第九章假设检验

第九章--假设检验1第九章假设检验第一节假设检验的一般问题一、什么是假设检验假设检验是对未知的总体分布函数形式或分布中未知的总体参数作出某种假设,然后抽取随机样本、构造适当的统计量,利用样本提供的信息来验证这一假设是否可信的一种统计分析方法。2二、假设检验的基本思想假设检验的基本思想是:在某种原假设成立的条件下,利用适应的统计量和给定的显著性水平,构成一个小概率事件,可以认为小概率事件在一次观察中基本不会发生,如果该事件竟然发生了,就认为原假设不成立,从而拒绝原假设,接受备择假设。可以看出,无论假设的类型多么复杂,进行检验的基本思想都是很简单的,是某种带有概率性质的反证法.3三、假设检验的步骤假设检验通常按以下五个步骤进行:(1)提出原假设和备择假设;(2)构造适当的检验统计量;(3)确定显著性水平α和对应的临界值;(4)计算检验统计量的值;(5)作出统计决策并加以解释。4四、有关的几个基本概念为了进行假设检验,与之相联系的几个基本概念需要搞清楚。(一)原假设和备择假设原假设就是我们要检验的假设,也称零假设,一般用H0表示。它常常是根据已有的资料,经过周密考虑后确定的。备择假设是与原假设相对立,在原假设被否定时所接受的假设,用H1表示。当经过抽样调查,有充分根据否定原假设H0时,就产生了需要接受其逻辑对立面的假设,就是备择假设。显然对任一个假设检验问题,其所有的可能结果都应包含在这两个假设的范围内。5

(二)小概率原理与显著性水平小概率原理是指发生概率很小的随机事件在一次试验中几乎不可能发生。大数法则告诉我们,就大量观察而言,事件的发生仍是具有规律性的。这种规律性的数量表示称作为概率。在大量观察中频频出现的事件具有较大的概率,出现次数较少的事件,具有较小的概率。根据概率的大小,人们对它的态度和处理方式是很不一样的。在日常生活中,人们习惯于把概率很小的事件,当作在一次观察中是不可能出现的事件。这个原理称为小概率原理。假设检验中所依据的小概率原理,只是把小概率的标准,定得更为具体和数量化而已。6显著性水平是指根据小概率原理所规定的小概率事件的概率标准,即规定小概率的数量界限,一般用α表示(0<α<1)。当某事件的概率p≤α时,就认为该事件是一个实际不可能事件。通常的标准有α=0.01,α=0.05,α=0.10。在假设检验中,我们建立一个零假设,实际上是认为零假设代表的事件发生的概率很大,而备择假设代表的对立事件发生的概率很小,是个实际不可能事件。如果在一次试验中备择假设代表的小概率事件居然发生了,我们就有理由怀疑零假设的正确性。7(三)两类错误由于我们拒绝或接受一个零假设的决策是依据样本得出的,因此检验的结果也存在着接受错误的假设和拒绝正确的假设的可能性。假设检验的各种可能结果见表9-1。P1548

(四)接受域、否定域及临界值当给了犯第一类错误的概率即显著性水平后,根据一个固定容量n的样本计算出的检验统计量的全部可能取值的集合,可以画出该统计量的分布。不妨设被确定的检验统计量满足正态分布(见图).

否定域是指在抽样分布中分属两端的能够否定原假设H0的小区域,否定域的大小由显著性水平α决定。当检验统计量的值落在否定域,即否定H0,接受H1;检验统计量落在接受域,接受H0,否定H1。两个否定域中间的部分称为接受域。接受域的面积就是接受H0的概率1-α。接受域与否定域的分界点称为临界值。9(五)双侧检验和单侧检验根据假设的形式不同,假设检验可分为双侧检验和单侧检验(这里以总体均值μ的假设检验为例)。1.双侧检验其形式为:H0:μ=μ0H1:μ≠μ0双侧检验的显著性水平平均分布在左右两侧,否定域分别在分布曲线的两端(见图7-1)。对于双侧检验,有时将H1略去不写,仅写H0也可以。102.单侧检验其形式有两种:(1)左侧检验,其形式为:H0:μ≥μ0H1:μ<μ0(2)右侧检验,其形式为:H0:μ≤μ0H1:μ<μ0左侧检验的否定域分布在曲线的左端,右侧检验的否定域分布在曲线的右侧(见图9-2)。由于单侧检验的否定域分布在一侧,较之双侧检验来说,显著性水平增加了1倍,因而更能拒绝原假设,一般应谨慎使用。图9-2单侧检验11

(六)检验统计量假设检验以样本为依据,通过构造一个合适的检验统计量来分析样本统计量与参数假设值的差距。差距越小,假设值真实性可能就越大;差距越大,假设值真实可能性就越小。但是,直接用样本信息即样本观察值检验统计假设是困难的,我们必须借助于根据样本统计量构造出在理论上满足一些要求的另一个统计量。这个用于假设检验的统计量称为检验统计量。12第二节z检验法z检验法是统计学中假设检验的方法之一,主要用于总体平均数与总体比率的假设检验,一般适用于大样本的情况。一、总体均值的显著性检验(一).一个总体均值的显著性检验在总体为正态总体,总体方差已知,或总体为非正态总体,但总体方差已知且n>30的大样本条件下,一个总体均值的检验可选择z检验统计量。其计算公式为:

式中:为样本均值;μ0为假设的总体均值;σ为总体标准差;n为样本容量。13

(二)两个总体均值之差的显著性检验从两个相互独立的被研究总体中,各随机抽取一个样本,如果这两个样本平均数之间存在差异,是否能说明它们的总体平均数之间也存在着差异。这需要用假设检验的方法进行研究。如果两个样本容量均超过30,可采用z检验统计量。14二、总体比率的显著性检验(一)一个总体比率的显著性检验在前面曾谈到比率的概念,比率实际上可以看作是一种特殊的均值。在大样本情况下(np≥5或n(1-p)≥5)时,样本比率p趋向正态分布p~N(P,σ2p)其中:P为总体比率;n为样本容量。标准化~N(0,1)z统计量就是用于进行假设检验的检验统计量。有了统计量z和显著性水平α,就可以类比总体均值的讨论进行假设检验。(二)两个总体比率之差的显著性检验15第三节t检验法

t检验用于服从t分布的统计值检验正态总体平均值的方法,它是统计学中假设检验的另一方式。在经济社会统计中,t检验一般适用于小样本情况,而且主要用于总体平均数的检验。t分布和正态分布一样,是对称分布,并且他们的取值范围是从-∞到+∞。但t分布与正态分布相比较,一般峰度较偏平,而且对于不同的样本容量都有相应的t分布,并且当样本容量n逐渐增大时,t分布便渐近于正态分布。如果样本容量大于30,就可以用正态分布来取代t分布。图9-3是t分布与标准正态分布的比较图。16图9-3不同自由度t分布和标准正态分布比较示意图t分布已编制成表(见附表2),只要知道显著性水平α和自由度,便可查出相应的临界值。所谓自由度,是指独立的随机变量的个数。这里可理解为抽样单位数减去1。17一、一个总体均值的检验在总体分布为正态分布时,若n<30,则一个总体均值的检验应选择t检验法。检验统计量的计算公式为:若总体标准差σ未知,可用样本标准差s替代。18二、两个总体均值之差的检验这里主要讨论总体满足正态分布的情况,当两个总体方差未知且相等,检验统计量的计算公式为:

当总体标准差σ未知时,可用样本标准差s代替

当μ1=μ2时,检验统计量服从自由度为(n1+n2-2)的t分布

19第四节正态总体的假设检验

前面介绍的许多检验方法都建立在总体是正态分布的前提下。看来,根据随机变量的样本值,遵从正态分布是很重要的,同时也具有很大的实用价值。第三章曾经介绍了直方图的绘制方法。一般来讲,可以根据样本观察值画出直方图,从直方图可以粗略地看出随机变量是否服从正态分布。本节则介绍用拟合检验法、JB检验法来检验总体是否服从正态分布。20一、拟合检验法通过一个实例加以说明。二、JB检验法JB检验适合大样本检验总体是否服从正态分布。先计算样本的偏度和峰度再利用JB检验统计量进行检验。在原假设总体服从正态分布的情况下,雅克和贝里证明了JB统计量(在大样本)遵循自由度为2的χ2分布。在给定的显著性水平下,查χ2分布临界值χ2α(2),若JB统计量大于χ2α(2),则拒绝原假设。21［例］从某地随机抽取150名职工进行调查,经计算,得知其收入水平的偏度为-0.54,峰度为2.78,试问该地区职工收入水平是否服从正态分布？(α=0.05)22第五节假设检验的计算机实现下面我们运用spss软件,在计算机实现假设检验的方法。一、例题假设某市居民可支配收入为正态分布,已知该市居民人均可支配收入16000元,总体方差未知,现从某社区随机抽取20户居民进行调查,其人均可支配收入为:17210，27610，6800，17850，16250，35900，

6430；18580，7050，7590，16100，17400，

18720，18300，5400，7600，45600，6620，

16830，16260试问该社区人均可支配收入是否与全市基本一致?(α=0.05)23二、操作步骤(1)将上面的数据输为一列,将此列变量命名为“收入”,保存到文件“人均可支配收入.sav”中。(2)利用SPSS菜单实现平均数显著性检验。①单击主菜单Analyze→CompareMeans→One-SampleTTest,进入主对话框,如图9-5所示:

图9-5单样本总体平均数检验主对话框24A.把指定分析的变量“收入”从左侧添加到右边的检验变量表列(TestVariable(s))中。B.在主对话框右下方的检验值(TestValue)后面的方框中填入指定检验的总体均值,此处应为16000。②点击Options选项出现单样本t检验的选择窗口,如图96所示。图9-6单样本t检验Options窗口25A.在此窗口可以定义输出的置信区间(ConfidenceIntenval),系统默认设置为95％的置信区间,用户可以按照需要改变这一数据。B.在Options窗口还可定义处理缺失值(MissingValues)的方法。一般情况下大多保持默认(ExcludeCasesAnalysisbyAnalysis)即可。C.设置完成后,点击Continue返回主对话框。D.在主对话框中点击OK,得到此程序运行结果。三、结果及解释(一)样本统计量的基本描述信息(二)样本均值与总体均值差异性检验结果

26思考与练习1.什么是假设检验？假设检验与区间估计有什么区别？2.什么是原假设？什么是备择假设？3.什么是显著性水平？什么是否定域？4.什么是单侧检验?什么是双侧检验？什么是临界值？5.简述假设检验的两种错误?6.什么是小概率原理。7.如何进行z检验、t检验？278.设某地区根据人口统计资料,在过去一年内死亡人口中,随机抽取100名死亡者为样本,经测定平均寿命为71.8岁,标准差为8.9岁,这是否说明现在人口的平均寿命仍能超过70岁,试以0.05的显著性水平加以检验。并解释原假设被接受的含义或原假设被拒绝的含义。9.研究某居委会自治改革后,居民的满意程度如何。在改革前,该居委会居民只有51%的居民满意居委会的工作,改革后,经抽取80人调查,其中有63人表示满意,现要求以0.01的显著性水平检验。请问改革后是否有更多的居民满意居委会的工作？2810.某厂用自动包装机装箱。在正常情况下,每箱重量服从正态分布N(100,152),某日开工后,随机抽测10箱,重量如下(单位:公斤):99.3,98.9,100.5,100.1,99.9,99.7,100.0,100.2,99.5,100.9。请问包装机工作是否正常?(α=0.05,并认为该日所包装箱重量的方差仍为15)11.某工种工人的班产量服从正态分布。已知进行技术培训前平均班产量为33件,技术培训后抽查了30人,平均班产量为35件,标准差为5.4件。请问能否根据这些资料说明培训效果显著？(α=0.01)12.为比较两种镇咳药的疗效,将40人患者分成两组,每组20人,分别服用甲、乙两种镇咳药,记录下服药后24小时内的咳嗽次数并计算得第一组平均为10.6(次),第二组平均为12.3(次)。若已知两组患者的咳嗽次数分别服从方差为2.32、2.12的正态分布,服药后方差没变。请问能否认为两种镇咳药疗效有显著性差异？(α=0.05)2913.为了解居民消费习惯,在甲、乙两地分别调查了121人和100人,得到数据后算得两地人均购买食品支出分别为30.08元、38.15元,样本标准差分别为24.3元,31.15元,若假定两地居民购买食品支出都服从正态分布且有公共方差,请问两地人均花费在食品上的支出是否有显著差异？(α=0.05)14.某产品次品率为0.17,现对此产品进行新工艺试验,从中抽取200件检验,发现有次品28件。请问能否认为此项新工艺提高了产品的质量？(α=0.05)15.企业的推销员称该企业的某种产品的正品率占98%,该公司产品的质量一直很好。某采购员随机抽取了240件产品作为样本,结果发现有5件次品。(1)给出原假设,并说明理由。(2)以显著性水平α=0.05检验,请问推销员的话真否？(3)若采购员犯了第一类错误,其所属企业将损失20万元。若采购员犯了第二类错误,其所属企业将损失100万元。请问显著性水平α这时应该小还是大？为什么？3016.厂青工参加市里统一组织的技术考核,随机抽取40人,算得实际操作的平均分为86分,若全市技术考核实际操作的平均成绩是82分,该厂所有参加考核的青工实际操作成绩的标准差为15分。请问该厂青工的实际操作水平与全市平均成绩有无显著差异？(α=0.05)？17.某校二年级学生期中统计学考试成绩平均分数为75分,标准差是15分。期末考试后,随机抽取20人的统计学成绩,其平均分是79分。请问该年级学生统计学成绩是否有显著进步？18.厂进行技术考核,随机抽取中级工190和高级工150名,考核结果中级工合格168人,高级工合格125人,问中级工、高级工合格率是否相同？3119.某食品厂生产果酱,标准规格是每罐净重250克。根据以往经验,标准差是3克。现在该厂生产一批这种罐头,从中抽取100罐检验,其平均净重是251克。按规定,显著性水平α=0.05。请问该批罐头是否合乎标准？20.某公司生产电池,其寿命分布近似为正态分布。该公司声称:某种型号电池平均寿命为21.5小时。在实验室里测验了该公司生产的电池6只,得它们的寿命分别为:19、18、22、20、16、25小时。请问这些结果是否表明这种型号的电池寿命比该公司宣布的寿命更短？(α