山东省专升本（高等数学）模拟试卷1（共221题）

山东省专升本（高等数学）模拟试卷1（共9套）（共221题）山东省专升本（高等数学）模拟试卷第1套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、某电视机厂生产电视机x台的成本为C(x)=600+350x－0．01x2，销售收入为R(x)=500x－0．02x2，如果生产的所有电视机都能售出，问应生产多少台，才能获得最大利润?标准答案：设生产电视机x台，则所获利润为：L(x)=R(x)－C(x)=(500x－0．02x2)－(600+350x一0．01x2)=-0．01x2+150x－600，求导得到，L＇(x)=150－0．02x，令L＇(x)=0，求得驻点x=7500．根据题意，肯定存在使得利润最大的电视机产量，此时利润函数的驻点唯一，从而，电视机产量为7500时，所获利润最大．知识点解析：暂无解析2、设函数f(x)=a1x3－3a1x2+a2(a1>＞0)在区间[-1，2]上的最大值为3，最小值为-5，试确定常数a1和a2的值．标准答案：先求函数f(x)在区间(-1，2)内的驻点，为此，令f＇(x)=3a1x2－6a1x=0，求得驻点x=0和x=2(舍去)．通过计算，得到：f(-1)=f(2)=a2－4a1，f(0)=a2．从而有：，求得a1=2，a2=3．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)3、下列极限中正确的是________．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析4、已知函数f(x)的定义域为[-1，0]，则下列函数中定义域为[0，1]的函数为________．A、I(x3)B、f(x+1)C、f(x－1)D、f(1－xx2)标准答案：C知识点解析：暂无解析5、x=2是函数f(x)=的________．A、跳跃间断点B、第二类间断点C、可去间断点D、连续点标准答案：B知识点解析：暂无解析6、已知函数y=y(x)由方程4x2－2y2=2021确定，则=________．A、x／2yB、y／2xC、2x／yD、2y／x标准答案：C知识点解析：暂无解析7、设f(x)为二阶可导函数，y=f(cosx)，则y＂=________．A、f＂(cosx)sin2x－f＇(cosx)cosxB、f＂(cosx)sin2xC、f＂(cosx)D、f＂(cosx)sinj2x+f＇(cosx)cosx标准答案：A知识点解析：暂无解析8、若函数y=f(x)在［a，b]上连续，(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则y=f(x)在(a，b)内平行于x轴的切线________．A、仅有一条B、不一定存在C、不存在D、至少一条标准答案：D知识点解析：暂无解析9、设f(x)有一个原函数cosx／x，则∫f＇(x)dx=________．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析10、若∫f(x)dx=xIn(x+1)+C，则=________．A、-2B、2C、-1D、1标准答案：B知识点解析：暂无解析11、下列积分中，正确的是________．A、∫abg(x)dx=g(b)－g(a)B、∫abg＇(x)dx=g(b)+g(a)C、∫abg＇(2x)dx=1／2［g(2b)－g(2a)］D、∫abg＇(2x)dx=g(2b)－g(2a)标准答案：C知识点解析：暂无解析12、设f(x)为连续函数，则=________．A、1B、0C、2D、1／2标准答案：B知识点解析：暂无解析三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)13、=1，则常数a=________．标准答案：-1知识点解析：暂无解析14、设f(x)=ax3+3x2+1，若f＇(-1)=3，则a=________．标准答案：3知识点解析：暂无解析15、已知函数f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)，则方程f＇(x)=0实根的个数为________．标准答案：4知识点解析：暂无解析16、不定积分=________．标准答案：知识点解析：暂无解析17、已知f＇(x)∫02f(x)dx=72，且f(0)=0，则f(x)=________．标准答案：±6x知识点解析：暂无解析四、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)18、求极限．标准答案：知识点解析：暂无解析19、已知y=f(+1)，其中f(x)可导，求y＇．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设f(x)=，当a，b取何值时f(x)在x=1处可导？标准答案：若f(x)在x=1处可导，则f(x)在x=1处连续．知识点解析：暂无解析21、已知y=arctan，求dy．标准答案：知识点解析：暂无解析22、求函数f(x)=x2－Inx2的单调区间和极值．标准答案：函数定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，f＇(x)=，令f＇(x)=0得驻点x=±1：列表如下：故函数f(0)=x2－lnx2的单调递增区间为[-1，0)和[1，+∞)，单调递减区间为(-∞，1]和(0，1]；极小值f(-1)=1，f(1)=1．知识点解析：暂无解析23、求不定积分∫sinx2xcos3xdx．标准答案：∫sin2xcos3xdx=∫sin2xcos2xdsinx=∫(sin2x－sin4x)dsinx=sin3x－sin5x+C知识点解析：暂无解析24、计算定积分．标准答案：令=t，则x=t2，dx=2tdt，从而知识点解析：暂无解析山东省专升本（高等数学）模拟试卷第2套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、将一根长为l的铁丝截为两段，一段弯成正方形，另一段弯成圆．问：如何截取，才能使正方形与圆的面积总和最小?标准答案：设正方形的周长为x，则圆的周长为l－x，可得正方形的边长为x／4，圆的半径为．令正方形与圆的面积总和为S，则S=，0＜x＜l，求导得S＇=，令S＇=0，得驻点x=．根据问题的实际背景，正方形与圆的面积总和一定能取到最小，此时驻点唯一，可知正方形的周长为，圆的周长为时正方形与圆的面积总和最小．知识点解析：暂无解析2、已知函数f(x)=4x3+a1x2+a2x+5过点(1，-7)，且在x=1处的切线平行于直线y=-3x+1，求a1和a2的值．标准答案：f＇(x)=12x2+2a1x+a2，根据题意，显然有，，容易求得，a1=1，a2=-17．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)3、若存在，则________．A、f(x)必在x0的某去心邻域内有界B、f(x)在x0的某一邻域内一定无界C、f(x))必在x0的任一邻域内有界D、f(x)在x0的任一邻域内一定无界标准答案：A知识点解析：暂无解析4、下列各式中正确的是________．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：暂无解析5、x=0是f(x)=xsin1／x的________．A、跳跃间断点B、无穷间断点C、可去间断点D、振荡间断点标准答案：C知识点解析：暂无解析6、已知f＇(3)=2，则=________．A、2B、-2C、1D、-1标准答案：D知识点解析：暂无解析7、设y=5x3－2x+3ex+ln2，则Y＇｜x=0=________．A、3－1／In2B、5－In2C、3－In2D、2标准答案：C知识点解析：暂无解析8、下列函数在[-1，1]上满足罗尔定理条件的是________．A、y=x2+2x+1B、y=1／xC、y=｜x｜D、Y=x2－1标准答案：D知识点解析：暂无解析9、曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线斜率为1／x，且过点(e2，3)，则该曲线方程为________．A、y=lnx+3B、y=Inx+1C、y=lnxD、y=+1标准答案：B知识点解析：暂无解析10、设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫e-xf(e-x)dx=________．A、-F(e-x)+CB、-F(ex)+CC、F(e-x)+CD、F(ex)+C标准答案：A知识点解析：暂无解析11、=________．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：暂无解析12、设F(x)是连续函数，满足=________．A、-π／6B、0C、π／6D、π／3标准答案：A知识点解析：暂无解析三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)13、函数f(x)=的连续区间是________．标准答案：(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)知识点解析：暂无解析14、设f(0)=0，f＇(0)=3，则=________·标准答案：1知识点解析：暂无解析15、函数f(x)=arctanx－x的单调减少区间为________．标准答案：(-∞，+∞)知识点解析：暂无解析16、已知[Inf(x)]＇=cosx，且f(0)=1，则f(x)=________．标准答案：esinx知识点解析：暂无解析17、已知连续函数f(x)满足f(x)=sinx+l+∫-11f(x)dx，则f(x)=________．标准答案：sinx－1知识点解析：暂无解析四、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)18、求极限．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求极限．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设f(x)=，当a，b取何值时f(x)在(-∞，+∞)上可导？标准答案：显然，当x＞1和x＜1时，f(x)均可导，故只需考虑f(x)在x=1处的可导性即可，若f(x)在x=1处可导，则f(x)在x=1处连续．又，知识点解析：暂无解析21、设函数f(x)=｜x｜sinx，求f＇(0)．标准答案：知识点解析：暂无解析22、如果不求函数f(x)=x(x－1)(x－2)(x－3)的导数，判断方程f＇(x)=0有几个实根？标准答案：由f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=0，在区间[0，1]，[1，2]，[2，3]上分别应用罗尔定理，可得至少存在三点ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，ξ3∈(2，3)使得f＇(x)=0，则方程f＇(x)=0至少有三个实根；又方程f＇(x)=0为三次方程，最多有三个实根，从而所求方程有三个实根．知识点解析：暂无解析23、求不定积分．标准答案：知识点解析：暂无解析24、计算定积分．标准答案：知识点解析：暂无解析山东省专升本（高等数学）模拟试卷第3套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、某公司打算设计一款底为正方形的开口长方形盒子，其容积为108cm3．问应怎样确定盒子的尺寸才能使得用料最少?标准答案：用料最少，即盒子的表面积最小．设盒子的底边长为xcm，则高为cm，容易求出，盒子的表面积为：，x＞0令=2x－=0，求得驻点x=6．根据题意，使得表面积最小的设计方案一定存在，而此时函数有唯一的驻点，因此该驻点即为所求，即当盒子的底边长度为6cm，高为3cm时，用料最少．知识点解析：暂无解析2、求曲线y=Inx与直线x+2y－2=0垂直的切线方程．标准答案：设曲线y=Inx在点(x0，lnx0)处的切线与直线x+2y－2=0垂直，而该直线斜率为-1／2，从而切线斜率为k=2．又，y＇=1／x，根据导数的几何意义，=2，求得x0=1／2．切线方程为：y－(-In2)=2(x－1／2)，即y=2x－1－In2．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)3、设函数g(x)=1+x，且当x≠0时，f［g(x)]==________．A、-1B、-2C、-3D、-4标准答案：A知识点解析：暂无解析4、=________．A、0B、1C、-2D、∞标准答案：B知识点解析：暂无解析5、当x→2时，函数f(x)=的极限________．A、等于4B、等于0C、为∞D、不存在但不为∞标准答案：D知识点解析：暂无解析6、设曲线y=ax2与y=Inx相切，则a的值等于________．A、1／eB、eC、1／2eD、1标准答案：C知识点解析：暂无解析7、设y=y(x)是由方程y2+2Iny=x2所确定的隐函数，则=________．A、(x-y)yB、xy／y2+1C、x－1／y2D、xy／y+1标准答案：B知识点解析：暂无解析8、函数y=x3+2x在区间[-1，0]上满足拉格朗日中值定理，则定理中的ξ=________．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：暂无解析9、下列函数中，不是e2x－e-2x的原函数的是________．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析10、设f(x)的一个原函数是sinx，则∫xf＇(x)dx=________．A、xcosx－sinx+CB、xsinx+cosx+CC、-sinx－cosx+CD、xcosx+sinx+C标准答案：A知识点解析：暂无解析11、下列积分结果为0的是________．A、∫-22xsinxdxB、∫-22(sinx+cosx)dxC、∫-22xcosxdxD、∫-22(x+cosx)dx标准答案：C知识点解析：暂无解析12、设，则________．A、I1＞I2B、I1＜I2C、I1=I2D、无法确定标准答案：A知识点解析：暂无解析三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)13、设f(x)=，则f(In3)=________．标准答案：1／9知识点解析：暂无解析14、设y=，则y＇｜x=0=________．标准答案：-1知识点解析：暂无解析15、若x0为极大值点，且f＇(x0)存在，则f＇(x0)=________．标准答案：0知识点解析：暂无解析16、dx=________．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设∫1xf(t)dt=sin2x－e2x+sin25，则f(x)=________．标准答案：sin2x－2e2x知识点解析：暂无解析四、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)18、求极限．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求极限．标准答案：知识点解析：暂无解析20、求函数f(x)=的间断点，并判断类型．标准答案：显然，当x≠0时，函数f(x)连续．又，，因此，函数f(x)在x=0处间断，x=0为函数f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．知识点解析：暂无解析21、已知f(x)=，求f＇(x)．标准答案：(1)当x＞0时，f＇(x)=1；(2)当x＜0时，f＇(x)=cosx；(3)当x=0时，，，因此，f＇(0)=1．综上所述，f＇(x)=知识点解析：暂无解析22、设函数厂(x)可导，求函数y=f(sin2x)+f(cos2x)的导数．标准答案：y＇=f＇(sin2x)·2sinx·cosx+f＇(cos2x)·2cosx·(-sinx)=［f＇(sin2x)－f＇(cos2x)]sin2x．知识点解析：暂无解析23、已知sinx2为函数f(x)的一个原函数，求不定积分∫xf＇(x)dx·标准答案：根据题意，∫f(x)dx=sinx2+C，则f(x)=2xcosx2．∫xf＇(x)dx=fxdf(x)=xf(x)－∫f(x)dx=2x2cosx2－sinx2+C知识点解析：暂无解析24、计算定积分∫02xe-xdx·标准答案：知识点解析：暂无解析山东省专升本（高等数学）模拟试卷第4套一、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、证明f(x)=∫02x在(﹣∞，+∞)上为偶函数．标准答案：因在(﹣∞，+∞)上为奇函数，故只需证明∫02x在(﹣∞，+∞)上为奇函数即可，没F(x)=∫02x，则F(﹣x)=∫02x对于F(﹣x)，令t=﹣u，则u=﹣t，dt=﹣du，故F(﹣x)=∫0-2x故F(x)=∫02x为奇函数，原命题成立．知识点解析：暂无解析2、如果f(x)在[2，4]上连续，在(2，4)上可导，f(2)=1，f(4)=4，求证：∈(2，4)，使得f′(ξ)=标准答案：令F(x)=由于f(x)在[2，4]上连续，在(2，4)上可导，故F(x)在[2，4]上连续，在(2，4)上也可导，且又F(2)=所以由罗尔定理可得，∈(2，4)，使得F′(ξ)=0，即也即ξf′(ξ)﹣2f(ξ)=0，故f′(ξ)=成立．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)3、如果那么f(x)在以下的有界区间是()。A、(﹣1，0)B、(0，1)C、(1，2)D、(2，3)标准答案：A知识点解析：暂无解析4、设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，若=f(x0)，则下列对此相应的描述正确的是()。A、当丨x-x0丨＜δ时，丨f(x)-f(x0)丨＜ε恒成立B、当0＜丨x-x0丨＜δ时，丨f(x)-f(x0)丨＜ε恒成立C、当丨x丨＜X时，丨f(x)-f(x0)丨＜ε恒成立D、当丨x丨＞X时，丨f(x)-f(x0)丨＜ε恒成立标准答案：B知识点解析：暂无解析5、函数y=x2﹣2x的单调区间是()。A、(﹣∞，+∞)单调增B、(﹣∞，+∞)单调减C、[1，+∞)单调减，(﹣∞，1]单调增D、[1，+∞)单调增，(﹣∞，1]单调减标准答案：D知识点解析：暂无解析6、设f(x)是连续函数，则=()。A、f(x2)B、2xf(x2)C、﹣f(x2)D、﹣2xf(x2)标准答案：D知识点解析：暂无解析7、微分方程(y″)5+2(y′)3+xy6=0的阶数是()A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：暂无解析三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、假设函数f(x)是周期为2的可导函数，则f′(x)的周期为________．标准答案：2知识点解析：暂无解析9、当x→0时，若=A(A≠0)，则k=________．标准答案：知识点解析：暂无解析10、若∫xf(x)dx=x2+c，则=________．标准答案：x+C知识点解析：暂无解析11、若z=x3+6xy+y3，则=________．标准答案：18知识点解析：暂无解析12、如果幂级数∑n=0∞anxn的收敛半径为2，则幂级数∑n=0∞nan(x﹣1)n-1的收敛区间为________．标准答案：(﹣1，3)知识点解析：暂无解析四、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)13、求标准答案：知识点解析：暂无解析14、若y=x2+ex+xx+a2a，求y′．标准答案：因(xe)′=exe-1，(ex)′=ex，(a2a)′=0，(xx)′=(exlnx)′=exlnx·(lnx+)=(1+lnx)xx，故y′=exe-1+ex+(1+lnx)xx．知识点解析：暂无解析15、求函数的水平、垂直渐近线．标准答案：由=1+0=1可得，函数的水平渐近线为y=1；由=∞可得，函数的垂直渐近线为x=1．知识点解析：暂无解析16、求不定积分标准答案：令x=sint，t∈则dx=costdt，原式==∫sec2tdt=tant+C=知识点解析：暂无解析17、计算积分其中D是以(0，0)，(1，1)，(0，1)为顶点的三角形．标准答案：将积分区域看做Y-型区域，0≤y≤1，0≤x≤y，原式=∫01dy∫0y6x2=∫01[2x3]0ydy=∫012y3==∫01te1-tdt=∫01td(﹣e1-t)=[﹣te1-t]01+∫01e1-tdt=﹣1+[﹣e1-t]01=﹣1+(﹣1)-(﹣e)=e-2．知识点解析：暂无解析18、设f(x)=∫1x(x＞0)，求标准答案：因f(x)=∫1x=[ln丨1+t丨]1x=ln(1+x)-ln2，故=ln(1+x)-[ln(1+x)-lnx]=lnx．知识点解析：暂无解析19、求微分方程y″﹣2y′+y=0的通解．标准答案：原方程的特征方程为r2﹣2r+1=0，即(r﹣1)2=0，有两个相等实根r1=r2=1，故原方程的通解为y=(C1+C2x)ex．知识点解析：暂无解析20、求过点(﹣1，﹣4，3)并与两直线L1：和L2：都垂直的直线方程．标准答案：由题意，直线L2的方向向量故直线L1的方向向量=(﹣3，1，10)，又所求直线与L1和L2都垂直，故所求直线的方向向量=(12，46，-1)，故所求直线方程为知识点解析：暂无解析21、求(x+y)dxdy，其中D是由抛物线y=x2和x=y2所围平面闭区域．标准答案：将积分区域看做X-型区域，0≤x≤1，x2≤y≤原式=∫01dx(x+y)dy=∫0x知识点解析：暂无解析山东省专升本（高等数学）模拟试卷第5套一、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、一抛物线过(1，0)，(3，0)，证明：该抛物线与两坐标轴所围图形面积等于该抛物线与x轴所围图形面积．标准答案：由题意，可设抛物线的方程为y=a(x﹣1)(x﹣3)，a≠0，当a＞0时，抛物线开口向上，顶点(2，﹣a)在x轴下方，与y轴的交点为(0，3a)位于y轴正半轴，当a＜0时，抛物线开口向上，顶点(2，﹣a)在x轴上方，与y轴交点为(0，3a)位于y轴负半轴，但不论哪种情况，抛物线与两坐标轴同时围成的图形的面积S1=∫01丨y丨dx=∫01丨a(x﹣1)(x﹣3)丨dx=∫01丨a丨(1一x)(3一x)dx=抛物线与x轴所围图形的面积S2=∫13丨y丨dx=∫13丨a(x-1)(x-3)丨dx=∫13丨a丨(x-1)(3-x)=显然S1=S2，命题得证．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)2、函数的定义域为()。A、(﹣∞，﹣2]∪[3，+∞)B、[-3，6]C、[﹣2，3]D、[-3，-2]∪[3，6]标准答案：D知识点解析：用试探法解即可3、下列各组中，两个函数为同一函数的组是()。A、f(x)=lgx+lg(x+1)，g(x)=lg[x(x+1)]B、y=f(x)，g(x)=C、f(x)=丨1-x丨+1，g(x)=D、标准答案：C知识点解析：注意两方面，定义域和对应法则4、函数y=丨xcosx丨是()。A、有界函数B、偶函数C、单调函数D、周期函数标准答案：B知识点解析：简单判定即可选出答案5、直线x-1==z+8与直线的夹角为()。A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：两直线的夹角即为两方向向量之间的夹角，取锐角6、下列结论正确的是()。A、若级数an2、bn2均收敛，则级数(an+bn)2收敛B、若级数丨anbn丨收敛，则级数an2、bn2均收敛C、若级数an发散，则an≥D、若级数an收敛，an≥bn，则级数bn收敛标准答案：A知识点解析：对于选项A，因an2+bn2≥2丨anbn丨，且(an2+bn2)收敛，故丨anbn丨收敛，所以根据绝对收敛的性质，anbn也收敛，所以(an+bn)2收敛；选项B无法推出；选项C的一个反例为；选项D必须为正项级数结论才正确，一个反例为an=，bn=．三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)7、函数y=[x]=n，n≤x＜n+1，n=0，±1，±2，L的值域为________．标准答案：{0，±1，±2，L}知识点解析：暂无解析8、设则f(x)=________．标准答案：知识点解析：暂无解析9、=________．标准答案：0知识点解析：暂无解析10、曲线y=ln(1+ex)的渐近线为________．标准答案：y=0，y=x知识点解析：因ln(1+ex)=0，故y=0为水平渐近线；故y=x为斜渐近线．11、函数的间断点为________．标准答案：知识点解析：暂无解析四、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)12、设函数求f[f(x)]．标准答案：由题意，当丨x丨＞1时，f(x)=﹣1，故f[f(x)]=f(﹣1)=1；当丨x丨≤1时，f(x)=1，故f[f(x)]=f(1)=1；综上，f[f(x)]=1，x∈R．知识点解析：暂无解析13、求标准答案：知识点解析：暂无解析14、求标准答案：知识点解析：暂无解析15、求标准答案：知识点解析：暂无解析16、若在定义域上连续，试求常数C．标准答案：因f(x)在定义域上连续，故f(x)在x=c处必定连续，所以(x2+1)=c2+1，且f(c)=c2+1，所以=c2+1，解之得c=2或c=﹣2(舍去)．注：c3+c-10=(c﹣2)(c2+2c+5)，c3+c+10=(c+2)(c2-2c+5)．知识点解析：暂无解析17、设f(x)=x(x+1)(x+2)L(x+2012)，求f′(0)．标准答案：注：本题也可使用函数乘积的导数公式推导求解．知识点解析：暂无解析18、设，求标准答案：知识点解析：暂无解析19、设∫xf(x)dx=arctanx+C，求标准答案：等式两边对x求导，得=∫x(1+x2)dx=∫(x+x3)dx=知识点解析：暂无解析20、若u=ln(x2+y)，求标准答案：知识点解析：暂无解析21、求xylnxdxdy．标准答案：积分区域如下图所示．xylnxdxdy=∫12dx∫01xylnxdy=∫12[xy]01dx=∫12(x-1)dx=知识点解析：暂无解析22、求标准答案：记Sn=因(1项)，(2项)，(3项)，依此类推，(n项)，故Sn=共有项的和，又因为所以根据夹逼准则，知识点解析：暂无解析23、在曲线(a＞0，b＞0，x＞0，y＞0)上求一点，使得曲线在该点处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小．标准答案：设切点坐标为(x0，y0)，方程两边对x求导，得故斜率切线方程为y-y0=(x-x0)，令x=0得y=令y=0得x=故面积S=又=1，故S=设f(x0)=x0则f(x0)最大时面积S即为最小，故令f′(x0)==0，得x0=经验证此驻点为f(x0)的极大值点，再根据题意，唯一的极大值点即为最大值点，此时y0=故所求切点为知识点解析：暂无解析24、若f(x)连续，且f(x)+2∫0xf(t)dt=x2，求f(x)．标准答案：等式两边对x求导，得f′(x)+2f(x)=2x，此为关于f(x)的一阶线性微分方程，P(x)=2，Q(x)=2x，故通解为f(x)=e﹣∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]=e﹣∫2dx(∫2xe∫2dxdx+C)=e-2x(∫2xe2xdx+C)=e-2x(xe2x-e2x+C)=x-+Ce-2x，原等式中，令x=0可得f(0)=0，代入上式可得C=故f(x)=e-2x．知识点解析：暂无解析山东省专升本（高等数学）模拟试卷第6套一、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、已知f(x)为连续的奇函数，证明∫0xf(t)dt为偶函数．标准答案：设F(x)=∫0xf(t)dt，则F(﹣x)=∫0﹣xdt，令u=﹣t，则t=﹣u，dt=﹣du，且当t=0时，u=0，t=﹣x时，u=x，则F(﹣x)=∫0﹣xf(t)dt=∫0xf(﹣u)(﹣du)=∫0xf(u)du=∫0xf(t)dt=F(x)，故∫0xf(t)dt为偶函数．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)2、函数的定义域是()A、[﹣3，4]B、(﹣3，4)C、[＜0，2]D、(0，2)标准答案：C知识点解析：由函数arcsin可知，解得﹣3≤x≤4；由函数可知，2x-x2≥0，解得O≤x≤2．故原函数的定义域为两者的交集[＜0，2]，选项(C)正确．3、极限等于()A、0B、2C、1D、﹣1标准答案：B知识点解析：选项(B)正确．4、曲线在点的切线方程是()A、x+4y﹣4=0B、x-4y-4=0C、4x+y-4=0D、4x-y-4=0标准答案：A知识点解析：由于故曲线在点处的切线斜率k=故切线方程为即x+4y﹣4=0，选项(A)正确．5、函数f(x)在x0点可导，且f(x0)是函数f(x)的极大值，则()A、f′(x0)＜0B、f″(x0)＞0C、f′(x0)=0，且f″(x0)＞0D、f′(x0)=0标准答案：D知识点解析：根据可导函数在点x0取得极值的必要条件可知，选项(D)正确．6、函数的铅直渐近线是()A、x=1B、x=0C、x=2D、x=﹣1标准答案：A知识点解析：由于故x=1是原函数的铅直渐近线，选项(A)正确．说明：由于故x=0不是铅直渐近线．7、定积分∫02的值是()A、2πB、πC、π/2D、4π标准答案：B知识点解析：根据定积分的几何意义，∫02就等于圆x2+y2=4位于第一象限内的面积(圆面积)，故∫02·π·22=π，选项(B)正确．8、已知f′(0)=3，则等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：根据导数的定义，选项(D)正确．9、已知点A(1，1，1)，点B(3，x，y)，且向量与向量=(2，3，4)平行，则x等于()A、1B、2C、3D、4标准答案：D知识点解析：由于向量=(2，x﹣1，y﹣1)，由向量与向量=(2，3，4)平行可知，对应分量成比例，故解得x=4，选项(D)正确．10、如果级数un(un≠0)收敛，则必有()A、级数发散B、级数丨un丨收敛C、级数(﹣1)nun收敛D、级数收敛标准答案：D知识点解析：由于级数un收敛，且un≠0，所以un=0，则所以级数发散，选项(A)正确；级数un收敛但丨un丨不一定收敛(如)，选项(B)错误；级数un收敛但(﹣1)nun不一定收敛(如)，选项(C)错误；由于而级数发散，故发散，选项(D)错误．11、函数f(x)=丨x丨在点x=0处()A、不连续B、连续，但图形无切线C、图形有铅直的切线D、可微标准答案：B知识点解析：由函数f(x)=丨x丨的图形可知，f(x)在x=0处连续，但不可导(f+′(0)=f-′(0)=﹣1)，故选项(B)正确．三、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)12、若f(x)=在x=0点连续，则a=________．标准答案：4知识点解析：根据分段函数的连续性可得，f(0+)=f(0﹣)=f(0)，而f(0+)=(3+ex)=4，f(0-)==a，故a=4．13、极限=________．标准答案：﹣8知识点解析：说明：此题也可用洛必达法则解答，如下：14、x=0是函数f(x)=的第________类间断点．标准答案：一知识点解析：由于故x=0是函数f(x)=的第一类间断点．15、由方程x2-y2-4xy=0确定隐函数的导数=________．标准答案：知识点解析：方程x2-y2-4xy=0两端对x求导，考虑到y是x的函数，可得即(4x+2y)=2x﹣4y，所以16、函数f(x)=3x-x2的极值点是________．标准答案：知识点解析：令f′(x)=3-2x=0，可得函数的驻点且f′(x)在的左右两侧附近变号，故原函数的极值点为17、函数f(x)=x4/3的图形的(向上)凹区间是________．标准答案：(﹣∞，∞)知识点解析：f′(x)=故函数的凹区间为函数的整个定义区间(﹣∞，∞)．18、∫3xexdx=________．标准答案：知识点解析：∫3xexdx=∫(3e)xdx=19、向量=(1，1，4)与向量=(1，﹣2，2)的夹角的余弦是________．标准答案：知识点解析：两向量夹角的余弦20、级数的收敛区间是________．标准答案：(﹣1，1)知识点解析：因故所以收敛区间为(﹣1，1)．21、微分方程y″+5y′+6y=0的通解为________．标准答案：y=C1e-2x+C2e-3x知识点解析：由于特征方程r2+5r+6=0有两个不等实根r1=﹣2，r1=﹣3，故原方程的通解为y=C1e-2x+C2e-3x．四、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)22、标准答案：说明：此题通分后，也可用洛必达法则解答，如下所示：知识点解析：暂无解析23、标准答案：原式知识点解析：暂无解析24、求由参数方程所确定的函数的导数标准答案：知识点解析：暂无解析25、求函数y=()x(x＞0)的导数．标准答案：因故知识点解析：暂无解析26、求∫sin2xcos3xdx．标准答案：原式=∫sin2xcos2xcosxdx=∫sin2x(1-sin2x)d(sinx)=∫(sin2x-sin4x)d(sinx)=sin3x-sin5x+C知识点解析：暂无解析27、求∫01/2arcsinxdx．标准答案：∫01/2arcsinxdx=xarcsinx]01/2-∫01/2x·知识点解析：暂无解析28、求微分方程y′-ycotx=2xsinx的通解．标准答案：此为一阶线性微分方程，其中P(x)=﹣cotx，Q(x)=2xsinx，故通解为y=e﹣∫p(x)dx[∫Q(x)e∫p(x)dxdx+C]=e∫cotxdx(∫2xsinxe﹣∫cotxdxdx+C)=elnsinx(∫2xsinxe﹣lnsinxdx+C)=sinx(∫2xsinx·+C)=sinx(∫2xdx+C)=(x2+C)sinx．知识点解析：暂无解析29、求与两平面x﹣4z=3和2x-y﹣5z=1的交线平行且过点(﹣3，2，5)的直线方程．标准答案：由题意，两平面的法向量分别为=(1，0，﹣4)，=(2，﹣1，﹣5)，又所求直线与两平面的交线平行，且故可取直线的方向向量又直线还过点(﹣3，2，5)，故所求直线方程为知识点解析：暂无解析30、计算其中D为由直线y=1，x=2及y=x所围成的闭区域．标准答案：画出图形，将积分区域D看作X-型积分区域，1≤x≤2，1≤y≤x，由此=∫12dx∫1xxydy=∫12[]1xdx=∫12()dx知识点解析：暂无解析31、已知函数z=x4+y4﹣4x2y2，求标准答案：=4x3﹣8xy2，=﹣16xy．知识点解析：暂无解析32、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m长的墙壁．问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大?标准答案：设垂直于墙壁的边长为x，则平行于墙壁的另一边长为20﹣2x，故面积S(x)=x(20﹣2x)=﹣2x2+20x，且S′(x)=﹣4x+20，S″(x)=﹣4，令S′(x)=0得驻点x=5，且S″(5)=﹣4＜0，故x=5对应极大值点，又因为它是唯一的极大值点，故也即为最大值点，此时另一边长为20﹣2×5=10，故围成的长方形垂直于墙壁的边长为5m，平行于墙壁的边长为10m时面积最大．知识点解析：暂无解析33、求抛物线y=x2将圆x2+y2=8分割后形成的两部分的面积．标准答案：画出图形如下图所示，设上、下两部分的面积分别为S1，S2，由于抛物线与圆的交点坐标A(2，2)，故直线OA的方程为y=x，所以扇形OAB的面积等于圆面积，故S1==2π+2[]02=2π+S2=8π-S1=知识点解析：暂无解析山东省专升本（高等数学）模拟试卷第7套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、求由曲线y=x2与y=2－x2围成的平面图形的面积．标准答案：解方程组，求得交点为(-1，1)和(1，1)，则所求面积为：S=∫-11[(2－x2)－x2]dx=4－∫01(1－x2)dx=8／3．知识点解析：暂无解析2、求函数f(x)=sinx+1／2cos2x在区间[0,2π]上的最值．标准答案：f＇(x)=cosx－sin2x=cosx(1－2sinx)，令f＇(x)=0，得x1=π／2，x2=3π／2，x3=π／6，x4=5π／6．容易求得，f(0)=．从而，函数在[0，2π]上的最大值为，最小值为．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)3、函数f(x)=xsinx是________．A、有界函数B、偶函数C、单调函数D、周期函数标准答案：B知识点解析：暂无解析4、函数f(x)在点x0可导是f(x)在点x0连续的________条件．A、充分B、必要C、充要D、无关标准答案：A知识点解析：暂无解析5、极限=________．A、2B、0C、xD、1／2标准答案：C知识点解析：暂无解析6、x→0+时，下列函数中________是无穷大量．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析7、设f(x)可导，y=f(1－x2)，则dy／dx=________．A、2xf＇(1－x2)B、-2xf＇(1－x2)C、f＇(1－x2)D、2f＇(1－x2)标准答案：B知识点解析：暂无解析8、若函数y=f(x)在点x=x0处取得最小值，则________．A、f＇(x0)=0B、f＂(x0)＞0C、f＇(x0)=0，f＂(x0)＞0D、f＇(x0)=0或f(x0)不存在标准答案：D知识点解析：暂无解析9、设函数f(x)的一个原函数为sin2x，则f＇(x)=________．A、2cos2xB、2sin2xC、-4sin2xD、4sin2x标准答案：C知识点解析：暂无解析10、已知∫f(x－1)dx=xex+1+C，则f(x)=________．A、(x+2)ex+2B、(x+1)ex+1C、(x－1)ex－1D、(x+1)ex－标准答案：A知识点解析：暂无解析11、下列等式中错误的是________．A、∫abf(x)dx=∫abf(x)f(t)dtB、∫abf(x)dx+∫baf(x)dx=0C、∫-aaf(x)dx=0D、∫aaf(x)dx=0标准答案：C知识点解析：暂无解析12、设f(x)=∫sinx1e-tdt，f＇(x)=________．A、e-sinxcosxB、-e-sinxC、e-sinxDD、-e-sinxcosx标准答案：D知识点解析：暂无解析三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)13、函数y=的定义域为________．标准答案：[-1，+∞)知识点解析：暂无解析14、若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线平行于直线y=x，则f＇(x0)=________．标准答案：1知识点解析：暂无解析15、函数f(x)=e2x+asinx在x=0时取得极小值，则a=________．标准答案：-2知识点解析：暂无解析16、=________·标准答案：-ln(1+e-x)+C知识点解析：暂无解析17、设y==________．标准答案：3x2sinx3知识点解析：暂无解析四、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)18、求极限．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设a>＞0，f(x)=，试确定a的值，使f(x)在x=0处连续．标准答案：根据题意，有若f(x)在x=0处连续，则，即．知识点解析：暂无解析20、求函数f(x)=的间断点并判断类型．标准答案：显然，x=0和x=1为函数f(x)的间断点．(1)由于，因此，X=0为函数f(x)的第二类间断点(无穷间断点)；(2)，所以，X=1为函数f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．知识点解析：暂无解析21、设函数f(x)在x=1处可导，且f＇(1)=1，求．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设y=cos，求dy．标准答案：知识点解析：暂无解析23、求不定积分．标准答案：知识点解析：暂无解析24、求定积分．标准答案：知识点解析：暂无解析山东省专升本（高等数学）模拟试卷第8套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、求函数y=3x2-x3的单调区间、极值、凹凸区间与拐点．标准答案：函数的定义域为(﹣∞，+∞)．先求单调区间和极值．令y′=6x﹣3x2=3x(2-x)=0，得驻点x=0，x=2，用驻点将整个定义域分为三个区间(﹣∞，0)，(0，2)，(2，+∞)．当x∈(﹣∞，0)时，y′＜0，函数单调减少；当x∈(0，2)时，y′＞0，函数单调增加；当x∈(2，+∞)时，y′＜0，函数单调减少．故函数的单调增加区间为[0，2]，单调减少区间为(﹣∞，0]和[2，+∞)；极小值f(0)=0，极大值f(2)=4．再求凹凸区间和拐点．令y″=6-6x=0，得x=1．当x∈(﹣∞，1)时，y″＞0，函数为凹的；当x∈(1，+∞)时，y″＜0，函数为凸的，且当x=1时，y=2，故函数的凹区间为(﹣∞，1]，凸区间为[1，+∞)，拐点为(1，2)．知识点解析：暂无解析2、设f(x)的一个原函数为lnx，求∫f(x)f′(x)dx．标准答案：因lnx是f(x)的一个原函数，故f(x)=(lnx)′=，f(x)=从而∫f(x)f′(x)dx=说明：此题也可用分部积分法解之，步骤如下．因∫f(x)f′(x)dx=∫f(x)df(x)=f2(x)-∫f(x)f′(x)dx故∫f(x)f′(x)dx=知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)3、函数f(x)=丨x丨，在点x=0处f(x)()A、可导B、间断C、连续不可导D、连续可导标准答案：C知识点解析：由f(x)=丨x丨的图像可知，f(x)在点x=0处连续但不可导，选项(C)正确．说明：f(x)=丨x丨的连续性和可导性，也可根据连续和导数的定义推得．4、设f(x)=，则等于()A、0B、不存在C、∞D、1标准答案：D知识点解析：，故选(D)．5、函数f(x)=lnx在区间[1，2]上满足拉格朗日公式中的ξ等于()A、ln2B、1n1C、lneD、标准答案：D知识点解析：对函数f(x)=lnx在区间[1，2]上应用拉格朗日中值定理，f(2)-f(1)=f′(ξ)(2-1)，即ln2-0=故ξ=选(D)．6、设f(x)在x0处可导，且f′(x0)≠0，则f′(x0)不等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：根据导数的定义，选项(C)符合题意．7、已知z=exy，则=()A、yexyB、xexyC、xyexyD、exy标准答案：A知识点解析：因(exy)=exy·y=yexy，故选项(A)正确．8、当x→0时，3x2是sin2x的()A、高阶无穷小B、同阶无穷小，但不等价C、低阶无穷小D、等价无穷小标准答案：B知识点解析：因=3，故选(B)．9、过点(a，0，0)且垂直于x轴的平面方程为()A、z=aB、y=aC、z=yD、x=a标准答案：D知识点解析：垂直于x轴的平面方程可设为x=C，又平面过点(a，0，0)，故所求的平面方程为x=0．选项(D)正确．10、与直线垂直的平面是()A、4x+y-z+10=0B、x﹣2y+3z+5=0C、2x-4y+4z﹣6=0D、x+y+z﹣9=0标准答案：C知识点解析：直线与平面垂直，故直线的方向向量与平面的法向量平行，的分量与的分量对应成比例．对比四个选项中的法向量，选项(C)的法向量且，故选项(C)正确．11、数项级数sinn(a为常数)是()级数A、发散的B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性由a确定标准答案：C知识点解析：因而级数收敛，故原级数绝对收敛．选项(C)正确．12、设D：x2+y2≤1，则等于()A、B、C、πD、2π标准答案：C知识点解析：二重积分当被积函数为1时，其值就等于积分区域的面积，而积分区域D为圆域x2+y2≤1，故=π·12=π．选项(C)正确．三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)13、函数y=lnx+arcsinx的定义域为________．标准答案：(0，1]知识点解析：由题意，，故原函数的定义域为(0，1]．14、设数列xn有界，且yn=0，则xnyn=________·标准答案：0知识点解析：数列可看作特殊的函数，因数列xn有界，数列yn为无穷小，所以根据无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小可得，xnyn=0．15、函数的反函数为________．标准答案：y=x3﹣1知识点解析：由可得，y3=x+1，x=y3﹣1，故反函数为y=x3﹣1．16、曲线y=x2+1在点(1，2)的切线的斜率等于________．标准答案：2知识点解析：由导数的几何意义可知，切线斜率k=y′丨(1,2)=2x丨(1,2)=2．17、由参数方程确定的=________．标准答案：﹣cott知识点解析：=﹣cott．四、解答题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)18、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析19、求二元函数z=x3y+xy3的全微分．标准答案：因=3x2y+y3，=x3+3xy2，故dz=(3x2y+y3)dx+(x3+