宁夏银川市长庆高级中学2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题理

PAGE1PAGE11宁夏银川市长庆高级中学2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题理满分；150分。考试时间；120分钟。本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，)1,i是虚数单位，复数eq\f(1－3i,1－i)的共轭复数是()A．2＋iB．2－iC．－1＋2iD．－1－2iA【解析】∵eq\f(1－3i,1－i)＝eq\f(1－3i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i，∴eq\f(1－3i,1－i)的共轭复数是2＋i.2．，则等于（）A. B. C. D.答案；C3、若实数，则与的大小关系是A.B.C.D.不确定答案；B.4，.函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．【答案】C：∵f′（x）=（x-2）ex，

令f′（x）＞0，解得：x＞2，

∴f（x）在（2，+∞）递增，

故答案为：C．5、以下是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是()A．①—分析法，②—综合法 B．①—综合法，②—分析法C．①—综合法，②—反证法 D．①—分析法，②—反证法、答案B由题意得，依据分析法是由结论到已知的推理模式，综合法是由已知到未知的推理模式，所以应填①﹣综合法，②﹣分析法，故选B．6．若f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(0)等于()(A)2 (B)0 (C)-2 (D)-4,【解析】f′(x)=2f′(1)+2x,则f′(1)=2f′(1)+2,得f′(1)=-2,所以f′(0)=2f′(1)+0=-4.故选D。若，则的解集为（）A．B．C． D．【答案】A【解析】，又，故，即，结合可得．故选A．7，我们把平面几何里相像形的概念推广到空间：假如两个几何体大小不肯定相等，但形态完全相同，就把它们叫做相像体．下列几何体中，肯定属于相像体的有()①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．A．4个 B．3个C．2个 D．1个答案C8，已知函数y＝xf′(x)的图像如下图所示．下面四个图像中y＝f(x)的图像大致是()C【解析】由题意知，x∈(0,1)时，f′(x)<0.f(x)为减函数；x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.f(x)为增函数；x∈(－1,0)时，f′(x)<0.f(x)为减函数．9．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个宏大成就.在“杨辉三角”中，第行的全部数字之和为，若去除全部为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为()A．4072 B．2026 C．4096 D．2048【答案】A【解析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【详解】解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为Sn2n﹣1，若去除全部的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则Tn，可得当n＝10，全部项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212﹣1，则此数列前55项的和为S12﹣23＝4072，故选：A．10．若函数的图像和直线有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】当x=0时，明显符合题意；当x≠0时，问题可转化为和直线有三个不同的公共点，从而得到结果.【详解】由题意可知：原点明显满意题意，问题可转化为和直线有三个不同的公共点，如图所示：由图易得：故选：D11．袋子里有编号为的五个球，某位老师从袋中任取两个不同的球.老师把所取两球编号的和只告知甲，其乘积只告知乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号.甲说：“我无法确定.”乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.”依据以上信息,你可以推断出抽取的两球中A．肯定有3号球 B．肯定没有3号球 C．可能有5号球 D．可能有6号球【答案】D【解析】甲说：“我无法确定.”说明两球编号的和可能为7包含（2，5），（3，4），可能为8包含（2，6），（3，5），可能为9包含（3，6），（2，7）乙说：“我无法确定.”说明两球编号的乘积为12包含（3，4）或（2，6）依据以上信息,可以推断出抽取的两球中可能有6号球故选：D点睛：本题是一道通俗易懂的合情推理题目，主要考查同学们的逻辑思维实力和推理实力，问题难度不大，仔细审题是关键.12，已知定义在R上的函数f(x)满意f(3-x)=f(3+x)，且对随意A．f(aC．f(c【答案】C【解析】【分析】由条件f(3-x)=f(3+x)，可知函数f(x)关于【详解】因为f(3-x)=f(3+又对随意x1，x2∈（0，3)都有f因为0<a=2-3又c=eln4=4，∴f4=f和第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.在复平面内，复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围.________．依据题意得出，

14.________．15.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则该商品零售价定为___30_____元时利润最大。16，已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】设切点的坐标为，利用导数的几何意义，求得，再利用基本不等式，即可求解的最小值，得到答案.【详解】由题意，设切点的坐标为，又由函数，则，又由切线的方程可得切线的斜率为1，则，解得，即切点的横坐标为，所以切点为，代入直线方程，得，又因为、为正实数，则，当且仅当，即时，取得最小值.故答案为.三、解答题:(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本小题10分）17、已知函数f(x)＝求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．解析：∵(1,2)为曲线f(x)＝上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k，则k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)|x＝1＝2∴在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x2分由EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y＝x2，),y＝2x)可得交点A(2,4)．4分∴y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积7分S＝＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(1),x3)EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(2),0)＝4－＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(4),3)10分18.（本小题12分）设ｘ，ｙ为正实数，且ｘ＋ｙ＝１，求证（１＋EQ\F(１,ｘ)）（１＋EQ\F(１,ｙ)）≧９19.（本小题12分）已知函数.(1)求函数的极值；(2)当时，求函数的最值．【答案】（1）的极大值为，微小值为；（2）的最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）干脆利用导数求函数的极值.(2)比较端点函数值和极值的大小即得解.【详解】(1)f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)＝0，解得x＝2或x＝－2，x，f′(x)，f(x)的改变如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增16单调递减－16单调递增∴函数f(x)的极大值为f(－2)＝16，微小值为f(2)＝－16.(2)由(1)知，f(－2)＝16，f(2)＝－16，又f(－3)＝9，f(3)＝－9，∴当x∈[－3,3]时，函数f(x)的最大值为f(－2)＝16，最小值为f(2)＝－16.20.（本小题12分）中国民间十字绣有着悠久的历史，如下图，①②③④为十字绣最简洁的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越美丽．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图案包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并依据你得到的关系式揣测出f(n)的表达式；(3)求eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－1)＋eq\f(1,f3－1)＋…＋eq\f(1,fn－1)(n≥2)的值．解：(1)按所给图案的规律画出第五个图如下：由图可得f(5)＝41.(2)可得f(2)－f(1)＝4×1；f(3)－f(2)＝8＝4×2；f(4)－f(3)＝12＝4×3；f(5)－f(4)＝16＝4×4；……由上式规律，可得f(n)－f(n－1)＝4(n－1)．由以上各式相加可得f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－1)]＝4×eq\f(1＋n－1n－1,2)＝2n2－2n，又f(1)＝1，∴f(n)＝2n2－2n＋1.(3)当n≥2时，eq\f(1,fn－1)＝eq\f(1,2n2－2n)＝eq\f(1,2nn－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))，∴原式＝eq\f(1,1)＋eq\f(1,2)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)＝1＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n).备选．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．[解](1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b. 2分由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，故有EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(f′(2),f(2)即EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(12a＋b＝0，),8a＋2b＋c＝c－16，)化简得解得EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(a＝1，),b＝－12.) 5分(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数； 7分当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,2)上为减函数； 8分当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f(x)在x＝－2处取得极大值，f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2处取得微小值f(2)＝c－16.由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12. 10分此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4. 12分 21.（本小题12分）设函数（=1\*ROMANI）求曲线在点处的切线方程；（=2\*ROMANII）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】（I）由，得．因为，，所以曲线在点处的切线方程为．（II）当时，，所以．令，得，解得或．与在区间上的状况如下：所以，当且时，存在，，，使得．由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．22.（本小题12分）已知函数f(x)＝－2xlnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.(1)设g(x)是f(x)的导函数，探讨g(x)的单调性；(2)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．解析(1)由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，g(x)＝f′(x)＝2(x－1－lnx－a)，所以g′(x)＝2－eq\f(2,x)＝eq\f(2（x－1）,x).当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．(2)由f′(x)＝2(x－1－lnx－a)＝0，解得a＝x－1－lnx.令φ(x)＝－2xlnx＋x2－2x(x－1－lnx)＋(x－1－lnx)2＝(1＋lnx)2－2xlnx，则φ(1)＝1>0，φ(e)＝2(2－e)<0.于是存在x0∈(1，e)，使得φ(x0)＝0.令a0＝x0－1－lnx0＝u(x0)，其中u(x)＝x－1－lnx(x≥1)．由u′(x)＝1－eq\