2021-2022版老教材数学人教A版必修5学案：第2课时 等差数列的性质

第2课时等差数列的性质

1.进一步「解等乘数列的项，序号之间的规律.(数学抽象)

2.理解等差数列的性质.(数学抽象)

3.掌握等差数列的性质及其应用.(逻辑推理)

必备知识・自主学习

1.等差数列有哪些常用的性质？

2.由等差数列可构成哪些新的等差

导思数列？

3.等差数列的单调性与公差有什么

关系？

1.等差数列中项与序号的关系

(1)两项关系.

an=am+(n-m)d(m,n£N*)

⑵多项关系.

若m+n=p+q(m,n,p,q£N*)

贝(Ja,,+a“,=a“+a”.

特别地,若m+n=2p(m,n,p£N*),则a“+an=2a”

思考7

⑴由an=am+(n-m)d(m,n£N*)mWn,如何求出公差d?其几何意义是什

么？

提示：d=&3.等差数列通项公式可变形为a=dn+(a「d),其图象为一

n-m

条直线上孤立的一系列点，(n,an),(m,aj都是这条直线上的

点为直线的斜率.

n-m

(2)如何证明若m+n=p+q(m,n,p,qWN*),则am+an=ap+aq?

提示:因为ara=ai+(m-1)d,an=ai+(n-1)d.

-

所以am+an-2ai+(m+n2)d.

同理，ap+aq=2ai+(p+q-2)d,

因为m+n=p+q,所以am+an=ap+aq.

2.由等差数列构成的新等差数列

⑴条件.

{an},{bj分别是公差为&,d2的等差数列

⑵结论.

数列结论

{c+aj公差为必的等差数列（c为任一常数）

{c•a„}公差为回的等差数列（c为任一常数）

公差为组的等差数列（k为常

{an+an+k}

数,k£N*）

公差为Pdi+qdz的等差数列（p,q为常

{pan+qbn}

数）

3.等差数列的单调性

等差数列｛aj的公差为d,

（1）当d>0时,数列｛an｝为递增数列.

（2）当d<0时，数歹U｛4｝为递减数列.

⑶当d=0时，数列｛aj为常数列.

j基础小测＞

1.辨析记忆(对的打“J”，错的打“义”).

(1)若｛an｝是等差数列，则｛|a"|｝也是等差数列.

⑵若数列瓜｝是等差数列，则aba3,a5,a7,ag也是等差数列.

⑶在等差数列｛an｝中，若ara+an=ap+aq,则m+n=p+q也能成立

(m,n,p,qGN*).

(4)在等差数列｛aj中,若m+n=r,m,n,r£N*,则am+an=ar.

提示：(1)X.如-1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列.

⑵V.若等差数列｛aj公差为d,则a“a3,a5,a7,ag也是等差数为1,且其公

差为2d.

⑶X.若数列｛aj是常数列,则m+n=p+q不一定成立.

(4)X.如等差数列1,3,5,7,9^,ai+a2=#a3.

2.在等差数列｛a—中，若ai=2,a3+a5=10,贝!Ja7=

A.5B.8C.10D.14

【解析】选B.由等差数列的性质，得a+a7=a3+a5.

因为a〕=2,a3+a5—10,

所以a7=8.

3.(教材二次开发:练习改编)若｛aj是等差数列，则由下列关系确定的

数列｛b0｝也一定是等差数列的是

2

A.bn=WB.bn=an+n

=

C.bnan+a.n+iD.bn=na„

【解析】选C.｛aj是等差数歹山设a、「an=d,

则数列bn=an+ant1满足:

——=

bn+ibn—(an+i+an+2)—(an+an+i)—3n+2an2d.

关键能力-合作学习

类型一等差数列性质的应用

【典例】1.(2020•丽水高二检测)在等差数列瓜｝中，a4+a5+a6=15,则

@5二

A.5B.10C.15D.20

2.设数列｛%｝,®｝都是等差数列，且ai=25,b尸75,a2+b2=100,则a37+b37

等于

A.0B.37C.100D.-37

3.若｛aj为等差数列，3i5=8,aeo=2O,求a75.

【思路导引】1.利用等差数列的性质可得a4+a6=2a5,进而可根据题目条

件求as的值；

2.关键是注意｛an+bn｝也是等差数列；

3.思路一:直接列出关于首项、公差的方程组求解；

思路二：根据ai5,a30,a45,耿,a?5为等差数列求解；

思路三:利用性质an=am+(n-m)d(m,neN*)求解.

【解析】1.选A.依据题意a4+a5+a6=3a5=15,所以a5=5.

2.选C设｛aj,｛bj的公差分别为dbd2,

贝I(an+i+bn+i)-(an+bn)=(an+i-an)+(bn+i-bn)=di+d2,

所以｛an+bn｝为等差数列，

又a1+bi=az+b2=100,

所以｛an+bj为常数列，所以a37+b3Fl00.

3.方法一：设等差数列｛a1的公差为d,

因为a〔5二a1+14d,a60二a1+59d,

所以fl4d=8,

“Ni+59d=20,

解得《广

Id=—.

644

所以a75=a1+74d=—+74X—=24.

1515

方法二：因为｛an｝为等差数列，

所以3l5,830,845,a60,a75也为等差数列.

设其公差为d,则a15为首项，am为第4项，

所以a6fFai5+3d,即20=8+3d,解得d=4.

所以a75=a6o+d=2O+4=24.

方法三：因为a60=a15+(60-15)d,

所以d=3i&±.

60-1515

4

所以a5=ao+(75-60)d=20+15X—24.

7615

♦解题策略

等差数列运算的两条常用思路

(1)根据已知条件，列出关于abd的方程(组)，确定a”d,然后求其他

量.

⑵利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m+n=p+q

=2r(m,n,p,q,rGN*),则am+an=ap+aq=2ar.

特别提醒:递增等差数列d>0,递减等差数列d〈0,解题时要注意数列的

单调性对d取值的限制.

跟踪训练,

1.(2020・玉溪高二检测)等差数列｛4｝中，若ai+4a5+a9=24,则2a9-a13=

A.1B.2C.3D.4

【解析】选D.由等差数列的性质可得，ai+4a5+a9=6a5=24,

故a5=4,

所以2a厂a13=a13+a5-a13=a5=4.

2.已知数列｛bj为等差数列，若b3=-2,bl0=12,则b8=.

【解析】方法一：因为｛bj为等差数列，

所以可设其公差为d,则d*。"A-:2,

10-37

所以bn=b3+(n-3)d=2n-8.所以b8=2X8—8=8.

方法二：由曳国也也d=2,

8-310-3

得b8=处也X5+b3=2X5+(-2)=8.

10-3

答案：8

【补偿训练】

1.在等差数列｛an｝中，若a3+ai+a5+a6+a7=450,则az+a^的值等于

A.45B.75C.180D.300

［解析］选C.因为as+ad+as+ae+a7

=(as+a?)+(a4+a6)+a§=5a5=450,

所以a5=90.

户斤以32~^-38：=235=180.

2.在等差数列｛a"中，ai+a3+a5=-12,且a1•a3•a5=80.求通项an.

【解析】因为a1+a5=2a3,

所以2+。3+。5=-12=3。3=T2=a3=-4,

=80,

二-20,

%+。5=-8,

解得3i——10,a$=2或3i—-2,35——10,

因为d二3^,所以d=3或-3,

5-1

所以a=-10+3(n-1)=3n-13,或an=2-3(n-1)=-3n+5.

类型二等差数列中对称设项法的应用(数学运算)

【典例】已知成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积

为40,求这四个数.

四步内容

1条件:①四个数成等差数列;②这四个数的和为26;③第二个数

理解

与第三个数之积为40.

题意

结论:求这四个数

思路

设这四个数=列方程组=解方程组得这四个数

探求

设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,①

则由题意得，

(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=26,

■②

、(a-d)(a+d)=40,

书写13(13

a二「Q=T2，

/或〈3

表达(d=|Id=-|.

所以这四个数为2,5,8,H或11,8,5,2.③

注意书写的规范性:①巧设未知数,简化运算；

②根据题目条件正确列方程组；

③准确解方程组,给出全面的答案.

题后恰当利用等差数列项与项之间的关系设未知数，简化运算是解

反思答此类问题的关键.

◎解题策略

设等差数列的三个技巧

(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…,x-d,X,x+d,…，此时公差

为d.

⑵对于连续偶数项的等差数列，通常可设

为：…，a-3d,a-d,a+d,a+3d,,,,,此时公差为2d.

⑶等差数列的通项可设为a.,=pn+q.

跟踪训练、

设三个数成单调递减的等差数列,三个数的和为12,三个数的积为48,

求这三个数.

【解析】设这三个数为a+d,a,a-d,

则a-d+a+a+d=12,①

(a-d)•a•(a+d)=48,②

由①②解得:a=4,d=2(d=-2舍去)，所以这三个数为6,4,2.

【补偿训练】

已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94,首尾

两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.

【解析】设四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,

,f(a-3d)2+(a-d)2+(a+d)2+(a+3d)2=94

则《

l(a-3d)(a+3d)+18=(a-d)(a+d)

73

又递增数列d>0,所以解得a二士一,d=此等差数列为7,2,5,8或

22

一8,一5,一2,1.

类型三等差数列的应用(数学建模、数学运算)

—角一度一L…与其他知识的综合应用―

【典例】等差数列｛an｝中，a2+a5+a8=9,那么关于x的方程

2

x+(a，i+a6)x+10=0

A.无实根B.有两个相等实根

C.有两个不等实根D.不能确定有无实根

【思路导引】根据等差数列的性质和题目条件可求a4+a6,判断判别式

△的符号可得方程实数根的情况.

［解析］选A.由于a4+a6=az+a8=2a5,而3a5=9,

22

所以a5=3,方程为X+6X+10=0,A=6-4X10<0,无实数根.

—角度2…实际应用―

【典例】《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子，自上而下

各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4

升,则第5节的容积为

A.1升B.—升C.—升D.一升

664433

【思路导引】关键是构建数列模型，明确此等差数列共9项，已知前4

项的和及后3项的和求第5项.

【解析】选B.设该等差数列为｛aj,公差为d.

由题意得+。3+。4=3,

a7+他+的=4

+6d=3,

解得4

+21d=4,

所以a5=^+4X-^=~.

226666

e解题策略

1.解决数列综合问题的方法策略

⑴结合等差数列的性质或利用等差中项.

⑵利用通项公式，得到一个以首项a和公差d为未知数的方程或不等

式.

⑶利用函数或不等式的有关方法解决.

2.解决等差数列实际应用问题的步骤

特别提醒:在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等

关键问题.

题组训练\

1.已知数列｛aj为等差数列，若ai+a5+a9=n，贝！Jsin(a2+a8)=.

【解析】因为数列｛aj为等差数列，

右ai+a$+a9=n=3a5,

所以a5=-,贝Isin(a2+a8)=sin(2a5)=sin^：—.

332

答案:立

2

2.古代中国数学辉煌灿烂，在《张邱建算经》中记载：“今有十等人，大

官甲等十人官赐金，以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出；下四人

后入，得金三斤持出；中央三人未到者，亦依等次更给.问：各得金几何

及未到三人复应得金几何？”则该问题中未到三人共得金

斤.

【解析】设十人得金按等级依次设为a1)a2,-saw,

则aba2,,,,,a］。成等差数列,

且=4,

a

\a7+。8+。9+io~3,

设等差数列aba2,…,aio的公差为d,

+3d=4,

filiU1

14%+30d=3,

7

解得d=~

78

..83

户斤以a4+as+a6=(ai+az+a?)+9dzz.

26

答案:巴

26

【补偿训练】

-1

1.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(arb)的4个根可组成首项为-

4

的等差数列，则a+b的值为

111331

A.38B.—C.—D.—

242472

【解析】选D.判断各个根对应数列的项数.因为每个方程的两个根的和

131

都为1,故必有一个方程的根为-和-，不妨设方程x2-x+a=0的根为-和

444

O-1O

士.士为等差数列的首项，士为等差数列4项中的某一项，由x2-x+b=o的两

444

3

根和为1,且两根为等差数列中的后3项中的两项，知只有-为第4项，

4

1q73

才能满足中间两项之和为1的条件，所以四根的排列顺序为-,一,一,-，

412124

之,,,1、，35、，731

所以a+b-—X—+—X———.

44121272

2.已知AABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数

列,则4ABC的面积为.

【解析】设4ABC的三边长为a-4,a,a+4(a>4),

a2+(a-4)2-(a+4)21

则------；~；----二一,

2a(a-4)2

解得a=10,三边长分别为6,10,14.

所以S=-X6X10X—=15Vs.

AABC22

答案：156

课堂检测-素养达标

1.等差数列瓜｝中，alflO=120,a90=100,则公差d等于()

A.2B.20C.100D.不确定

【解析】选A.因为a10o-a9o=10d,

所以10d=20,

即d=2.

2.(教材二次开发:练习改编)由公差dr0的等差数列aba2,a”组成

一个新的数列a,+a3,a2+a4,as+as,…下歹U说法正确的是

A.