2024-2025学年年江苏省南京第五高级中学高三（上）期初模拟数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年年江苏省南京第五高级中学高三（上）期初模拟数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合M={x|y=x−4}，N={y|y=3x2A.[0,+∞) B.[0,1] C.[4,+∞) D.[1,+∞)2.已知复数z满足z(1−i)=|1+i|2，则z=(

)A.1−i B.1+i C.−1−i D.−1+i3.已知等比数列{an}的公比为q，若a1+a2=12，且a1A.32 B.−32 C.34.已知cos(α−β)=−35,cosA.−35 B.−25 C.5.已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为93π，则圆锥的高为A.3 B.23 C.36.函数f(x)=(1−21+exA. B.

C. D.7.某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球.记R1=“第一次摸球时摸到红球”，G1=“第一次摸球时摸到绿球”，R2=“第二次摸球时摸到红球”，G2=A.P(R)=P(R1)⋅P(R2) 8.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：C=Iλt，其中λ为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数)，在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为60ℎ；当放电电流为25A时，放电时间为15ℎ，则该蓄电池的Peukert常数λ约为(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若正数a，b满足a+b=1，则(

)A.log2a+log2b≤−2 B.2a10.已知函数f(x)=log3(xA.函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞) B.不等式f(x)<1的解集是(−1,3)

C.函数f(x)的图象关于x=1对称 D.函数f(x)的值域是R11.如图，棱长为2的正方体.ABCD−A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1A.动点F轨迹的长度为2

B.三棱锥B1−D1EF体积的最小值为13

C.B1F与三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面向量a=(−1,k)，b=(2,1)，若a⊥b，则|13.在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到A，B，C三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加C项目，那么不同的志愿者分配方案共有______种(用数字表示)．14.某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x(x>0)千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为f(x)千元与g(x)千元，其中f(x)=2x，g(x)=4ln(2x+1)，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投______千元．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且b=2，a2=(c−1)2+3．

(1)求A；

(2)若a16.(本小题12分)

在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，二面角A−CD−P为直二面角．

(1)求证：PB⊥PD；

(2)当PC=PD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．17.(本小题12分)

无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．

(1)消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关：晴天雨天命中4530不命中520附：χ2=n(ad−bcα0.150.100.050.0100.001x2.0722.7063.8416.63510.828(2)某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为45，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为12，击中目标两次起火点被扑灭的概率为23，击中目标三次起火点必定被扑灭．

(i)求起火点被无人机击中次数X的分布列及数学期望；

18.(本小题12分)

已知函数f(x)=a(x−1)−lnx(a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值集合．19.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A1，A2，且四边形A1F1A2F2的面积为23．

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ)直线l：y=kx+m(m>0)与椭圆C参考答案1.D

2.B

3.C

4.B

5.D

6.A

7.C

8.D

9.ABC

10.CD

11.ABD

12.1013.12

14.1.5

15.解：(1)由a2=(c−1)2+3.得a2=c2−2c+4，

又b=2，得cosA=b2+c2−a22bc=4+c2−a24c=2c4c=12，

又因为0<A<π，所以A=16.解：(1)证明：由于底面ABCD是边长为2的正方形，则BC⊥CD，

由于二面角A−CD−P为直二面角，则BC⊥平面PCD，

由于PD⊂平面PCD，则PD⊥BC，又PC⊥PD，PC∩BC=C，PC、BC⊂平面PBC，

则PD⊥平面PBC，由于PB⊂平面PBC，则PB⊥PD．

(2)取CD中点F，连PF、BF，由PC=PD知PF⊥CD，由于二面角A−CD−P为直二面角，

则PF⊥平面ABC，于是PF⊥BF，由于底面ABCD是边长为2的正方形，则PF=12CD=1，

BF=CF2+BC2=5，于是PB=PF2+BF2=6，同理PA=617.解：(1)零假设H0：消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候无关，

2×2列联表如下：晴天雨天合计命中453075不命中52025合计5050100χ2=100×(45×20−5×30)250×50×75×25=12>10.828，

根据小概率值α=0.001的独立性检验，零假设H0不成立，消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关．

(2)(i)起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为0，1，2，3

P(X=0)=(X0123P1124864∵X∼B(3,45)，∴E(X)=3×45=125．

(ii)击中一次被扑灭的概率为P1=C31(18.解：(1)由题意得：f(x)定义域为(0,+∞)，

则f′(x)=a−1x=ax−1x，

当a≤0时，f′(x)<0，则f(x)单调递减区间为(0,+∞)，无单调递增区间；

当a>0时，令f′(x)=0，解得x=1a，

∴当x∈(0,1a)时，f′(x)<0；当x∈(1a,+∞)时，f′(x)>0，

∴f(x)的单调递增区间为(1a,+∞)；单调递减区间为(0,1a)；

综上所述：当a≤0时，则f(x)的单调递减区间为(0,+∞)，无单调递增区间；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(1a,+∞)；单调递减区间为(0,1a)；

(2)当a≤0时，f(2)=a−ln2<0，不合题意；

当a>0时，由(1)知f(x)min=f(1a)=1−a+lna；则1−a+lna≥0；

令g(a)=1−a+lna，则19.解：