,”陀

2<H；（UP2<K>2<|<）.我国的3I）P可里为20W年的（I7.3'：>倍:

3<|U（1!|12003i|）.我国的（；【小可.为2<）（H）年的倍：

I<1G（WI2（X）1<|：）.我国的<,1小可单为2（）00年的脩

i殳，年“观刚勺（；1犷为2（“的N脩那么

.............，

即从2«M）0<1思.，<1/我国的（；1）1»为2（KX）年的I.073,倍.

一想.正整数指数指1.073的含义足什么•它II行刊做

运售件质.接照惯制.

人们转生物小尼

问遁2**?|物牝「IJ.它机体内惊〃的碳II会按确定的

亡时.什上fit花

规律改竣.大约州经过，73。卬丧减为原来的♦半.这个时间称的K11*¥nh

为“T阳u「.他据此现仆,人仰犹将「4物体内碳m。'JI个单位•

比「“故，之间的关系

〃=6）.J）

学家根据（*）式可以知道•」物此r/华后•体内第II含不，的俏.

例如.

'll物化「厂>730.25730.3<；730•…《|♦•它体内碟11的畲M，分别

川•（［）•（；）•“•・

1勿体化「f<•0（）0<|.I....'|.loo（JOO年行.根裾<«）J―它体内碳

II的W分别为（!）.（2）•（；）一.

第二章基本初等函数(I)第二章

2.1.1指数与指数铝的运算

作问的2中.我们(2经知道I(；).(1).…足正整数指数几•它们的俏分别为

!.[.[.….那么.(；).(!).(!)的意义型什么呢？这足?我们将要学

习的知识.

卜面.技们•起将指数的取侑范♦从下数«tr剂实数.为此•山及先学习.A的

出识.

根式

我町知遒.如果，“•那么.，叫做“的¥力根•例如.±2就是1的中力根：如果

，”.那么.，叫做S根•例如.2就是8的一方根.

类似地.|I|J(土2»16.我们就把七2叫做16的I次力根；山尸232.2就叫做

32的5次方根.

般地.如果，-“.那么，叫做“的，，次方根("小nx,”.北中〃1.11«e\.

当，，是命数时•正教的»次h根足­个正数.例数的，，次h根足•个讥数.这时.，，

的〃次方根川符3“太，.例如.

「322.V322../</•“.

当"是偶故时.正教的，，次方根育两个.这两个数比为相反数.数时•正数&的正的

"次方果川符号笈&示.他的，，次力根川符号“长示.上的，，次方根。例的"次次方可

以合并n成♦;“(，，⑴.例仙.

力62.力G2.

16的I次方摄可以我小为tyi<5•2.

仇敌没仃偶次〃根.

0的任何次方根都是0.记作施<>.

,弋广:“叫做根式(radical>.这里”叫做根指数(mdir;」<，x|ioncn”.“叫做被开方数

(radicand)•

根据〃次力果的意义.可得

(7a)wu.

例如.(v5)5.(v-3)3.

II

CHAPTER替通商中课程标准实险教科书教学I后修

“•我市的“次方根.等式，尸=“一定成之叫？如果不一定成

。么;/不等于什么？

通过探窕可以得到:

“”，为奇数时•：，，”“，

</•<1

竹〃为儡数时..，，”“

41•I

例।求卜列各式的值：

(I)-(K)；(2)(10),

CDJ(3w)'t(I)h)(u

二(I)，'(X)S：

(2)/(lo>|()|ot

(3))(3n)(35r»r3,

<I>v(<;/>)“hah<«/»>.

分数指数某

Ml.。卜肉的例f.根据，，次一根的定义和数的运0.

v\(a)，，a(u<0.

；''(«)'aa(u-<>),

这就发说•“他式的破开为数的指数指被板折数梏除时.根■可以我示为分数指数补

的形式.

一么.却小式的被JF方敏的指数不能由根指数整除时•银式丫一-可以衣水为分的被

数解的形式呢？例如.能疗把、“.、/，.3等写成卜的形式:

.a(“<*>.

代学”,・引

\bb(//(>).

理——卜所的蛆金

“«'(f<>).11；划M.总专

?它。已打的他

如果可吸.那么维数指数型的运力:性质"时分数指数X

金七&则<加

任否仍燃屈川?%的.

5()

第二型基本初等国数(I)第二章

我们规定正数的正分数指数*的电义是

u:"(a<>.in.”W、，.|LitI>>it里.我们

「足.在条件““.，，，•，，6、.II.，，I卜.」大都可以件成分数喀.».f说定合理

H的说■叼.

指数X的影K.

il：数的取分数.数耶的&义一负整数指数节的意义川仿.我ffI

规定

I

a’(“11.in.,在\.11//I).

«的正分数指数M等于».<>的负分数指数富没有意义.

规定「分数指数林的意义以后•指数的定念就从惟数指数排广到广〃理数指数.

俵数指数M的运算性质对于钉理指数邯也同样适川.即M卜任意〃押故，•、.均〃F

血的运算件质.

(1)a'a,a1'(a>0.r.s6Q)：

(2)(ar)-(/■,(a>0.八sGQ);

(3)(abYa'b'(u>0.h>0.r£Q).

<1一本W开头的问题2.―一学家正是利川/理数指数*的知iH.“节出，I物死I'

6000年.10000年.1(2()00年后体内碳II含讨，的值.何如♦

当//*(1)\181(精确剂。即尚牝I'6(小)q

后.其体内碟II的含糕勺为憔米的18.1.

例2求侑:

例3川分散指数型的形式&示卜列各式⑴中，，⑴:

51

CHAPTER普通高中课程标准实睑教科书敬学।必修

解：〃•〃乂•〃aa；

a,tta•aau：

\.<i(〃•〃)(</)a.

例4iin卜到各式(式中都足正教)：

(I)C2ab)(6〃h)+(3"h)：(2)(ntn)

解：(I)(?"人)(&//,)・(加b)

|2•(G)T(3)!ub

\ub

lui

(2)(〃/〃)

(///)'(〃Y

IIIH

m

〃・

例5i|0卜的各式：

(I)<,.I"I:■•:(2)“<«(».

、〃*va

解：(1)(.'25125)：25;

<53)T

515

.：，：);

a

:/«­.

无理数指数第

I向.我l将将数的取值他阳山整数推广到广行理数.那么.当指数型无理数时.如

・伐•乂应当如何叫解它呢?

II二2

第二章基本初等函数(I)第二章

小实I.我小•个确定的实数.它的大小止如何确定的呢？观察卜人.

应的不足近似值54的近似他5"的近似值收的过剩近似俄

l.1!U5|S269691ILISO33989I.S

1.419.6726697299.8296353281.42

1.Ill9.7351710399.7508518081.115

1.Ill29.7383051719・739872621.Ill3

1.Ill219・7384619079.738618643Lill22

l・III2139.7385089289.738524602MH214

kill21359.7385J67659.7385183321.Ill2136

1.til213569・7385】77059.7385178621.Ill21357

1.Ill2!35629・7385177369.7385177521.Ill213563

由上人不难发现:

耳.2的不足近似低从小W2的方向通近企时.5'的近似的从小r的一向通近，、

当、2的过利近似值从大r、2的方向逼近、/2时.；＞・的近似他从人「，的方向谩近..

所以.5就是呻有理数指数解...............5'•…和》中有理数指数

¥3',51'--5"'.5一”.…按上述变化规律变化的结枭.这个过■可以川图2.IT

人示.

-~•一；，，；“：1；：；；器I；“：：；"、5；qX、.

ffiilI

般地.尢现放指数M“"(“《・。足无理数)是一个确定的实数.仃理数指数解的运

用性质同样适用『无理教指数*.

参照以上的过程.请你说明无理数指数栋源的含义.

53II

CHAPTER普通高中课程标准实验教科艺数学，必婚

»与

I.川根式的心式上小卜的各式(，，0).

2.川介救将故节衣，1；卜网各，3

(I),।(I<OI<•：I(“/，)QI，

(3)v'(ntii)<HI〃)：

3.iin卜的各式,

(2>2、3,.I.5->12；

2-r(g.«2.r).

2.1.2指数函数及其性质

。底数人时.技们将底数的取值他因从性数推广实数.这样•在本”F头的

间也2中.时|(［意的/•<)./»(J)都是有意义的.即中”•个时间，.部《汹确定

的。'花对应.因络比亡匕物体内碟M的含小，是时间/的函数.

Q弋/2中函数P=6广(/^0)的解析式与问题1中函数.v=_

l.O73f(.r€N-.Y20)的解析式有什么共同特征？

■

如果川字灯“代杵数(')和I.()73.那么以卜的1、函数的倘析式郃可以△示为

y=a/

的正式.JC中fl变ht，足指数.屈数。足•个人于0II不等JI的常V.

•殷地♦函数尸“,("•<>.II“,I)叫做指数函数(cxiMMH'iubdfiiiK-iion).JVI'•Wfl

史M.函数的定义减站K

卜向我HI来研究指数函数.丫/(“<).IL"T)的图象。件此

51

第二章基本初等曲数(I)第二章

尢网函数、，2"的图象.

请同学心完成，•.v的对应值表2I.井用描点法画出函数N2,的图象(图2/2).

表2-1

y

内则函数、J)'的图象.

请同学们完成，.、的对应值忠2.井用描点法I叫出它的图象(图2.13).

表2-2

的fty-21的图象与函数y2)的图象有什么关系？可否利用

2的图象画出？=(/)’的图象？

II

CHAPTER四通高中课桎标准实药教科书数学/期您

III2I和人22.以及忤I2.I2和图2.I3可以发现.我

们可1笳山过雨数丫2的因像用到函数、(.【「的凶象.因为

.'1(!)2,..i,1?.(».。点(，..v)%\-yilll<­!ft：.I'll

w.v2,图/I(r.o.-/•/,<(.v)关rv轴的时称点，,(，•

.、,)那。V(1)'的⑶象I•及之亦然.根朋这种N称件就可以

利川.V2,的因象叫出、,(!)的图里<|¥|2.II).

选欢欣较“(“0.且“工1)的若干卜不同的

<>x♦>!AM

侑.在同一平面直角坐标系内作出相应的指政谴

AIfIt).也可以

段的良嵬.曳粗图象•你能发现它们有哪些我同HH］计i|SA计

片征？U忆闪出自tt

用*

般地.指数而».V«(</<*.lLuI)的国彖用件质如I-4所，儿

例612川指教东故”.，)“(“”的因象经过点(3.K>.求/((»

51；

第二自基本初等函数(I)第二章

/“)./(3)的价.

分析：发求/(⑴./(I).八3)的侑.我们而要先求出指数函数/<」)“的斛折

式.也就是奉无求“的他根据源数图发过点(3.n)这•条件.叫儿求时联数”的他

解：内为八，)”的图象泠过点(3.").所以

/(3)JT.

即“n.解附“X.「是

./(.r>k.

所以./((>)st'I./(1)n.n./<3)H'.

例7比校卜列各题中两个值的大小：

(I)1.7'.1.7'»

(2)0.K0.X；

(3)I.T.0.9L,.

解：(I)1.7.1.7可行书函数.、,1.7,的网［、函数值.由「底收1.7I.所以指

数函数l.7，R|足增函数.

因为2.53.所以1.71.7.

(2)0.80.8M一作函数.丫=。.岁的两个函数值.由于底数00.81.所以

指数函数N=0.8ARI3成函数.

因为0.I-0.2.所以0.80.«•.

⑶1.7".().9“不能介作同•个指数函数的两个雨故他.我们可以首先作这两个数

侑中间找个数值.将这•个数值原来两个数值分别比较大小.然篇确定蚊来两个数他

的大小英系.

由指数南数的性期知

,7-、.17”I由阳7可成行刑.利用

国敕单调收.通过门天*的

<>.9U*。・9I-大小关系可以判断机应乱,

所以1.7'一().1)'.值的大小关机

匚7

例8-止别”99年庭•我国人II约13亿•如果今上能将人IIW*均增长率控制”

I.那么经过2()年后,我国人口数最多为多少(精确人亿”

解：没今■人II年平均增长率为I；.经过，年广.我国人II数为.、,亿.

1999"底.我国人”约为13亿：

经过I年(即2000年).人II数为

134-13>1<13X(1+1；)(亿)；

经过2年(即2001年).人”数为

13-(1■1)+13X(14I)•「，

13X(1II)(亿〃

CHAPTER四通高中课慢标准实附教科书数学/必修

经过X"(即2(W|).人【I数为

13X(1+I)r♦13X(1+I"J<I

13x(111)(亿)：

所ix.经过，q.人”数为

.V13X(1+1%)*l3XL0lr<(4>.

当，2。时._y13x1.0136(亿).

所以.经过2"年后•我国人11数批名为16亿.

作实际问麴中.经常会以到类似例8的指数增长模咱:■胡〃川为\.1次的增长率

为〃•经过，次增K.该小用K到、.则、，\<I-/>),(r6N).If；(UIvla'(keR.tl

/•<>sul».||(/zI)的函数足•种指数则函数.这是”常“川的函数校电

(1)如果人口年均增长率提高I个百分点.利用计V器分别计靛

20年.33年后我国的人口数.

(2)如果年均懵长率保持在2%・利用计算悬计算2020〜2100年，每15年相应

的人口数.

(3)你fi■刎我国人口敢的增长呈现什么趋势？

(I)你是如何行恃我国的计划生育政策的？

G轿习

I.ftHt'向六例半M.系中㈣出卜例函数的图余：

(l>.v：<'»(2>,v=(*).

2.求卜例，数的定义城:

工丫.冲剂胞分初也巾।‘广分盟成？个.2个分裂成।r……依

此类描.。出।储由的刑胞分裂，次行,得到的细胞个数.v

,j，的函数物折式.

XL/

5K

第二章基本初等函数(1)第二章

A组

1.求卜列各式的值:

(I)师心(2)^(-0.i)s»

(3)7(<-4)5|(4):(J-W(x>y).

2.用分数指数小卜列各式(其中各式字母均为正数〃

⑴隔⑵<3>

3.用汁箕器求值(结果保加1位〃效数字〃

(I)53(2)8.3b(3)第।(4)2,.

I.计算下的各式(式中各字做均为正数”

(1>>/>：(2)u"a>+"；I

(3)<，y:),:|(•1)\u'!>1+(-彳“%-),

⑸(甯)'(6)(—2.r*y*)(3x^,v'><lx'y*)«

(7)(2_r±+3y”2r，-3,v3t(8)3C-3，y+)+(-6,

5,求下列南数的定义域：

(1>y=T*•(2)y=3"T|(3)y=(})i(■•).v0.7­.

6.帚产品的产版“来是a.在今后"，年内.计划使产*平均每年比上午增加/»%,。出产旗

ySB年数，变化的函数密析式.

„

7.比较下列各题中两个数的大小,

(I)3*1*.307.(2)0.750.75"1jl

(3)1.0|tT.1.01，(4)0.99l\0.99L,.B

«.巳知下列不罅式.比较，叫”的大小ti

(I)2y2•:(2)0.2-<0.2-|.

(3)a-<a"<0<a<l)»<I)a->a"(a>D.M

9.当化亡生物组织内的碳II的aht不足死亡前的F分之一时.用•般的放射件探濯器就测不到

-l.

破Mr.若死亡士物组织内的碳M经过九个“半我期”后.用一般的放射性探测器能测到碟，

J

14叫？

J

J

,-fi

59II

CHAPTER普通离中课程标准实睑教科书教学，必修

B组

I.求心等式"a'<“，，.13，/”中『的取值危M

❶「；”

2.H知.r":，.求卜的各式的仇：

朴汁R利自的方

(I),'+.，•i(2>i-r1(3).r,,1.>k.即把点一*1

工技夏利。ill,利息的种储箭.本金为，，帽.每斯利幸为r.i々木利制为的f*l-ft-轲表全利

―格魏盛

.、•儿.〃明为，.n出小利和、向〃阴，变化的雨故解析式.如果“人4

4计亦F一期的

金I000心海期利率为2.25•min，期后的本利filJZ名少(Ki确M鸟.>同现行

到1心？<则储一中的H

动M，生左灸做

1.设M“'.片中，，nII，“I.确定，为何值时.依

H的计秣的例蓄.

<I>M-yr<2)yi>y：.

II60

第二章基本初等函敬（I）第二章

66勺心

借助信息技术探究指数函数的性质

指数国故v＜/（“•＜）.H“।）的图学是讨a它的性质的F倏戊体.借助信息技术

强大的作用和分析功粕.及其对函发图象能进行直挂操作的优越代.例如品ft用学变化的

动态演示•M复引起i化的关位因案.局部放大孑孑.可以使我们方便地碾小「，收的纪伟

变化卅况.同时还能对其中的细节进行考察.运if-就可以从函收图象的变化中获j：f大量关

于国效功点的信息.刀熟.这时我们归纳.概括函外的性质以及不同的41之间的44系与区

剂有极大好处.F而.我们利用信息按术来探究一下指救矗般的性旗.

I.用信息技术绘制函收.丫a（a。.且“川I）的图象.由于底数“可取大于。且不

-Y于I的所有实收.所戏可以用一玳固定于.\，轴的水平线段PA的长足氐示欣秋«的值.

即八点的假坐标，、。示的就是＜/的取值.

2.如图1.从左向右拖动点八（（）•，、”.八的他逐渐增大.当，、的债越来越接

近于I时.田中就越|,越找近于在线.、，1：当八I时.图案就是jl"vI：继续向右

拖动点\（八I）.如图2.图象发生了变化.成行外的伍的逐渐增大.在第一拿米内.

图象越K艺接近Fv4.b.在扉二尊限内.用学炖表越接近于，轴.

3.从用I.2可以3当地发现指敦函敕的性质：

（I）所有的函收国&邸过点（（）.1）：

（2）所有的函收的定义域都是（.t）.依域都；£（＜＞.）«

（3）在阕I巾.'i（＞•＜»1时.函数图象均呈下降屯分.印品故递或：住图2中.当

01时.品找闺拿均呈上升通势.即由数递增.

收下修八一保维北电卷图I和图2.挥究以下问随：

当自变量，取同一个班时.时应的图数值.V的大小关系是什么.从中你发现了什么说什？

你可以亲自访广川信息技术绘制指数函收的图筑.通过改变U的大小.认识拉ft品效

的变化规律.

61

22对数函数

2.2.1对数与对数运。

%

［考Y在2.1.2的例8中.我们能从关系N=13XL()r中.算出任意一个年

二央，的人口总数.反之.如果问“嘟一年的人口数可达到18亿.20亿,30

亿……"•该如何解决？

对数

I述间也灰兄I.就让从tl.nl.:11.01.p*l.“r.…中分别求出，.

即12知底教和*的俏.求指数.这是我们这“将要学习的对

数问题.

般地.如乳,，’\(a-<>.||.«Z1).那么数r叫做以3-1()),--拉

为底N的对数<logarithm).iiJflTstl<>K^riilitii

，此、.，时的惊笏♦

H中，，叫做时数的底数•\叫做其数.

Mill,illi\s.I.m•所以“就是以I.⑴为底鲁的月数•汨0，尿3；

laI.)13

III11IB.所⑶以I为底16的对数是2.k:作h/162.

前付我们将1“为底的对数叫做常用对数(commonlojyirithm).并把1尔1'记

为此、.以外.在科。：技术中常/用以无理数，♦2.71828…为朕数峋财敢•以•为

底的(,)收称为自然对数(nauir;illogariilmi).Jj-1|JClog.;、的为luN.

果据必收的定义•可以得到<1数।J指数间的关系：

当«0.«--I时.a'X：xlog.5,._”的,

山指数,J0数的这会关系•可以得到大干为数的加卜结论：3r阶；”

II62

第二章基本初等困数(I)第二章

负数和零没有对数：

l(>>L10.卜心〃Liff你刊用时

收与指H间的关

系江明达港十

例1将卜到将数大化为对化为・时数式化为式数式Wife.

⑵2'；

(I)51625：

61

(3)()-5.73：(I)log16I：

(5)1g().<i|2：(6)In102.303.

解：“)log<>25h⑵G：

(3)log73mi=16：

(5)K)O.Oh(6)/10.

例2求卜列各式中.，的侑:

<I)l(>g>.i.r二$(2)log,8^6；

•>

(3)lKl(M»ri(I)-111e,-.r.

解：⑴因为1叫”一；.所以

(2)内为卜幅86.所以/8.

乂,0.所以

.rX(2)2，2：

(3)因为1火100j.所以

10,100.

10,-1(〉.

r及.，2：

(n闪为InC.所以

Inc.r.

c-Vr•

Fli./2.

63II

CHAPTER苜通高中课桎标准实脸教科书教学，磔修

缘习

I.把卜列设秋式叮成*153

二.杷m收入。成折数式:

log..t

co|)«(I)

人求卜的各小的价:

<I>!<»«?•：11*1.;

(3>!»IIMM>；IM<HHII.

I.求I网各式的Hl：

l<»kI：

h»U♦».->：

--

对数的运算

你能野出忖应的对数运算

性质吗?

illI

i2

\lu.\

J足

\/\

山川故的定义力刊

logM〃，・log\〃•

l<>g.(A/,\)；//〃.

提样.我修就行到时畋的个运—件质:

61

第二章墓本初等函敬(1)第二章

log.(M•V)log,Af4IOR..V.

同样地•同学们可以仿照上述过程•山小：〃”“"和L•得出时数运算的

其他性质.

WL我们徨到如卜的对数运外性质.

如果a>0.H.0XLM>0・NX).那么:

(1)lojc(M,\r)log^iVfIlogu.V;

(2)log.log.jVf10gliN3

(3)bgjW〃k)guM(w€R).

例3IIIlogi.k>K..v.1<小：&示卜例各式:

解：(1)1也'：'

log.J.rv)log./*

♦h»R,vlog.c：

IORJ*'v：v)尿卜

1<代"Ilog..v.Vl<>K..*

2l，M.，TOlog.,v3IOR.C.

例4求卜列各式的值:

1)log<I2h<2)1g.I(K).

解：(I)1c*(1X2)

logIIlog2

7logII3log：2

7<2♦5>I

19：

(2)1gvKM)

1I。

2

65II

CHAPTER普通鸟中课程标准实验教科书数学，必修

从对数的定义可以知道.任总:不等1•I的出数都可作为W数的氐数学史I.人们经

过人址的转〃.制。了常川对数乩门然对数我.只饕通过代点就能求出任包小微的常•川

时数或门然为数.这样•如果能将■他屈的时数转换为以1。或