5.2.1复数的加法与减法课件高一下学期数学北师大版

第五章复数2.1复数的加法与减法高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI北师大版

数学

必修第二册目录索引基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升成果验收·课堂达标检测课程标准1.掌握复数代数形式的加法、减法运算法则.2.理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义.3.能够利用复数代数形式的加法、减法运算法则及几何意义解决问题.基础落实·必备知识全过关知识点一

复数加、减法的运算法则与运算律运算是封闭的

1.两个复数的和仍是一个复数,两个复数的和的实部是它们的实部的和,两个复数的和的虚部是它们的虚部的和.(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i运算是封闭的2.两个复数的差仍是一个复数,两个复数的差的实部是它们的实部的差,两个复数的差的虚部是它们的虚部的差.(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i3.复数的加法运算满足如下运算律:(1)结合律:(z1+z2)+z3=

.

(2)交换律:z1+z2=

.

z1+(z2+z3)z2+z1名师点睛1.复数的加、减法是一种规定,减法是加法的逆运算,可以推广到多个复数相加减.2.当复数的虚部为零时,与实数的加、减法完全一致.3.实数加法的交换律、结合律在复数集中仍然成立.过关自诊1.[人教A版教材例题]计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).解(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i.2.你能举例说明|z1+z2|=|z1|+|z2|不恒成立的理由吗?知识点二

复数加法的几何意义

名师点睛复数加法运算的几何意义类似于向量加法运算的平行四边形法则.过关自诊两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?提示

是复数,唯一确定.知识点三

复数减法的几何意义

名师点睛1.复数减法的几何定义的实质(1)根据复数减法的几何意义知,两个复数对应向量的差所对应的复数就是这两个复数的差.(2)在确定两复数的差所对应的向量时,应按照“首同尾连向被减”的方法确定.

2.由复数加减法的几何意义可得结论:||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)两个复数的差在复平面上对应的点可能在虚轴上.(

)(2)两个纯虚数的差在复平面上对应的点不可能在实轴上.(

)(3)若复数z1,z2在复平面内对应的点为Z1,Z2,则z1-z2与向量

对应.(

)2.若复数z1,z2满足z1-z2>0,能否认为z1>z2?√×√提示

不能,如3+2i-2i>0,但3+2i与2i不能比较大小.重难探究·能力素养全提升探究点一复数的加法、减法运算1+i(2)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,求z.解(方法一)设z=x+yi(x,y∈R),因为z+1-3i=5-2i,所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,所以z=4+i.(方法二)因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.规律方法

复数加、减运算的方法技巧(1)可把复数运算类比实数运算.若有括号,先计算括号里面的;若没有括号,可以从左到右依次进行.(2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时,可以利用运算律简化运算,注意正负号法则与实数相同,不能弄错.变式训练1(1)计算(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=

.

(2)若(1-3i)+z=6+2i,则复数z=

.

-2-4i

5+5i解析

(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=(-4-3+5)+(-6-2+4)i=-2-4i.解析

由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.探究点二复数加法、减法运算的几何意义规律方法

向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用向量加法“首尾相接”和向量减法“指向被减向量”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量

对应的复数是zB-zA(终点对应的复数减去起点对应的复数).探究点三复数加法、减法运算的几何意义的综合应用【例3】

已知|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,求|z1+z2|.解

(方法一)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,∴a2+b2=c2+d2=1,①(a-c)2+(b-d)2=1,②由①②得2ac+2bd=1,(方法二)设O为坐标原点,z1,z2,z1+z2对应的点分别为A,B,C.∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,∴△OAB是边长为1的正三角形,其AB边上的高h=.以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则四边形OACB是一个内角为60°,边长为1的菱形,且|z1+z2|是菱形的较长的对角线OC的长,∴|z1+z2|=2h=.变式探究已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.规律方法

1.设出复数z=x+yi(x,y∈R),利用复数相等或模的概念,可把条件转化为关于x,y满足的关系式,再利用方程思想求解.2.在复平面内,z1,z2对应的点为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB:(1)为平行四边形;(2)若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;(3)若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;(4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.本节要点归纳1.知识清单:(1)复数代数形式的加、减运算;(2)复数加、减法的几何意义;(3)复平面上两点间的距离公式.2.方法归纳:数形结合.3.常见误区:(1)混淆复数加、减法的几何意义;(2)忽略复数模的几何意义.成果验收·课堂达标检测12345678910A级必备知识基础练1.复数(其中i是虚数单位)2+2i-|+i|=(

)A.0 B.2 C.-2i D.2iD123456789102.复数(3+mi)-(2+i)对应的点在第四象限内,则实数m的取值范围是(

)B解析

∵(3+mi)-(2+i)=3+mi-2-i=1+(m-1)i,∴m-1<0,∴m<1.123456789103.已知复数z对应的向量如图所示,则复数z+1所对应的向量正确的是(

)A123456789104.(多选)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是(

)A.P0点的坐标为(1,2)B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C.复数z对应的点Z在一条直线上D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为ACD12345678910123456789105.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i(x,y∈R),z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).设z=z1-z2,且z=13-2i,则z1=

,z2=

.

5-9i

-8-7i

12345678910B级关键能力提升练6.已知复数z1=1+icosθ,z2=sinθ-i(θ∈R),则|z1-z2|的最大值为(

)D12345678910123456789107.如图所示,在复平面内的四个点O,A,B,C恰好构成平行四边形,其中O为原点,A,B,C所对应的复数分别是zA=4+ai,zB=6+8i,zC=a+bi(a,b∈R),则zA-zC=

.

2-4i12345678910123456789108.设实数x,y,θ满足以下关系:x+yi=3+5cosθ+i(-4+5sinθ),则x2+y2的最大值是

.

10012345678910C级学科素养创新练9.(多选)已