高中数学圆锥曲线十大题型 01求椭圆标准方程（学生版+解析版）

01求椭圆的标准方程

翼例台布

类型一、待定系数法

第一步，做判断，根据条件判断椭圆的焦点是在X轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能,

（这时需要分类讨论）。

2222

第二步，设方程，根据上述判断，设方程为=+与=1（a>6>0）或二

ab-ab

第三步，找关系，根据已知条件，建立关于a,b,c的方程组（注意椭圆中固有的等式关系/=62+02,

第四步，得方程，由上一步所得方程组求得出a,b,c,将解代入所设方程，即得所求。

1.已知点石）是椭圆J+（=l（a>6>0）上的一点，椭圆的长轴长是焦距的|■倍，则该椭圆的方

程为（）

2.椭圆£=+乙=1（4>6>0）的左、右焦点分别为大，月，过点片的直线交椭圆于力，8两点，交歹

a2b2

轴于点C,若片，C均是线段48的三等分点，第48的周长为4右，则椭圆E的标准方程为（）

X2V2.2222比2

A.---1---=1B.土+匕=1C,二+JD.---by2=]

5453525

y2

3.已知椭圆C：二+=1（。>6>0）的左焦点为F,过点F的直线x-y+6=O与椭圆C相交于不同的

a

两点A,B,若P为线段A3的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为-；，则椭圆C的方程为（）

A.工+JlB.一=1C—-I

D+=1

3242-TT

4.已知椭圆C的焦点为乃（一c,0），F2（C,0）（C>0）,过点尸2与无轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A点，点

A关于坐标原点的对称点为8,且/AAB=120。，SAFJB=半，则椭圆C的方程为—

类型二、巧设方程法

1.过点/(3,—2)且与椭圆《X+9V=1有相同焦点的椭圆的方程为(

y4

34

已知椭圆过点尸(丁-4)和点Q(-y,3),则此椭圆的标准方程是(

以上都不对

类型三、定义法

1.已知△人回的周长为20,且顶点6(0,-4),C(0,4),则顶点/的轨迹方程是()

xy、

A.弁+右=1(x#0)B.右+左=1(^0)

X,V/\X,V/\

C-+-=l(^0)D-+-=l(^0)

2.若动点M(x,y)始终满足关系式J尤2+(y+2)2+“2+(y-2)2=8,则动点M的轨迹方程为()

3.若4抽。的两个顶点3(0,-3),C(O,3),周长为16,则第三个顶点A的轨迹方程是

方花点桢

1.求椭圆标准方程的2种常用方法

(1)定义法：根据椭圆的定义，确定?，仇的值，结合焦点位置可写出椭圆方程

(2)待定系数法(先定位，在定量)：

若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a,b；

若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，

(2)如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为41+为2=i(/>o,B>0,A丰3).

2222

(3)与椭圆工+匕=1共焦点的椭圆可设为47+$7=1(">一如k>—n且.

mnm-Tkn-vk

X2V2X2V2

(4)与椭圆(a>6>0)有相同置心率的椭圆，可设为F+N=A(左>0,焦点在x轴上)

abab

22

KX

或F+0=A2（42>O,焦点在P轴上）.

ab

风⑥称可夯实基础

22后

1.已知椭圆a»l（a>6>0）的左、右焦点分别为&&离心率为半过K的直线，交，于46两

点.若△/月台的周长为44，则椭圆C的方程为（）

x2,y2

A.勺+5=1

2222

X.Vx,y

C+=1D—+-=1

-Ii8124

_22

2.过点（若，—后,且与椭圆匕+工=1有相同焦点的椭圆的标准方程为（）

259

A-B.--------1--------=1

420204

工+Jl

j—।—=iD.

164416

3、如果椭圆的一个焦点坐标为（2,0）,过此焦点且垂直于x轴的弦的长等于与，则这个椭圆的标准方程为O

,2

厂1

A.2.-H----=1B.工+上=1

9595

C.反%2/

D.—+—=1

9449

-4）和/-13）,则此椭圆的标准方程为（

4.已知以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点1）

2

A.喜+9=1

D.以上都不对

5.古希腊数学家阿基米德用〃逼近法〃得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知

椭圆C的中心在原点，焦点耳，尸2在y轴上，其面积为4岛，过点片的直线/与椭圆C交于点A,5且△KA8

的周长为16,则椭圆。的方程为（）

5x23-1

A.十一=1B.

1631612

、222

X+匕xV

C.=1D.—+—=1

1612163

22

6.过椭圆C：=+与=l（a>b>0）右焦点F的直线/：x-y-6=0交C于A、B两点，P为AB的中点，且

ab

OP的斜率为-g,则椭圆C的方程为（）

,2

A.1二1n尤\V],2D,工+二,2=1

D.-----1------=1C-1

63758496

7.阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法"

得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆c的对称轴为坐标轴，焦点在y

轴上，且椭圆C的离心率为立，面积为12%,则椭圆C的方程为（）

4

,2,2,2

A.":1R9+yC.工+JD,工+上=1

D.-----1------=1

916341832436

2

8.（多选题）已知F为椭圆E:三+Aim〉。〉。）的左焦点，A,B为E的两个顶点.若IAB|=5,||=3,

a

则E的方程为（)

A.JJB--1c.JJ

D-

9525162521

9.（多选题）椭圆的焦距，短轴长和长轴长构成等差数列，其中长轴长等于10,则椭圆的标准方程为（）

A.《+匚1B.—

251610064

,2,2

Cx2yD,工+上=1

c.--------1-----------1

641001625

10.（多选题）点B为椭圆c的两个焦点，椭圆c上存在点尸，使得/片尸耳=90。,则椭圆C的方程可

以是（）

A,工+匕,2=1D.目+匕,2=1

B.+=1c1

259Sfe-168

y2

11.如图所示，已知椭圆萨十，p=l(a>b>0),Fi，巳分别为椭圆的左、右焦点，A为椭

圆的上顶点，直线A&交椭圆于另一点8,若椭圆的焦距为2,且Aa=263，则椭圆

的方程为

/V2

12.已知椭圆C：「+当=1（a>b>0）,若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准

ab

方程为

13.已知椭圆中心在原点，且一个焦点为F（0,373）,直线4x+3y-13=0与其相交于M/V两点，M/V中点

的横坐标为1,则此椭圆的方程是

22—

14.已知椭圆C:4+与=1（。>6>0）,尸（6,0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦

ab

长为1.则椭圆的方程为

15.根据下列条件,求椭圆的标准方程:

⑴两顶点坐标为（0,±6）,且经过点（5,4）；

⑵焦距是12,离心率是0.6，焦点在x轴上.

⑶椭圆C上的所有点中，到焦点的距离最小为2,最大为14,

16.求适合下列条件的椭圆的标准方程.

（1）两个焦点的坐标分别是（0,5）,（0,-5）,椭圆上一点尸到两焦点的距离之和为26.

（2）焦点在坐标轴上，且经过-2）和两点.

17.（1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（一2,0）,（2,0）,并且经过点（看-g｝求它的标准方程;

（2）若椭圆经过两点（2,0）和（0,1）,求椭圆的标准方程.

18.（1）如图,从椭圆上+乙=1（a〉6>0）上一点P向/轴作垂线，垂足

恰为左焦点尸一又点A是椭圆与/轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正

半轴的交点,且48//OP,I片川=+后，求椭圆的方程.

（2）求过点（3,—2）且与椭圆4/+9/=36有相同焦点的椭圆的标准方

程.

求椭圆的标准方程

翼例令新

类型一、待定系数法

第一步，做判断，根据条件判断椭圆的焦点是在X轴上，还是在y轴上，还是两个坐

标轴都有可能，（这时需要分类讨论）。

第二步，设方程，根据上述判断，设方程为二_+2_=1（。”>0）或

crb2

22

当+0=1（。>6>0）。

ab

第三步，找关系，根据已知条件，建立关于a,b,c的方程组（注意椭圆中固有的等式

关系。*=Jj-+C1,

第四步，得方程，由上一步所得方程组求得出a,b,c,将解代入所设方程，即得所求。

22o

1.已知点加卜,屏）

是椭圆1r+%=1（a>b>0）上的一点，椭圆的长轴长是焦距的1■倍,

则该椭圆的方程为（)

A,《+匕,2=1

B彳…1

25202745

C尤,,2-1D,反+匕,2=1

18103620

【答案】D

【分析】看问题:求椭圆的方程（属于轨迹方程问题）

想方法:求轨迹方程基本方法:

（1）待定系数法：已知曲线类型用此法；（2）定义法;

（3）代入法（相关点法）；（4）直译法（直接法）；（5）参数法。

看条件:M

33

椭圆的长轴长是焦距的5倍,则，注意

a2=b2+c2

3、

定措施:用待定系数法，即利用条件建立方程组:a=2C去求a,b,c.,从而可得

9151

l

[—ar+-b7=

〃涉得椭圆方程.

a2=b2+c2

3〃二6丫22

【详解】由题意a=2C，解得',。寸所以椭圆方程为2+2=1.

b-2753620

915,

[Fa+Fb~=1

22

2.椭圆£三+方=1（。>6>0）的左、右焦点分别为耳，月，过点耳的直线交椭圆于/,

B两点，交V轴于点C,若耳，。均是线段48的三等分点，工期的周长为4\伤，则椭圆

E的标准方程为（）

2222222

歹r

AA.-X---1----=]1B.土+匕=1C.土+乙=1D.}-y2=I

5453525

【答案】A

【解析】由椭圆的定义知|西|+|恋H即田理卜勿，则嵋AB的周长为

\AFl\+\AF2\+\BFl\+\BF2\=4a=4y/5,

22

所以。二君，所以椭圆E的方程为三=I，不妨设点A在第一象限，则由耳，C均是

5b

线段的三等分点，得c是线段£4的中点,又耳（Y,0），所以点力的横坐标为C,由

22

二+上_=],得歹==,所以

，所以CQ,B{—2c,—.把点B的坐标

5/V5

22

4Ch

代入椭圆方程得4c220_即经+£_=1,化简得力=20—16。2,又从=5-。2,所

-----------1------V=1

5b2520

22

以20-1602=5-。2,解得。2=1,所以从=4,所以椭圆E的标准方程为三+匕=>

54

22

3.已知椭圆C：=+々=1（a>6>0）的左焦点为F,过点F的直线尤-y+石=0与椭圆

ab

c相交于不同的两点A,B,若P为线段AB的中点，。为坐标原点，直线O尸的斜率为-；,

则椭圆C的方程为（)

22B.二+丁=1c.J-D—+■

AA.—%+—y=1l

3244263

【答案】D

【分析】

求得P的坐标，利用点差法建立”,6的关系式，由此求得。力，进而求得椭圆方程.

【详解】

直线尤-y+6=o过点尸，令y=0贝鼠=一道，所以网一百,0),即0=也.设

4(4%),现%，%)，则£+圣=1,M+岑=1，两式相减并化简得-;=21土&•=A,所

ababa玉+々石一々

以-4=2廿，c2=a2-b2=b2=3,b=^/3,a=y/6,所以椭圆C的方

4.已知椭圆C的焦点为为(一c,0),F2(C,0)(C>0),过点B与x轴垂直的直线交椭圆于第一

象限的A点，点A关于坐标原点的对称点为B,且乙4尸出=120。，S",AB=平，则椭圆C

的方程为.

【答案】丁+2=1..3

【解析】由题意，设椭圆C的方程为法+京=l(a>b>0),如图，连接86,

由椭圆的对称性易得四边形为平行四边形，由NAE2=120。，q

得N&AB=60°,又AF2，F/2,设|A科=|3西尸根(MI>0),则|尸1刊=小机，

11广空2^3

|AFi|=2m,又&BAB=2,|3尸iH尸尸12|=2XmxWm=3,解得根=3,

又由2c=\F\F2\=y/3m=2,2a=\AF\\+\AF2\=3m=2y[39

22

_____x_y_

解得c=l,a=小,b=yla2—c2=y[2,则椭圆。的方程为5+万=1.故选C.

类型二、巧设方程法

X2V2

1.过点4(3,—2)且与椭圆3+9=1有相同焦点的椭圆的方程为()

X2,2VX2,V2

A-Ii+W=1B.云+而=1

X2y2X2V2

C1F)-I-1

10152015

【答案】A

V/94

【解析】由题意知1=5,可设椭圆方程为力工+{=1(儿>0),则k二十7=1，

A十54A十5人

XV

解得才=10或4=—2(舍去)，所求椭圆的方程为西十行=1.

34

2.已知椭圆过点P1,-4)和点Q(-13),则此椭圆的标准方程是()

C.—+/=1D.以上都不对

25

【答案】A

【分析】设经过两点尸］|，-4］和点的椭圆标准方程为

mx2+ny2=l(m>O,n>O,m^n),利用待定系数法能求出椭圆方程.

【详解】设经过两点尸［|，-4)和点3)的椭圆标准方程为

me2+ny2=1(根〉0,〃>0,根w〃),

9k一

--m+16n-l2

代入48得，不，解得m=1,〃=卷，，所求椭圆方程为炉+乙=1.

16,0一2525

—m+9n—l

［25

类型三、定义法

1.已知△/欧的周长为20,且顶点8(0,-4),以0,4),则顶点/的轨迹方程是()

xyxy

A.—+—=1(A-#0)B—+—=1(^0)

3o20203b

xyxy

C.—+—=1(^0)D.—+—=1(^r#0)

b2020b

【答案】B

【分析】看问题:求顶点"的轨迹方程(属于轨迹方程问题)

想方法:求轨迹方程基本方法:

(1)待定系数法：已知曲线类型用此法；(2)定义法;

(3)代入法(相关点法)；(4)直译法(直接法)；(5)参数法。

看条件：△板'的周长为20,^\AB\+\AC\+\BC\=2G,

顶点庾0,—4),C(0,4),则的=8,

定措施：由已知得|/引+|力。|=12>8,符合椭圆的定义，故用定义法，.

【解析】I△力及7的周长为20,顶点6(0,-4),。(0,4),.•.历站=8,|力引+|4&=20-8

12,：12>8,.•.点/到两个定点的距离之和等于定值，，点/的轨迹是椭圆的一

部分，Va=6,c=4,.,.6：!=20,

22

XV

・•・椭圆的方程是手;+京=1(x70).

2036

2.若动点M(x,y)始终满足关系式+一2)2=8,则动点M的轨迹方程

为()

A』JB1Cd，

D.-------1--------1D-

161212161216

【答案】B

【分析】由等式I4+（y+2）2++（.-2）2=8表示的几何意义,结合相应圆锥曲线定义

即可得解.

【详解】因动点M（x,y）满足关系式jY+（y+2）2+Jx2+（y-2）2=8,则该等式表示点

”（x,y）到两个定点月（0,-2）,工（0,2）的距离的和为8,而|月产|=4＜8,即动点/W的轨迹是

以不工为焦点，长轴长2a=8的椭圆，于是短半轴长b有。2=/-22=12,所以动点M的

22

轨迹方程为三+匕=1.

1216

3.若△ABC的两个顶点5（0,-3）,C（0,3）,周长为16,则第三个顶点A的轨迹方程是

【答案】£,24=i（-o）

【分析】根据题意可得|+|AC|=10＞\BC\=6，由椭圆的定义可知点A的轨迹是以8（0,-3）,

C（0,3）为焦点，2a=10的椭圆，去除不符合题意的点，进而可得点A的轨迹方程.

【详解】因为AABC的两个顶点8（0,-3）,C（0,3）,所以忸C|=6,因为三角形周长为16,

^\AB\+\AC\+\BC\=16,所以|相|+|Aq=10＞忸：=6,由椭圆的定义:动点A到定点

8（0,-3）,C（0,3）两点的距离之和等于定值10,且距离之和大于两定点间的距离，所以点A

的轨迹是以8（0,-3）,C（0,3）为焦点，2a=10的椭圆，所以c=3,a=5,

____________22

6=行等=4,可得椭圆的方程为：匕+土=1，又因为ABC三点不共线，

2516

22

所以点A不能在y轴上，所以顶点A的轨迹方程是：^+—=1（x^0）,

2516'7

方/直弑

1.求椭圆标准方程的2种常用方法

（1）定义法：根据椭圆的定义，确定外,优的值，结合焦点位置可写出椭圆方程

（2）待定系数法（先定位，在定量）：

若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a,b；

若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，

⑵如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为=i«＞（）,8＞（）,

2222

XVXV

（3）与椭圆一+上=1共焦点的椭圆可设为工+士=1（4＞一如A＞—A且0.

mnm-rk〃十k

22

X2y2xV

⑷与椭圆了+了=1（，＞6＞。）有相同离心率的椭圆,可设为了+7=人（左＞。，焦点在X轴

K2X2

或F+R=A2（A2>0,焦点在y轴上）.

ab

应国秣习办实基勒

22后

1.已知椭圆G之+%=1@6〉0）的左、右焦点分别为£,%离心率为手，过用的直线/

ab3

交。于48两点.若的周长为4/，则椭圆。的方程为（）

222

X,V

A.-+—=1B.^-+/=1

U乙O

x2y2x2y2

D—+-=1

年+『124

【答案】A

【解析】由题意及椭圆的定义知4a=4（,，所以c=l,所以6,

=2,

22

所以椭圆。的方程为a+5=1.

_22

2.过点（百，一逐），且与椭圆匕+土=1有相同焦点的椭圆的标准方程为（）

259

A'。］B.

204

CJ。--1---=11D.1

164416

【答案】B

22

【分析】由题设条件设出椭圆方程当+工1,再列出关于。2与所的方程组即可作答.

a1b2

22

【详解】所求椭圆与椭圆家的焦点相同，则其焦点在y轴上,半焦距c有丛5M6,

22

设它的标准方程为号+a=1S＞b＞。），于是得标-5=16,又点（6，一亚）在所求椭圆上,

5353

即了+*1,联立两个方程得再正+涔1,即（次+—48=。，解得氏4,则42。,

22

所以所求椭圆的标准方程为匕+土=1.

204

3、如果椭圆的一个焦点坐标为（2,0）,过此焦点且垂直于X轴的弦的长等于与，则这个椭

圆的标准方程为()

A.区+工=1B.二+匚1

9595

C。1T

〜------1------=1D.

9449

【答案】B

22

【解析】设椭圆的标准方程为与+4~=1(。＞6〉0).把x=2代入，得/及一驾

a2b1a

由

即y=±.:过焦点且垂直于x轴的弦长为3,2=W--,m

33

c=2,b2+c2=a1，

/=9,x2v2

可得1•.所求椭圆的标准方程为三+匕=1.

/=5,95

4.已知以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点噌，一4)和《一点3),则此椭圆的标准方程为

()

22

A•点+V=1

C.获+/=1或注"+/=1D.以上都不对

2525

【答案】A

「9

-7/7+16/7=1,

25

【解析】设椭圆方程为版+)=1(277>0,/7>0,，贝卜解得

16,

2l切-H9〃1,

777=1,

1

n=25f

2

.♦•椭圆的标准方程为4+1.

5.古希腊数学家阿基米德用"逼近法"得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与

短轴长的积.已知椭圆C的中心在原点，焦点耳,心在y轴上，其面积为4百万，过点耳的

直线/与椭圆C交于点A,3且△入AB的周长为16,则椭圆。的方程为()

A.匚，

1631612

--------1--------二--------1--------=

【答案】A

【分析】由题中所给结论得“6=46，由△居的周长为16结合椭圆定义得4a=16,进而

可得结果.

【详解】依题意得4x4信=（2〃）.（29,贝1]"=4百，由的周长为16结合椭圆定义

71

L22

可得4〃=16,所以，=4,b=6,又椭圆焦点在y轴上，故椭圆方程为匕+土=1.

163

22

6.过椭圆C：3+2=1（。>6>0）右焦点下的直线/：x-y-指=0交C于A、B两点，P

为的中点，且OP的斜率为则椭圆C的方程为（）

x2y2x2y2x1y1x2y2

A.—+—=1B.——+—=1C.——+—=1D.—+—=1

63758496

【答案】A

【分析】

由题意，可得右焦点尸的坐标，联立直线/与椭圆的方程，利用韦达定理，求出A3的中点尸

的坐标，由直线OP的斜率可得“，b的关系，再由椭圆中。，6,c的关系求出a,b的值，

进而可得椭圆的方程.

【详解】

解：直线百=0中，令y=0,可得x=VL所以右焦点0）,设A（玉,%）,

x-y->/3-0

B®,%），则A,B的中点P，联立f>2,整理得

.LU

(a2+b2)y2+2^3b2y+3b2-a2b2=0,

所以％+%=-篝'玉+W=X+%+26=*'所以后，=崇=一5=一:'所以〃=2"'

22

又〃2=匕2+。2,02=3，所以々2=6,/=3,所以椭圆的方程为—十==1，

63

7.阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，

他利用〃逼近法〃得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆

c的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆c的离心率为立，面积为12万，则椭圆c的

方程为（

--------1--------二--------1--------二--------1--------二

【答案】A

【分析】利用已知条件列出方程组，求出。，b,即可得到椭圆方程.

【详解】

abji—Yin

由题意可得：£=g,解得〃=48=3,因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆方

4

=b2+c'

22

8.（多选题）已知F为椭圆石:与+多=l（a>b>0）的左焦点，4B为E的两个顶点.若

|4为=5,|瓦+3,则£的方程为（）

【答案】ACD

【分析】

分别分析A,B为椭圆E的两个顶点的位置，从而求得参数a,b,写出标准方程.

【详解】

VIAF\=5>\3尸|=3仅有4种情况符合条件，即A为右顶点时，B为左顶点或上、下顶点;

A为上顶点时，B为左顶点；

二①当A为右顶点时，8为左顶点，此时|4尸|=。+。=5,|3尸|=。一。=3,解得

_______22

2

a=49c=l,b=^4—1=A/15»椭圆方程为—^7+=l,故D正确；

1615

②当4为右顶点时，8为上或下顶点，止匕时|A/q=a+c=5,|5歹|=，=3,解得

_________22

a=3,c=2,b=y/i2—22=y/5»椭圆方程为石~+1~=1,故A正确；

③Z为上顶点时，8为左顶点时，止匕时|A尸|=々=5,|5尸|=a—。=3,解得

_________22

a=5,c=2,b=V52—22=>/21，椭圆方程为--1-=1>故C正确；

2521

9.（多选题）椭圆的焦距，短轴长和长轴长构成等差数列，其中长轴长等于10,则椭圆的

标准方程为（）

【答案】AD

【分析】根据椭圆的焦距，短轴长和长轴长构成等差数列，且长轴长等于10,结合椭圆的

性质列方程求出:，讨论焦点位置后可得标准方程.

[b=4

2c+2a—4b

【详解】设椭圆的焦距，短轴长和长轴长分别为2c,2b,2a.由条件得：2〃=10.解

a2=b2+c2

〃二5

得:

b=4

若焦点在横轴上椭圆的标准方程为：1+1=1,若焦点在纵轴上椭圆的标准方程为:

2516

--------1--------—1,

1625

10.(多选题)点B为椭圆c的两个焦点，椭圆C上存在点尸，使得/月尸工=90。，则

椭圆C的