考研数学二模拟410

考研数学二模拟410一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.

设则f(x，y)在点(0，0)处______．A.连续，但不可偏导B.可偏导，但不连续C.连续、可偏导，但不可微D.可微正确答案：D[解析]由得f(x，y)在(0，0)处连续，

由得f'x(0，0)=0，

再由得，

即f(x，y)在(0，0)处可偏导且f'x(0，0)=0，

令，则

因为

故f(x，y)在(0，0)处可微．选D.

2.

设D为有界闭区域，z=f(x，y)在D上二阶连续可偏导，且在区域D内满足：，则______．A.f(x，y)在D取到最小值和最大值B.f(x，y)在D内取到最小值但取不到最大值C.f(x，y)在D内取到最大值取不到最小值D.f(x，y)在D内既取不到最大值又取不到最小值正确答案：D[解析]对区域D内任意一点(x，y)，

因为，所以D内任意一点都不是最值点，故f(x，y)在D内既取不到最小值又取不到最大值，选D.

3.

设，则为______．

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]由

得

选C.

4.

设f(x)在x0的邻域内三阶连续可导，且f'(x0)=f"(x0)=0，f'''(x0)＞0，则下列结论正确的是______．A.x=x0为f(x)的极大值点B.x=x0为f(x)的极小值点C.(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点D.(x0，f(x0))不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：C[解析]

由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，

当x∈(x0-δ，x0)时，f"(x)＜0；当x∈(x0，x0+δ)时，f"(x)＞0，则(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点，选C.

5.

设f(x)连续，则为______．A.0B.f(x+b)C.f(x+b)-f(x+a)D.f(b+y)-f(a+y)正确答案：C[解析]

则，选C．

6.

若f(x)∈C[1，+∞)，在[1，+∞)内可导，f(1)＜0，f'(x)≥k＞0，则在(1，+∞)内f(x)=0______．A.至少有一个根B.只有一根C.没有根D.有无根无法确定正确答案：B[解析]当x＞1时，由f(x)-f(1)=f'(ξ)(x-1)≥k(x-1)得f(x)≥f(1)+k(x-1)，于是.

因为f(x)在[1，+∞)上连续且f(1)＜0，所以f(x)=0在(1，+∞)内至少有一个根．

又因为f'(x)≥k＞0，所以f(x)单调增加，于是f(x)=0在(1，+∞)内有且仅有一个根，选B.

7.

设A为三阶矩阵，特征值为λ1=λ2=1，λ3=2，其对应的线性无关的特征向量为α1，α2，α3，令P1=(α1-α3，α2+α3，α3)，则．

A．

B．

C．

D．正确答案：A[解析]A*的特征值为2，2，1，其对应的线性无关的特征向量为α1，α2，α3，

令P=(α1，α2，α3)，则得

选A.

8.

设A是m×n矩阵，r(A)=n，则下列结论不正确的是______A.若AB=O，则B=OB.对任意矩阵B，有r(AB)=r(B)C.存在B，使得BA=ED.对任意矩阵B，有r(BA)=r(B)正确答案：D[解析]因为r(A)=n，所以方程组AX=0只有零解，而由AB=O得B的列向量为方程组AX=0的解，故若AB=O，则B=O；

令BX=0，ABX=0为两个方程组，显然若BX=0，则ABX=0，反之，若ABX=0，因为r(A)=n，所以方程组AX=0只有零解，于是BX=0，即方程组BX=0与ABX=0为同解方程组，故r(AB)=r(B)；

因为r(A)=n，所以A经过有限次初等行变换化为，即存在可逆矩阵P使得，令B=(En

O)P，则BA=E；

令B=(111)，r(A)=1，但r(BA)=0≠r(B)=1，选D.

二、填空题1.

设f(x)为单调函数，且g(x)为其反函数，又设f(1)=2，，f"(1)=1．则g"(2)=______．正确答案：[解析]

2.

f(x)=x4ln(1-x)，当n＞4时，f(n)(0)=______．正确答案：[解析]设

由

再由麦克劳林公式的唯一性得，即

3.

已知函数z=u(x，y)eax+by，且，若z=z(x，y)满足方程，则a=______，b=______．正确答案：a=1，b=1[解析]

则

4.

正确答案：[解析]改变积分次序，得，

于是

5.

正确答案：[解析]

6.

设则B*A=______．正确答案：[解析]因为B=AE12(2)E13，所以|B|=|A||E12(2)||E13|=-3，

又因为B*=|B|B-1，所以，

故

三、解答题共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.

令x=cost(0＜t＜π)将方程(1-x2)y"-xy'+y=0化为y关于t的微分方程，并求满足y|x=0=1，y'|x=0=2的解．正确答案：[解]

代入原方程得，该方程的通解为y=C1cost+C2sint，

原方程的通解为

将初始条件y|x=0=1，y'|x=0=2代入得C1=2，C2=1，故特解为．

2.

设方程在变换下化为，求常数a的值．正确答案：[解]

代入整理得

从而故a=-2．

3.

求曲线y=-x2+1上一点P(x0，y0)(其中x0≠0)，使过P点作抛物线的切线，此切线与抛物线及两坐标轴所围成图形的面积最小．正确答案：[解]切线方程为

令y=0，得切线与x轴的交点为，

令x=0，得切线与y轴的交点为．

1)当x0＞0时，因为，所以所围成图形面积为

令

因为，所以当时，所围成的面积最小，所求的点为．

2)当x0＜0时，因为，所以所围成的面积为

令，得，

因为，所以当时，所围成的面积最小，所求点为．

4.

设f(x)在[0，a]上一阶连续可导，f(0)=0，在(0，a)内二阶可导且f"(x)＞0．证明：

正确答案：[解]令

因为f"(x)＞0，所以f'(x)单调增加，故f'(ξ)＜f'(x)，

于是φ"(x)＞0(0＜x＜a)．

由得φ'(x)＞0(0＜x≤a)，

再由得φ(x)＞0(0＜x＜a)，

于是由φ(a)＞0，故

5.

计算二重积分，其中积分区域D={(x，y)|0≤x2≤y≤x≤1}．正确答案：[解]

6.

设u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由ex+ey=ez确定，其中f二阶连续可偏导，求．正确答案：[解]由ex+ey=ez得

再由u=f(x2+y2，xz)得，

7.

求微分方程y"+y'-2y=xex+sin2x的通解．正确答案：[解]特征方程为λ2+λ-2=0，

特征值为λ1=-2，λ2=1，y"+y'-2y=0的通解为y=C1e-2x+C2ex.

设y"+y'-2y=xex

(*)

y"+y'-2y=sin2x

(**)

令(*)的特解为y1(x)=(ax2+bx)ex，代入(*)得

由y"+y'-2y=sin2x得，

显然有特解

对，令其特解为y=Acos2x+Bsin2x，代入得则，所以原方程的通解为

8.

设，讨论当a，b取何值时，方程组AX=b无解、有唯一解、有无数个解；有无数个解时求通解．正确答案：[解]

情形一：a≠0

当a≠0且a-b+1≠0时，方程组有唯一解；

当a≠0且a-b+1=0；方程组有无数个解，

由

方程组的通解为

情形二：a=0

当b≠1时，方程组无解；

当b=1时，方程组有无数个解，

由

方程组的通解为

设A为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得且A*α=α．9.

求正交矩阵Q；正确答案：[解]显然A的特征为λ1=λ2=-1，λ3=2，A*的特征值为μ1=