高中数学 2-3 2.3 第1课时离散型随机变量的数学期望同步测试 新人教B版选修2-3

【成才之路】-学年高中数学2-32.3第1课时离散型随机变量的数学期望同步测试新人教B版选修2-3一、选择题1．若随机变量X～B(5,0.8)，则E(X)的值为()A．0.8 B．4C．5 D．3[答案]B[解析]∵X～B(5,0.8)，∴E(X)＝5×0.8＝4.2．已知随机变量X的分布列为：X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)则E(X)等于()A．0 B．－1C．－eq\f(1,3) D．eq\f(1,6)[答案]C[解析]由题意可知E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3).3．口袋中有5只球，编号为1、2、3、4、5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大号码，则E(ξ)的值是()A．4 B．4.5C．4.75 D．5[答案]B[解析]取出球的最大号码ξ的取值3、4、5.P(ξ＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝eq\f(6,10).∴E(ξ)＝3×eq\f(1,10)＋4×eq\f(3,10)＋5×eq\f(6,10)＝4.5.故选B.4．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值是()A．2×0.44 B．2×0.45C．3×0.44 D．3×0.64[答案]C[解析]∵E(ξ)＝n×0.6＝3，∴n＝5.∴P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,5)×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44.故选C.5．设随机变量ξ的分布列如下表所示且E(ξ)＝1.6，则a－b＝()ξ0123P0.1ab0.1A.0.2 B．0.1C．－0.2 D．－0.4[答案]C[解析]由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8①又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3②由①②解得a＝0.3，b＝0.5，∴a－b＝－0.2.故选C.6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200C．300 D．400[答案]B[解析]本题以实际问题为背景，考查服从二项分布的事件的数学期望等．记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1000,0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选B.7．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为()A．无法求 B．0C．E(X) D．2E(X)[答案]B[解析]只要认识到E(X)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.二、填空题8．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X的均值E(X)＝________.[答案]eq\f(50,3)[解析]这是100次独立重复试验，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100，\f(1,6)))，∴E(X)＝100×eq\f(1,6)＝eq\f(50,3).9．已知某离散型随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝eq\f(7,6)，ξ的分布列如下表：ξ0123Paeq\f(1,3)eq\f(1,6)b则a＝________.[答案]eq\f(1,3)[解析]E(ξ)＝eq\f(7,6)＝0×a＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,6)＋3b⇒b＝eq\f(1,6)，又P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1⇒a＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝1⇒a＝eq\f(1,3).三、解答题10．(·深圳市二调)某班联欢晚会玩飞镖投掷游戏，规则如下：每人连续投掷5支飞镖，累积3支飞镖掷中目标即可获奖；否则不获奖．同时要求在以下两种情况下中止投掷：①累积3支飞镖掷中目标；②累积3支飞镖没有掷中目标．已知小明同学每支飞镖掷中目标的概率是常数p(p>0.5)，且掷完3支飞镖就中止投掷的概率为eq\f(1,3).(1)求p的值；(2)记小明结束游戏时，投掷的飞镖支数为X，求X的分布列和数学期望．[解析](1)由已知P(X＝3)＝p3＋(1－p)3＝eq\f(1,3)，解得p＝eq\f(1,3)或p＝eq\f(2,3).∵p>0.5，∴p＝eq\f(2,3).(2)X的所有可能取值为3,4,5.P(X＝3)＝eq\f(1,3)，P(X＝4)＝[Ceq\o\al(2,3)×(eq\f(2,3))2×eq\f(1,3)]×eq\f(2,3)＋[Ceq\o\al(2,3)×(eq\f(1,3))2×eq\f(2,3)]×eq\f(1,3)＝eq\f(10,27)，P(X＝5)＝Ceq\o\al(2,4)×(eq\f(2,3))2×(eq\f(1,3))2＝eq\f(8,27)(或P(X＝5)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝eq\f(8,27))．X的分布列为X345Peq\f(1,3)eq\f(10,27)eq\f(8,27)∴X的数学期望为E(X)＝3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(10,27)＋5×eq\f(8,27)＝eq\f(107,27).一、选择题1．(·湖北理，9)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)＝()A.eq\f(126,125) B．eq\f(6,5)C.eq\f(168,125) D．eq\f(7,5)[答案]B[解析]题意知X＝0、1、2、3，P(X＝0)＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝eq\f(8,125)，∴E(X)＝0×eq\f(27,125)＋1×eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝eq\f(150,125)＝eq\f(6,5).2．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为ξ，则E(ξ)＝()A．0.765 B．1.75C．1.765 D．0.22[答案]B[解析]设A、B分别为每台雷达发现飞行目标的事件，ξ的可能取值为0、1、2.P(ξ＝0)＝P(eq\x\to(A)·eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015.P(ξ＝1)＝P(A·eq\x\to(B)＋eq\x\to(A)·B)＝P(A)·P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))·P(B)＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.22.P(ξ＝2)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.9×0.85＝0.765.∴E(ξ)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.故选B.3．已知随机变量p的分布列为p－2－10123P1/12mn1/121/61/12其中m，n∈[0,1)，且E(P)＝eq\f(1,6)，则m，n的值分别为()A.eq\f(1,12)，eq\f(1,2) B．eq\f(1,6)，eq\f(1,6)C.eq\f(1,4)，eq\f(1,3) D．eq\f(1,3)，eq\f(1,4)[答案]D[解析]由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,12)＋m＋n＋\f(1,12)＋\f(1,6)＋\f(1,12)＝1，,－2·\f(1,12)＋－1m＋0·n＋1·\f(1,12)＋2·\f(1,6)＋3·\f(1,12)＝\f(1,6)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝\f(7,12)，,\f(1,2)－m＝\f(1,6).))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,3)，,n＝\f(1,4).))二、填空题4．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：t123P(ξ＝t)？！？请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.[答案]2[解析]设？处为x，！处为y，则由分布列的性质得2x＋y＝1，∴期望E(ξ)＝1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝4x＋2y＝2.5．设离散型随机变量ξ可能取的值为1、2、3、4.P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1、2、3、4)．又ξ的数学期望E(ξ)＝3，则a＋b＝________.[答案]eq\f(1,10)[解析]由已知得，(a×1＋b)＋(a×2＋b)＋(a×3＋b)＋(a×4＋b)＝1，即10a＋4b＝1又E(ξ)＝3，故(a＋b)×1＋(2a＋b)×2＋(3a＋b)×3＋(4a＋b)×4＝3，即30a联立①、②，解得b＝0，a＝eq\f(1,10)，∴a＋b＝eq\f(1,10).三、解答题6．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．[解析](1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么P(EA)＝eq\f(A\o\al(3,3),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,40)，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是eq\f(1,40).(2)随机变量ξ可能取的值为1,2，事件“ξ＝2”是指有两人同时参加A岗位服务，则P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)A\o\al(3,3),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,4).所以P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝2)＝eq\f(3,4)，ξ的分布列是ξ12Peq\f(3,4)eq\f(1,4)7.(·天津理，16)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．[解析](1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(2,7)＋C\o\al(0,3)C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(49,60).所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为eq\f(49,60).(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,4)·C\o\al(3－k,6),C\o\al(3,10))(k＝0、1、2、3)．所以，随机变量X的分布列是X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5).8．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．[解析](1)由题意得X取3,4,5,6，且P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,42)；P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(