2023届江西省新余市七校招生全国统一考试考试说明跟踪卷（四）数学试题

2023届江西省新余市七校招生全国统一考试考试说明跟踪卷（四）数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.不等式的解集记为有下面四个命题：P}：V（x,y）GD,2y-x,,5；p2:3（x,y）eD,2y-x..2；

p3:\/(x,y)eD,2y-x^2；0T(x,y)wD,2y-x..4淇中的真命题是()

A.P1，〃2B.〃2，〃3c.Pi，〃3D.〃2，〃4

x+y<2

2.若变量苍儿满足2x-3），W9,则f+尸的最大值为（）

x>0

81

A.3B.2C.—D.10

13

3.已知不重合的平面a,6,7和直线/,贝代a//Q”的充分不必要条件是（）

A.a内有无数条直线与夕平行B.Ila且■/

C.aly且/D.a内的任何直线都与£平行

4.复数z（l—i）=i（i为虚数单位），则z的共挽复数在复平面上对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5.设/为抛物线x=的焦点，A,8,。为抛物线上三点，若耘+而+定=0,则|E4|+bB|+|/C|=（）.

A.9B.6

6.若函数f（x）=d一如2+2x（m£R）在1二1处有极值，则.f（x）在区间［0,2］上的最大值为（）

14

A.—B.2C.1D.3

27

7.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1）,则这个几何体的体积是（）

8.己知。，b,c分别是cA6c三个内角A,B,。的对边，〃cosC+石csinA=b+c，则人=<）

冗71n2/r

D.T

64y

9.函数/（x）=Asin（5+0）（A>0»0>o，H<|）的部分图象如图所示，则④夕的值分别为（）

71n

C.2,D.2,

6

10.已知全集〃=乙4={1,2,3,4},B={M（X+1）（X—3）>0,XWZ},则集合Ac（G/3）的子集个数为（）

A.2B.4D.16

11.已知集合4={2,3/},集合8={利,加+2}，若413-{2},则机=（）

A.0B.1C.2D.4

12.如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为

A.2B-2aC.273D.1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图所示，在A43C中，AB=AC=2tAD=DC»DE=2EB，4E的延长线交5C边于点入若=

贝！JAEAC=一・

14.如图，己知半圆。的直径A8=8,点P是弦AC（包含端点A,C）上的动点，点Q在弧BC上.若AQAC是

等边三角形，且满足OQOP=0,则而ZQ的最小值为.

15.有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为

16.函数/（冗）=由5皿（8+8）（。>0,£<0<4）的图像如图所示，则该函数的最小正周期为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.（12分）已知在AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,AA3C的面积为」C一

2cosC

(1)求证：tanC=sinAsin3；

(2)若C=至，求cos(A-B)的值.

6

[>2+g

18.(12分)在平面直角坐标系xQy中，直线/的参数方程为:。为参数)，以坐标原点。为极点，x轴

尸1一旦

r2

的正半轴为极轴建立极坐标系，圆。的极坐标方程为22-4pcos6=3.

(1)求直线，的普通方程和圆。的直角坐标方程；

(2)直线，与圆。交于A,8两点，点尸(2,1),求以卜|PB|的值.

22

19.(12分)已知椭圆C:]+方=1(〃>6>0),左、右焦点为耳、F?,点尸为。上任意一点，若|尸用的最大值为

3,最小值为1.

(1)求椭圆。的方程；

(2)动直线/过点K与。交于尸、Q两点，在x轴上是否存在定点A,使NPAE=NQ4K成立，说明理由.

20.(12分)已知4ABe中，BC=2,笈=45。，。是A8上一点.

(1)若S.e=l,求C。的长;

(2)若A=30。，BD=3AD,求二乙斤的值.

sinZ.DCB

21.(12分)在以A8COM为顶点的五面体中，底面A8CO为菱形，ZABC=120°,AB=AE=ED=2EF,

EF//AB,二面角“一4)-4为直二面角.

(I)证明：BDVFCx

(II)求二面角A-C尸一8的余弦值.

22.(10分)已知函数/(司=,一1|.

(1)求不等式/(无)<无+,+1|的解集；

(2)若函数廉司=侬2"&+3)+/(力一冽的定义域为R,求实数。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1>A

【解析】

作出不等式组表示的可行域，然后对四个选项一一分析可得结果.

【详解】

作出可行域如图所示，当x=l,y=2时，（2丁-彳）皿=3,即2y-x的取值范围为（YO,3],所以

V(x,y)c£>,2丫一毛,5,p1为真命题;

3（x,y）w。,2），一x..2,p2为真命题；p3,0为假命题.

【点睛】

此题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于中档题.

2、D

【解析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可.

【详解】

x+y<2

解：画出满足条件，2x—3yW9的平面区域，如图示：

,v>0

如图点坐标分别为4（0,—3）,8（3,—l）,C（0,2）,

目标函数f+J的几何意义为，可行域内点（兀y）与坐标原点（0,0）的距离的平方，由图可知8（3,-1）到原点的距离

最大，故（d+VL=32+（7）2=10.

故选：D

【点睛】

本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题.

3、B

【解析】

根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.

【详解】

A.。内有无数条直线与夕平行，则以方相交或a//〃，排除；

B.l-La且故当。///，不能得到且/，尸，满足；

C.aLy且y_L/7,a//fit则a,夕相交或a//〃，排除；

D.a内的任何直线都与月平行，故a〃/，若a//6，则a内的任何直线都与£平行，充要条件，排除.

故选：B.

【点睛】

本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.

4、C

【解析】

由复数除法求出？，写出共枕复数，写出共枕复数对应点坐标即得

【详解】

对应点为(-g,—g),在第三象限.

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的除法运算，共扼复数的概念，复数的几何意义.掌握复数除法法则是解题关键.

5、C

【解析】

3.一一.

设A(M，M),B(x,y),C(x,^),由E4+尸5+FC=0可得%+电+刍=77,利用定义将I在A|+FB|+|FC|用

223316

%,工2，七表示即可.

【详解】

设A(x，y),B(x2,y2)tC(Xj,y3),由苏+而+定=6及/(上,0)，

16

得(石一々,凶)+得一二，%)+(<-4，%)=(。'。)，故石+占+工3=77，

16161616

1113

所以|/<41+FB|+1/。1=$+77+/+77+G+77=[•

161616©

故选：C.

【点睛】

本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.

6、B

【解析】

根据极值点处的导数为零先求出〃?的值，然后再按照求函数在连续的闭区间上最值的求法计算即可.

【详解】

解：由已知得/'(%)=3/一2"a+2,，/'(1)=3-26+2=0,.,.机="|,经检验满足题意.

-e*fM=x3--X2+2x,/(x)=3/-5x+2.

29

由,(x)v0得；VXV1；由/(x)>0得XV?或X>1.

33

22

所以函数户：x)在0,-上递增，在-,1上递减，在［1,2］上递增.

则,八工)极大住=了(|)=3,/⑵=2，

由于/(2)>/(%)极大值，所以/(%)在区间02］上的最大值为2.

故选：B.

【点睛】

本题考查了导数极值的性质以及利用导数求函数在连续的闭区间上的最值问题的基本思路，属于中档题.

7、A

【解析】

1132

几何体为一个三棱锥，高为4,底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4,所以体积是「x4x二x42=一，选A.

323

8、C

【解析】

原式由正弦定理化简得JisinCsinA=cosAsinC+sinC,由于sinCxO,OvAv乃可求4的值.

【详解】

解：由。cosC+JicsinA=b+c及正弦定理得sinAcosC+>/3sinCsinA=sinB+sinC.

因为8=乃一A-C,所以sin8=sinAcosC+cosAsinC代入上式化简得《sinCsinA=cosAsinC+sinC.

由于sinCwO,所以sin(A_^)=g.

又0<Av万，故A=;.

3

故选：C.

【点睛】

本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.

9、D

【解析】

，兀、

由题意结合函数的图象，求出周期7,根据周期公式求出。，求出A,根据函数的图象过点7，1,求出夕，即可求

得答案

【详解】

3—r”3T1\7t713乃

由函数图cm象可知：-——=-

41264

T=兀,

:.(f>=2,A=1

函数的图象过点d

二.1=sin(2x]+°>

II7T广t式

1•-m<-»则/

2o

故选。

【点睛】

本题主要考查的是y=Asin(妙+。)的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周

期、最值，代入已知点坐标求出结果

10、C

【解析】

先求B.再求C^B,求得Ac(CuB)则子集个数可求

【详解】

由题CuB={H(x+l)(x—3)0O,x£Z}={HTKx«3/eZ}=={T,O,l,2,3},则集合Ac(Q3)={1,2,3},故

其子集个数为23=8

故选C

【点睛】

此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题

11、A

【解析】

根据加=2或m+2=2,验证交集后求得机的值.

【详解】

因为A18={2},所以6=2或根+2=2.当加=2时，AQ8={2,4},不符合题意，当相+2=2时，6=0.故选

A.

【点睛】

本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.

12、C

【解析】

利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为，娘),算出长度.

【详解】

几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为AD=2g

【点睛】

本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

_22

13、—

9

【解析】

过点。做。G|A/,可得所/，BF=>BC,A厂=3A8+]AC由A尸=可得COS/8AC=2,可

655553

Ul.lliiiioi541nli1uuuuuu

得AEAC=：(—A8+—AC)-AC,代入可得答案.

655

【详解】

解：如图，过点。做。G|1A/，

]_

易得:竺=毁」"DG,

DGBD33

型=乌=4,故OG=2Ab,可得：EF=-AFf

AFAC226

“BFBE\FGAD\一切”12

同理：==—,==-9可得BF=­BC

FGED2GCCDi59

1141

AF=AB-^BF=AB+-BC=AB^-(AC-AB)=-AB+-AC,

*AFBC=-|,PJ^(-A5+-AC)(AC-4B)=-AC2--XB24--ABMC=--,

5555555

14742

可得：-x4——x4+—x2x2cosZ.BAC=——，可得：cosZBAC=—

55553t

5-----------s4—►1—.一2—1—222122

AEAC=-AFAC=-(-AB+-AC)AC=-ABAC+-AC=-x2x2x-+-x4=—,

6655353369

22

故答案为：

【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，由题意作出。GAF是解题的关键.

14、1

【解析】

建系，设人产=，〃，表示山产点坐标，则OP・BQ=OP・(OQ-OB)=-OP・OB=16-2m,根据根的范围得山答案.

【详解】

解：以。为原点建立平面坐标系如图所示：则4-4,0),8(4,0),C(-2,2收,

设A尸=皿够加4),则p(：〃.4,且⑼，

OP=(^m-4t与m),OB=(4,0),

OQ・O尸=0,

OP・BQ=OP-{OQ-OB)=-OP-OB=16-2m,

显然当〃?取得最大值4时，OP-BQ取得最小值1.

故答案为：L

【解析】

试题分析：从编号分别为1,1,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有=210种不同的结果,

由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件A为“取出球的编号互不相同”，

则事件A包含了C•C；•&•C；♦G=80个基本事件，所以P(A)二券=会

考点：1.计数原理；L古典概型.

16、8

【解析】

根据图象利用/(0)=乎，先求出夕的值，结合/(1)=0求出①，然后利用周期公式进行求解即可.

【详解】

解：由f(o)=得sine二显,

22

n34

—<^?<rr,.•.9一7-,

贝!Jf(x)=\/3sin(tyx+—),

4

/.<y+—=.T,即<y=X,

44

空=生

则函数的最小正周期了一彳，

4

故答案为：8

【点睛】

本题主要考查三角函数周期的求解，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析；(2)

6

【解析】

21

(1)利用‘c一=-absinC,利用正弦定理，化简即可证明tanC=sinAsin8

2cosC2

(2)利用(1),得到当C=f时，sinAsinB=—,

63

得出cos(A+B)=-cosC=-cos—=--,得出cosAcosB=>

626

然后可得cos(A-B)

【详解】

r21

证明：(1)据题意，得二一=-absinCf

2cosC2

c2=absinCcosC»

sin2C=sinAsinBsinCcosC«

又・・・C£(0,»),

:.sinC=sinAsinBcosC，

AtanC=sinAsinB.

解：(2)由(1)求解知，tanC=sinAsin3.

・••当C=5时，sinAsinB=—.

63

又cos(A+B)=-cosC=_cos?=~~~，

百

工cosAcosB-sinAsinB=——->

2

.人RV3

・・cosAcosB=------，

6

/.cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

--------1-----

63

=2

【点睛】

本题考查正弦与余弦定理的应用，属于基础题

18、(1)直线/的普通方程.K+y-3=。，圆。的直角坐标方程：x2+y2-4x-3=0.(2)6

【解析】

(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.

（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用一元二次方程根和系数关系式即可求解.

【详解】

>2+旦

2

（1）直线，的参数方程为:Q为参数），转换为直角坐标方程为x+y・3=0.

I2

圆C的极坐标方程为p2*4-4pcos0=3,转换为直角坐标方程为^+y2-4x-3=0.

『2+与

2

（2）把直线/的参数方程为；。为参数），代入圆的直角坐标方程好+炉・4工・3=0,

[2

得到产一万—6=0，

所以|AM||PA|=|f同=6.

【点睛】

本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运

算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

22

19、（1）-4-21=1（2）存在；详见解析

43

【解析】

（1）由椭圆的性质得4+c=3,a-c=l,解得a,c后可得〃，从而得椭圆方程；

（2）设尸（x，y）,Q（w，%），4（〃,0）,当直线/斜率存在时，设为y=Z（x—l）,代入椭圆方程，整理后应用韦达定

理得*+A2MM2,代入左期+砥Q=0由恒成立问题可求得〃.验证/斜率不存在时也适合即得.

【详解】

\PF.\=a+c=3fa=2

解：（1）由题易知｛[[ma、]解得「

PFac=[

\]Ln=-L=i

22

所以椭圆。方程为工十二二1

43

（2）设P（x，x）,Q（w，y2），A（〃，0）

当直线/斜率存在时，设为y=与椭圆方程联立得

（4k2+3）幺-8/x+4公一12-0,显然/>0

Sk4/72

所以』+42=4公+3'*•/-4二+3

因为Z.PAF2=Z.QAF2,:.kAP+kAQ=0

t=M--1)伍一〃)+M/T)(x「〃)=0

x1-nx2-n(X1-n)(x2-n)

力新c/iw\n八8公—248(〃-1)226〃+8成2n

化简2尤［X,-(H+l)(x+x)+2/?=0,.\——；--------..——+---；-----=0

12v八।2074公+34/+34r+3

解得6〃-24=()即〃=4

所以此时存在定点4(4,0)满足题意

当直线/斜率不存在时，A(4,0)显然也满足

综上所述，存在定点4(4,0),使NR4E=NQ4鸟成立

【点睛】

本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题，解题方法是设而不求的思想方法.设而不求思

想方法是直线与圆锥曲线相交问题中常用方法，只要涉及交点坐标，一般就用此法.

20、(1)CD=O(2)—

6

【解析】

(1)运用三角形面积公式求出8。的长度，然后再运用余弦定理求出CO的长.

(2)运用正弦定理分别表示出sin/ACD和sin/OCB,结合已知条件计算出结果.

【详解】

(1)由S^cD=；BC・BDsm45°=去BD=lnBD=&

在_皮>。中，由余弦定理可得

CD2=BC2+5D2-2BCBD-cos450=4+2-4=2=>CD=72

(2)由已知得8。=3Ao

*mfCDAD•sinA-ADAD

在AOC中，由正弦定理可知=工=--sinzZACD=——--=—；

sinAsinZACDCD2CD

“r+,r—CDBD-八八sinB•BD丘BD

在中，由正弦定理可知----=---------nsm/5C£>=------------=-------

sin8sin/BCDCD2CD

AD

sinZ.ACD_2CD_AO_1_

故sinN8co-也也一瓶8£)-3立—6

2CD

【点睛】

本题考查了正弦定理、三角形面积公式以及余弦定理，结合三角形熟练运用各公式是解题关键，此类题目是常考题型,

能够运用公式进行边角互化，需要掌握解题方法.

21、(I)见解析(U)巫

5

【解析】

(I)连接AC,8。交于点。，取AO中点用，连结EMQMQF,证明平面OFC得到答案.

(II)分别以/为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面BC尸的法向量为〃=(-1,百」)，平面

ACV的法向量为机=(0,1,0),计算夹角得到答案.

【详解】

(I)连接AC3。交于点。，取A0中点M,连结EMQMQF.

因为A8C7)为菱形，所以AC_LBQ.

因为AE=EO,所以EM_LAD.

因为二面角E-AD-8为直二面角，所以平面E4DJ_平面ABCZ),

且平面EW平面ABCO=4),所以有“一平面ABC。,所以石M_L区。

因为!1AB,OM=-