《直线和圆的方程》教学分析和教学建议

人教A版高中数学新课标教材选择性必修（第一册）第二章直线和圆的方程的教材分析与教学建议一、本章教材的内容结构直线和圆是平面几何中已经研究过的问题，把它们作为解析几何开始阶段的研究对象，通过建立直线和圆的方程，研究与它们的问题.本章在平面直角坐标系中探究确定直线、圆的几何要素，并利用坐标表示这些几何元素，进而得到直线、圆上的点的坐标所满足的关系式，建立直线的方程、圆的方程；通过它们的方程，用代数方法研究有关几何问题，包括两直线的位置关系，两直线的交点坐标，两点间的距离、点到直线间的距离、两平行线间的距离，以及直线与圆、圆与圆的位置关系等.二、本章教材在整册教材及高中数学教学中的地位与作用解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的，它的基本内涵和方法是：通过坐标系，把几何的基本元素——点和代数的基本元素——数（有序数对或数组）对应起来，在此基础上建立曲线（点的轨迹）的方程.从而把几何问题转化为代数问题，再通过代数问题研究几何图形的性质。解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此进入变量数学时期，它为微积分的创建奠定了基础。在以往的几何学习中，我们常常通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法研究几何图形的形状、大小和位置关系，也就是通常说的综合法.本章采用坐标研究几何图形的性质，可以使学生体会解析几何方法的特点，感悟平面解析几何中蕴含的数形结合等重要数学思想.本章是在学习了平面向量的基础上，以向量为主要工具之一，利用坐标法来研究直线和圆有关的几何问题。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程等联系起来，达到了形和数的结合，蕴含了对应思想、数形结合思想。本章在一定程度上综合地运用了一些三角知识、平面几何知识、平面向量知识等。直线和圆的方程是最基本的曲线方程，是后继学习圆锥曲线及其它曲线方程的基础，也是学习导数、微分、积分等知识的基础。三、本章教材的课程标准及课程目标分析本章的研究对象是直线与圆。根据课标要求，通过本单元的学习使学生在平面直角坐标系中认识直线和圆的几何特征.在此基础上，建立它们的标准方程，并用代数方法进一步认识它们的位置关系，运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何蕴含的数学思想.“确定几何要素（或特征）代数刻画检验完备性建立方程应用”的研究路径.在此基础上，可以进一步研究它们的位置关系，通过直观定性认知代数定量刻画应用的研究路径，在比较中体会坐标法的特点以及它在研究平面解析几何问题的普适性和重要性.链接高考链接高考——2021年全国新课标Ⅰ卷（山东卷）11.——2022年全国新课标Ⅰ卷（山东卷）11.——2022年全国新课标Ⅰ卷（山东卷）14.——2021年全国新课标Ⅰ卷（山东卷）21.——2023年全国新课标Ⅰ卷（山东卷）6.四、本章的教学建议（一）课时分配，本章教学时间共计约需16课时章节主题建议课时2.1直线的倾斜角与斜率

2课时直线的方程

3课时直线的交点坐标与距离公式4课时圆的方程2课时直线与圆、圆与圆的位置关系3课时小结小结2课时（二）重难点突破及其策略（二）重难点突破及其策略本章重点：直线的方程、圆的方程，以及运用它们研究两条直线的位置关系、交点坐标、点到直线的距离，直线与圆、圆与圆的位置关系等.本章难点：用向量方法推导点到直线的距离公式，以及对直线与直线的方程,圆与圆的方程之间关系的认识,理解有关应用.“曲线的方程”与“方程的曲线”的理解第一，要特别重视点斜式方程的教学，这里的关键是要加强对“在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0,y0)和斜率k,就能唯一确定一条直线”的几何意义、代数意义的.第二，在求出直线的方程后，要“通过直线上任意一点的坐标都满足方程（纯粹性），且以方程的解为坐标的点都在直线上（完备性）”，再一次引导学生认识“唯一确定”的含义.2.注重引导学生对基础公式的推导，加深对公式的理解（1）在点到直线距离公式的推导过程中，运用坐标法求点到直线的距离，计算思路与方法容易得到，但运算难度较大；用向量方法推导点到直线的距离公式，将几何元素“向量化”并以投影向量为纽带，通过向量运算，可以非常简捷地推导出公式.通过不同的推导方法，讨论、对比、优化、反思，可以使学生用联系的观点看待问题，加深对公式本质的认识及其蕴含的思想方法，发展学生的逻辑推理、数学运算等素养.“坐标法”中的应用将实际问题坐标化是学生学习过程中的难点，为了突破这一难点，先通过问题引导学生思考如何根据问题的条件建立适当的坐标系，将问题代数化.用坐标法解决实际问题的基本步骤，得出“三步曲”.第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.（三）教法、学法建议1.抓住一切机会渗透解析几何的基本思想.首先，要注重章引言的学习，发挥章引言的先行组织者作用，使学生形成对坐标法思想的宏观认识.其次，紧紧围绕坐标法，在每一个具体问题的研究过程中，都强调“先用几何眼光观察再用代数方法解决”，引导学生明确问题的几何意义、涉及的几何元素和几何关系，再用坐标法的语言进行转化，得出问题的代数表达，在此基础上进入代数运算求解.2.注重全面调动已有知识，特别是与三角函数、平面向量等知识的联系，在建立相关知识的联系中体现数形结合思想.直线斜率的定义、判定两直线垂直的充要条件，点到直线的距离、以及解决一些与圆有关的简单问题，圆的参数方程的推导，都用到了平面向量、三角函数的有关知识。运用坐标法通过代数运算解决几何问题过程程序化，但在具体操作过程中难免会遇到运算复杂的情况，简化运算的一个基本途径是调动已有的几何知识，数形结合地解决问题，这也是强调“先用几何眼光观察、再用代数方法解决”的坐标法思想的体现.“曲线和方程”的内在逻辑关联，帮助学生在一般观念引领下构建和把握曲线方程的整体结构.曲线与方程之间一一对应的关系是解析几何的基石.虽然教科书正文中没有明确提出曲线与方程的关系，但是两者的对应关系在直线的点斜式方程、圆的标准方程的建立过程中有所体现.从大的范围看,曲线与方程之间的一一对应反映了数量关系与空间形式之间的关系.有了这种关系，就可以用方程表示曲线，对曲线进行“运算”；建立方程的几何直观表达，把方程“形象化”，进一步体会数形结合的思想.4.在教学中渗透分类讨论思想方法，培养学生的逻辑思维能力.直线倾斜角的定义、直线斜率的定义、如何用直线的点斜式和斜截式设直线方程、过圆外一点求圆的切线方程的注意事项、由截距相等设直线的截距式方程时的注意事项、用斜率就要讨论斜率等.5.充分注意各种曲线线方程的“个性”，归纳“共性”，培养学生思维的严谨性.每一种曲线方程都有自己的特殊意义，反映了确定曲线位置的特殊条件.直线的方程都是二元一次方程，圆的方程都是二元二次方程，进而可以拓展到圆锥曲线的方程也是二元二次方程.在直线各种形式的方程中，当斜率存在或表达式有意义时，一般式方程与其他形式的方程可以互化.圆的一般方程与标准方程虽然形式不同，但本质上是一致的，两者形式之间可以互相转化.6.在求轨迹方程时，注意步骤的严谨性和完整性.以建立曲线方程的一般步骤为指导提出问题,以坐标法思想统领整个研究过程，让学生经历求曲线方程的完整过程.7.加强与综合法、向量方法的比较，使学生体会坐标法的特点.综合法是不借助其他教学工具，用逻辑推理的方法，通过抽象思维解决问题；坐标法以平面直角坐标系为媒介，用方程表示直线与圆，通过代数运算解决几何问题，具有程序性；向量方法以向量为工具，发挥向量集数与形于一身的优势，用向量及其运算来表示几何元素及其关系，再通过向量运算得出结果.在完成本章的学习后，学生自主回顾包括基础知识、思想方法、研究路径等方面内容，回答课本101页的9个问题，对本章进行梳理总结，已达到对本章基本知识、思想的融会贯通，基本技能、方法的灵活运用，提高求解与直线、圆有关的问题的能力.9.设计专题训练，结合解题过程，加强方法的总结，落实解题技能.以课本复习参考题2的第16题为例，以习题结合变式的方式，通过不同方法的比较让学生理解，借助于几何关系，特别是垂径定理，可以使得代数计算得到简化，体现数形结合的思想方法.题，让学生理解这些问题求解依据的一致性，又通过追问让学生看到只要突破了点关于直线对称，即可破解其它对称问题.培养学生抓核心概念，让学生充分理解一个新的问题可以归结为旧的、已解决的问题，在梳理的过程中提升学生的转化与化归素养.发展学生分析问题、解决问题的能力和数学抽象素养.以复习参考题2第20题为例，解决了两个问题，一是直线恒过定点的问题，二是与圆有关的最值问题，并且解决了其它与圆有关的最值问题.可以看出它们反映出的共性是：用坐标法解决问题，建立在几何直观基础上的运算是有效解题的关键.17.已知0<x<1，0<y<1.求证：并求使等式成立的条件；说明上述不等式的几何意义．以习题2.3第17为例，帮助学生理解数形结合思想的另一个方面，代数表达式的几何直观，这是数形结合的重要方面，在处理某些代数问题时，利用几何直观，发挥图形的功能，有助于代数问题的解决.这些专题全部基于教科书中的题目，并进行引申、拓展.使学生理解数形结合一方面是几何图形的代数表达，另一方面是代数表达式的几何直观，这是数形结合的两个方面，两者都不可或缺.而且始终贯穿一种观念：用坐标法解决问题，建立在几何直观基础上的运算是有效解题的关键，运算具有“数形结合”的特点，不仅仅是代数运算.这个过程中，引导学生学会发现和提出问题，从解决问题的过程中感受数学的魅力.“书写规范、运算准确、过程完整”的要求、为下一步学习圆锥曲线打下基础.（一）大单元教学设计实施框架单元整体教学主要指的是教师从《直线和圆的方程》整个一章出发，综合使用各种教学方式来让学生完整的掌握本章内容，有利于对教学内容进行整合，也有利于帮助学生构建本章的知识结构体系，让学生能够对这一单元知识形成一个较为完整的理解和把握。（二）大单元教学设计理念1.有机整合几何知识：将直线与圆的方程与其他相关的几何知识点进行整合，比如点与直线的关系、直线与平面的关系等，帮助学生建立全面的几何知识体系。通过对不同几何知识点的联系和区别进行比较和分析，促进学生综合思维的发展。2.引导学生跨越思维：通过引导学生分析和解决一些相对复杂的问题，帮助他们跨越不同几何知识点之间的思维鸿沟。3.提供综合运用的练习和问题：设计综合性的练习和问题，让学生运用所学的直线与圆的方程知识来解决实际问题。这些练习和问题可以涉及到实际生活中的应用场景，也可以涉及到其他学科领域的知识点，帮助学生将所学的知识与实际应用相结合，培养问题解决能力。（三）确定大单元教学目标大单元教学应体现发展核心素养的要求：教师要准确理解核心素养的内涵及相互关系，根据课程目标、内容要求和学业要求等制订大单元目标，将培养核心素养的要求具体化，体现核心素养的综合性、发展性和实践性等特点。大单元目标应体现核心素养的综合性、发展性和实践性。崔允漷：“教学‘有效’的唯一证据在于目标的达成，在于学生学习结果的质量，在于何以证明学生学会了什么。”大单元目标和学业要求：大单元目标是学生应当知道、理解或能够做的事情，它是完成某项学习活动或学习任务的结果；学业质量是根据学生目标达成的依据即学习成果（产品、行为、过程），标明其表现程度或质量标准的评估方案。（四）探究大单元教学实施策略1.提升学生参与探讨的兴趣在教学中，教师要想帮助学生更快速地构建数学模型，就要与实际相关联，使教学设计层层递进，由浅入深，并给学生充分的探究空间，以达到促进学生全身心参与其中的目的.2.小组合作，提升学生的探究能力在教学中，保证学生能够对“大单元”设计的问题进行探究和实践的同时，提升学生的合作能力.教师引导学生分组、共同协作解决问题在这个过程中就显得尤为重要.学生分组能够更好地发现问题、解决问题，能够统合联系出高中数学相关内容的脉络，提高对高中数学知识体系的探究能力，从而发挥“大单元”设计在高中数学教学中的作用.3.增加实践活动设计，提升学生的数学学习能力如何把数学知识运用到实践活动中去？教师合理地设计课堂教学内容和层次可以帮助学生从生活实际出发构建数学模型，从而掌握新的数学知识，这样才能够有效形成和发展数学核心素养，使学生的数学学习能力得到提升.《普通高中数学课程标准（2017年版）》给出普通高中数学课程目标为：通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）；提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）。在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数学分析等数学核心素