专题03正方形性质与判定之八大考点(原卷版+解析)

专题03正方形性质与判定之八大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一正方形性质理解】 1【考点二根据正方形的性质求角度】 2【考点三根据正方形的性质求线段长】 4【考点四根据正方形的性质求面积】 8【考点五正方形的判定定理理解】 10【考点六添一条件使四边形是正方形】 12【考点七证明四边形是正方形】 13【考点八正方形的性质与判定综合问题】 17【过关检测】 23【典型例题】【考点一正方形性质理解】例题：（2023春·黑龙江鹤岗·八年级校考期中）正方形具有而菱形不具有的性质是（

）A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分C．四条边相等 D．对角线平分一组对角【变式训练】1．（2023春·四川自贡·八年级四川省荣县中学校校考期中）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（

）A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角2．（2023春·八年级单元测试）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（

）A．四个角都是直角 B．对角线相等C．四条边相等 D．对角线互相平分【考点二根据正方形的性质求角度】例题：（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在正方形中，点为边上一点，与交于点．若，则的大小为______度．【变式训练】1．（2023春·八年级单元测试）如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是_______．2．（2023春·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，E是AD上一点，连接CE，交BD于点F，若AB＝BF，则∠AEF＝_____°．【考点三根据正方形的性质求线段长】例题：（2023春·江苏南通·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的对角线AC．BD交于点O，E在BC上，F为DE的中点，△CEF的周长为18，且CE＝5，则OF＝_________．【变式训练】1．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，已知：正方形的顶点A在矩形的边上，矩形的顶点G在正方形的边上，正方形的边长为4，的长为5，则的长为_______．2．（2023秋·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）如图，在正方形中，，P为边的中点，Q为边上一点，连接，，，若为等腰三角形，则的长为______．【考点四根据正方形的性质求面积】例题：（2023·山东·九年级专题练习）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_____．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级假期作业）如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为________cm22．（2023春·天津北辰·八年级校联考期中）正方形的边长为，点分别是对角线上的两点，过点分别作的平行线，则图中阴影部分的面积等于_____．

【考点五正方形的判定定理理解】例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）满足下列条件的四边形是正方形的是（

）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形 B．对角线互相垂直的菱形C．对角线相等的矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形【变式训练】1．（2023·上海崇明·统考二模）下列命题是真命题的是（

）A．四边都相等的四边形是正方形 B．一组邻边相等的矩形是正方形C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2．（2023春·河南信阳·八年级统考期中）下列命题是假命题的为（

）A．对角线相等的菱形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形【考点六添一条件使四边形是正方形】例题：（2023·黑龙江·统考模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，若，请你添加一个条件________，使四边形是正方形（填一个即可）．

【变式训练】1．（2023春·八年级单元测试）如图，已知四边形为平行四边形，对角线相交于点O，要使四边形为正方形，需要增加的一个条件：________．（只填一个你认为正确的条件即可，不添加任何线段与字母）

2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加条件_____，则四边形AEDF是矩形；若添加条件_____，则四边形AEDF是菱形；若添加条件_____，则四边形AEDF是正方形．【考点七证明四边形是正方形】例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，为角平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形．【变式训练】1．（2023春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在中，，是角平分线，过点作的平行线，交外角的角平分线于点．(1)判断四边形的形状，并说明理由；(2)当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由．2．（2023春·江苏常州·八年级统考期中）如图1，在矩形中，的平分线交对角线于点M，交于点N，，，垂足分别为E、F．

(1)求证：四边形是正方形；(2)如图2，过点C作，若，，求四边形的面积．【考点八正方形的性质与判定综合问题】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，，交AC于点E，，交AB于点F．(1)求证：四边形AFDE是正方形；(2)若，求四边形AFDE的面积．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F，G是边AC的三等分点．DF，EG的延长线相交于点H，连接AH，CH，BF，BG．(1)求证：四边形FBGH是菱形；(2)判断四边形ABCH的形状，并证明你的结论；(3)若DF＝，求AB的长．2．（2023春·江苏·八年级专题练习）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．(1)如图，求证：矩形DEFG是正方形；(2)若AB＝，CE＝2，求CG的长；(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．【过关检测】一、选择题1．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图推理中，空格①②③④处可以填上条件“对角线相等”的是（

）

A．①② B．①④ C．③④ D．②③2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（

）

A．当时，它是正方形 B．当时，它是菱形C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形3．（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）如图，正方形的边长为2，点为对角线上一点，当时，则的长是（

）

A． B． C．2 D．4．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考三模）如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．5．（2023·福建泉州·统考二模）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠而成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则重叠部分的小正方形面积为（

）

A． B． C． D．二、填空题6．（2023春·浙江·八年级专题练习）在中，已知、为对角线，现有以下四个条件：①；②；③；④．从中选取两个条件，可以判定为正方形的是_________．（写出一组即可）7．（2023·广东肇庆·统考一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，，，则_______．8．（2023春·山东泰安·八年级肥城市实验中学校考期中）如图，点是正方形的对角线上一点，过点作，分别交、于、，连接、．若，则图中阴影部分的面积为______．

9．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是________．

10．（2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习）如图，在正方形中，O为对角线的交点，E，F分别为边上一点，连接．若，则的长为______．

三、解答题11．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，已知，过点D作交的延长线于点E，过点C作交的延长线于点F．

(1)求证：四边形是矩形；(2)请添加一个条件：______，使得四边形是正方形，不用说明理由．12．（2023春·广东汕头·八年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图，在▱中，、分别为边、的中点，是对角线，连接、．(1)求证：；(2)若，则四边形是______形(3)在（2）的条件下，试探索等于多少度时，四边形能成为正方形，并证明你的结论．13．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．(1)求证：；(2)当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？请说明你的理由；(3)若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．14．（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）如图1，在正方形中，点E是边上任意一点，连接，过点D作交于F，垂足为G．

(1)求证：；(2)如图2，若点E是的中点，连接，过点B作的垂线交的延长线于点H．①求的度数；②直接写出之间的数量关系．15．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F，连接．

(1)试判断四边形的形状，并证明你的判断；(2)如图①，若，证明：；(3)如图②，若，请直接写出的周长.16．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接．(1)求证：；(2)如图2，过点作，交边于点，以为邻边作矩形，连接．①求证：矩形是正方形；②若正方形的边长为6，，求正方形的面积．

专题03正方形性质与判定之八大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一正方形性质理解】 1【考点二根据正方形的性质求角度】 2【考点三根据正方形的性质求线段长】 4【考点四根据正方形的性质求面积】 8【考点五正方形的判定定理理解】 10【考点六添一条件使四边形是正方形】 12【考点七证明四边形是正方形】 13【考点八正方形的性质与判定综合问题】 17【过关检测】 23【典型例题】【考点一正方形性质理解】例题：（2023春·黑龙江鹤岗·八年级校考期中）正方形具有而菱形不具有的性质是（

）A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分 C．四条边相等 D．对角线平分一组对角【答案】A【分析】根据菱形和正方形的性质进行判断即可．【详解】解：菱形的对角线互相垂直，四条边相等，对角线平分一组对角，而正方形是特殊的菱形，所以这三个性质正方形也具有，故BCD不符合题意；正方形的对角线相等，而菱形的对角线不相等，故A符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了菱形和正方形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·四川自贡·八年级四川省荣县中学校校考期中）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（

）A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角【答案】B【分析】利用特殊四边形的性质逐项分析即可．【详解】解：A．菱形的对角线不一定相等，故不符合题意；B．矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分，故符合题意；C．矩形的对角线不一定互相垂直，故不符合题意；D．矩形的对角线不一定平分对角，故不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了特殊四边形的性质，正确掌握特殊四边形对角线的性质是解题关键．2．（2023春·八年级单元测试）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（

）A．四个角都是直角 B．对角线相等C．四条边相等 D．对角线互相平分【答案】C【分析】根据矩形的性质，正方形的性质即可求解．【详解】解：矩形的性质，两组对边平行且相等，对角线相等且相互平分，四个角都相等且都是直角；正方形的性质，四边都相等且两组对边相互平行，对角线相等且相互平分，四个角都相等且都是直角，∴正方形的四条都相等，是矩形没有的，故选：．【点睛】本题主要考查矩形的性质，正方形的性质，掌握几何图形的性质是解题的关键．【考点二根据正方形的性质求角度】例题：（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在正方形中，点为边上一点，与交于点．若，则的大小为______度．【答案】65【分析】由三角形的外角性质可知：要求，只要求，由正方形的轴对称性质可知：，即可求出．【详解】解：四边形是正方形，具有关于对角线所在直线对称的对称性，，，，又是的外角，，故答案为：65．【点睛】本题综合考查正方形的对称性质和三角形外角性质，解题关键是利用正方形的对称性快速得出结论．【变式训练】1．（2023春·八年级单元测试）如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是_______．【答案】45°##度【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得，，可求，即可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，∵是等边三角形，∴，，∴，，∴，∴．故答案为：45°．【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．2．（2023春·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，E是AD上一点，连接CE，交BD于点F，若AB＝BF，则∠AEF＝_____°．【答案】112.5【分析】由题意可得AB=BC，ADBC，∠ABD=∠CBD=45°，则BF=BC，∠BFC=∠BCF==67.5°，根据AD∥BC，可得∠DEF=67.5°，再根据邻补角的定义可得出答案．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，ADBC，∠ABD＝∠CBD＝45°，∵AB＝BF，∴BF＝BC，∴∠BFC＝∠BCF＝＝67.5°，∵ADBC，∴∠BCF＝∠DEF＝67.5°，∴∠AEF＝180°﹣∠DEF＝112.5°．故答案为：112.5．【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解答本题的关键．【考点三根据正方形的性质求线段长】例题：（2023春·江苏南通·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的对角线AC．BD交于点O，E在BC上，F为DE的中点，△CEF的周长为18，且CE＝5，则OF＝_________．【答案】【分析】取的中点，连接，根据正方形对角线交点是对角线的中点及F为DE的中点可得是的中位线，是的中位线，在根据正方形的性质得，可得和为直角三角形，根据直角三角形斜边的中线性质利用△CEF的周长为18可求出，再利用勾股定理即可求得，则利用中位线的性质即可求解．【详解】解：取的中点，连接，正方形ABCD的对角线AC．BD交于点O，且F为DE的中点，是的中位线，是的中位线，又四边形是正方形，，和为直角三角形，，又△CEF的周长为18，且CE＝5，，，，，，，，故答案为．【点睛】本题考查了三角形中位线性质、直角三角形斜边的中线性质、勾股定理、正方形的性质，解题的关键熟练掌握中位线性质及直角三角形斜边的中线性质．【变式训练】1．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，已知：正方形的顶点A在矩形的边上，矩形的顶点G在正方形的边上，正方形的边长为4，的长为5，则的长为_______．【答案】【分析】连接，根据勾股定理求出，从而得到，即可求出，即可得到答案.【详解】解：连接，∵四边形是正方形，四边形是矩形，∴，，，，，∵正方形的边长为4，的长为5，∴，∴，∴，设，则，根据勾股定理可得，，解得：，∴，故答案为；【点睛】本题考查勾股定理，正方形的性质，矩形的性质，解题的关键是连接辅助线．2．（2023秋·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）如图，在正方形中，，P为边的中点，Q为边上一点，连接，，，若为等腰三角形，则的长为______．【答案】2或4或【分析】先根据正方形的性质得到，，再分情况讨论．【详解】在正方形中，，P为边的中点，∴，．①如图1，当时，，∴，∴；②如图2，当时,

，∴；③如图3，当时，设，则，，∴，解得，综上所述，的长为2或4或【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【考点四根据正方形的性质求面积】例题：（2023·山东·九年级专题练习）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】【分析】连接、，证明，得到，再由，代值求解即可得到答案．【详解】解：连接、，如图所示：，，是正方形，为正方形的中心，，，在和中，，，，，故答案是：4．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质，构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积是解决问题的关键．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级假期作业）如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为________cm2【答案】13.5//【分析】将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，可得阴影部分是矩形，且可求阴影部分的长和宽，则面积能求出．【详解】∵将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，∴由平移的性质可得阴影部分是矩形，∵根据题意得：阴影部分的宽为6-3=3（cm），长为6-1.5=4.5（cm），∴S阴影部分=3×4.5=13.5（cm2），故答案为13.5cm2．【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，关键是理解图形变化的所表达的意义．2．（2023春·天津北辰·八年级校联考期中）正方形的边长为，点分别是对角线上的两点，过点分别作的平行线，则图中阴影部分的面积等于_____．

【答案】【分析】根据题意，可知四边形，四边形是正方形，由此即可将阴影部分的面积转换为正方形面积的一半．【详解】解：如图所示，

∵四边形是正方形，，，∴四边形，四边形是正方形，∴，，∴，，∴，∴阴影部分的面积为，故答案为：．【点睛】本题主要考查正方形，求不规则图形的面积的综合，理解题意，掌握正方形的性质，不规则图形的面积计算方法是解题的关键．【考点五正方形的判定定理理解】例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）满足下列条件的四边形是正方形的是（

）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形 B．对角线互相垂直的菱形C．对角线相等的矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形【答案】A【分析】根据正方形的判定方法即可求解．【详解】解：选项，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项正确，符合题意；选项，对角线互相垂直的长方形是正方形，故选项错误，不符合题意；选项，对角线相等的菱形是正方形，故选项错误，不符合题意；选项，对角线互相垂直平分的长方形是正方形，故选项错误，不符合题意；故选：．【点睛】本题主要考查正方形的判定，掌握“对角线相互垂直的矩形是正方形”，“对角线相等的菱形是正方形”，“对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形”的知识是解题的关键．【变式训练】1．（2023·上海崇明·统考二模）下列命题是真命题的是（

）A．四边都相等的四边形是正方形 B．一组邻边相等的矩形是正方形C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】B【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可．【详解】解：A、四边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；B、一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，符合题意；C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，原命题是假命题，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查判断命题的真假．熟练掌握正方形的判定方法，是解题的关键．2．（2023春·河南信阳·八年级统考期中）下列命题是假命题的为（

）A．对角线相等的菱形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形【答案】D【分析】根据正方形的判定方法逐项判断即可．【详解】解：A．对角线相等的菱形是正方形，故A是真命题，不符合题意；B．对角线互相垂直的矩形是正方形，故B是真命题，不符合题意；C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故C是真命题，不符合题意；D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故D是假命题，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握正方形的判定．【考点六添一条件使四边形是正方形】例题：（2023·黑龙江·统考模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，若，请你添加一个条件________，使四边形是正方形（填一个即可）．

【答案】（答案不唯一）【分析】根据正方形的判定方法进行解答即可．【详解】解：∵在平行四边形中，，∴平行四边形为矩形，添加条件可以利用对角线互相垂直的矩形是正方形，得出四边形是正方形；添加或或或，利用一组邻边相等的矩形为正方形，得出四边形是正方形．故答案为：．（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了正方形的判定，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法．【变式训练】1．（2023春·八年级单元测试）如图，已知四边形为平行四边形，对角线相交于点O，要使四边形为正方形，需要增加的一个条件：________．（只填一个你认为正确的条件即可，不添加任何线段与字母）

【答案】且（答案不唯一）【分析】根据正方形是特殊的平行四边形，只需要增加正方形所特有的性质即可．【详解】∵四边形为平行四边形，∴当且时，四边形为正方形，故答案为∶且（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查正方形的判定，掌握正方形是特殊的平行四边形是解题的关键．2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加条件_____，则四边形AEDF是矩形；若添加条件_____，则四边形AEDF是菱形；若添加条件_____，则四边形AEDF是正方形．【答案】∠BAC＝90°AD平分∠BAC∠BAC＝90°且AD平分∠BAC（答案不唯一）【分析】先利用平行四边形的判定方法得到四边形AEDF为平行四边形，然后根据矩形、菱形和正方形的判定方法添加条件．【详解】解：∵DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，∴四边形AEDF为平行四边形，∴当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是矩形；当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形；∠BAC＝90°且AD平分∠BAC，四边形AEDF是正方形．,∠BAC＝90°，故答案为∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，∠BAC＝90°且AD平分∠BAC．【点睛】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．也考查了菱形和矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键．【考点七证明四边形是正方形】例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，为角平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形．【答案】见解析【分析】先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出结论．【详解】是角平分线，，，，，，四边形是矩形，又，四边形是正方形．【点睛】本题考查了正方形的判定方法、矩形的判定方法、角平分线的性质；熟练掌握正方形的判定方法，证明四边形是矩形是解决问题的关键．【变式训练】1．（2023春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在中，，是角平分线，过点作的平行线，交外角的角平分线于点．(1)判断四边形的形状，并说明理由；(2)当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由．【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析(2)当是等腰直角三角形时，四边形是正方形，理由见解析【分析】（1）根据三线合一得出，根据是角平分线，是外角的角平分线得出，进而可得，根据题意得，即可得出结论；（2）根据（1）的结论添加邻边相等，即可得出结论．【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下：∵在中，，是角平分线，∴，，∵是外角的角平分线∴∴又，即，则∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形；（2）当是等腰直角三角形时，四边形是正方形，理由如下：∵四边形是矩形；∴当时，四边形是正方形，当时，是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，即是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形、矩形的判定定理是解题的关键．2．（2023春·江苏常州·八年级统考期中）如图1，在矩形中，的平分线交对角线于点M，交于点N，，，垂足分别为E、F．

(1)求证：四边形是正方形；(2)如图2，过点C作，若，，求四边形的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)6【分析】（1）先证明四边形是矩形，再根据角平分线的性质，得到，即可证明矩形是正方形；（2）根据平行线的性质和角平分线的性质，推出，得到，进而得到，再证明四边形是平行四边形，利用底高即可求出四边形的面积．【详解】（1）证明：四边形矩形，，，，，四边形是矩形，平分，，矩形是正方形；（2）解：四边形矩形，，，平分，，，，，，，，四边形是平行四边形，．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，角平分线的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握矩形和正方形的判定和性质是解题关键．【考点八正方形的性质与判定综合问题】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，，交AC于点E，，交AB于点F．(1)求证：四边形AFDE是正方形；(2)若，求四边形AFDE的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题目条件可得四边形AFDE为平行四边形，进而可通过角平分线证明其邻边相等，再加上一个90°角，即可说明是正方形，（2）根据正方形的性质先求出边长，即可得面积．【详解】（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD．∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠FAD．∴∠EDA＝∠EAD．∴AE＝DE．∴四边形AFDE是菱形．∵∠BAC＝90°，∴四边形AFDE是正方形．（2）解：∵四边形AFDE是正方形，AD＝，∴AF＝DF＝DE＝AE＝．∴四边形AFDE的面积为2×2＝4．【点睛】本题考查正方形的判定及性质，熟练掌握正方形的几种判定方法及性质是解题关键．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F，G是边AC的三等分点．DF，EG的延长线相交于点H，连接AH，CH，BF，BG．(1)求证：四边形FBGH是菱形；(2)判断四边形ABCH的形状，并证明你的结论；(3)若DF＝，求AB的长．【答案】(1)见解析(2)四边形ABCH是正方形，理由见解析(3)AB=6．【分析】（1）由DF是△ABG的中位线，则DF∥BG，同理EG∥BF，得四边形FBGH为平行四边形，再利用SAS证明△ABF≌△CBG，得BF=BG，从而证明结论；（2）连接BH交AC于点O，由（1）知，四边形ABCH是菱形，再根据AB=CB，可知四边形ABCH是正方形；（3）由菱形的性质可知FH=BG=2，则DH=DF+FH=+2=3，设AD=x，则AB=2x，利用勾股定理即可解决问题．【详解】（1）证明：∵点F、G是边AC的三等分点，∴AF=FG=GC，又∵D为AB中点，∴DF是△ABG的中位线，∴DF∥BG，同理EG∥BF，∴四边形FBGH为平行四边形，∵∠ABC=90°，AB=BC，∴∠BAF=∠BCG=45°，在△ABF和△CBG中，∴△ABF≌△CBG（SAS），∴BF=BG，∴四边形FBGH是菱形；（2）解：四边形ABCH是正方形，理由如下：如图，连接BH交AC于点O，∵四边形FBGH是菱形，∴OF=OG，OB=OH，FG⊥BH，由（1）得AF=CG，∴OF+AF=OG+CG，即OA=OC，∴四边形ABCH是菱形，又∵∠ABC=90°，∴四边形ABCH是正方形；（3）解：∵DF是△ABG的中位线，∴BG=2DF=2，又∵四边形FBGH是菱形，∴FH=BG=2，∴DH=DF+FH=+2=3，∵四边形ABCH是正方形，∴AH=AB，∠DAH=90°，∴AD2+AH2=DH2，设AD=x，则AB=AH=2x，则x2+（2x）2=（3）2，解得：x1=3，x2=-3（舍），∴AB=2x=6．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．2．（2023春·江苏·八年级专题练习）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．(1)如图，求证：矩形DEFG是正方形；(2)若AB＝，CE＝2，求CG的长；(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．【答案】(1)见解析；(2)；(3)或【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可；（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题．（3）分两种情形结合正方形的性质解答即可．【详解】（1）证明：如下图所示：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝90°，∠PED+∠FEC＝90°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2：在Rt△ABC中AC＝AB＝，∵EC＝2，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，∴；（3）①如图3：当DE与AD的夹角为40°时，∠DEC＝45°+40°＝85°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°，∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°，②如图4：当DE与DC的夹角为40°时，∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∴∠EFC＝∠EDC＝40°，综上所述，∠EFC＝130°或40°．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的判定与性质等相关知识点，根据条件结合图形去解题是关键.【过关检测】一、选择题1．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图推理中，空格①②③④处可以填上条件“对角线相等”的是（

）

A．①② B．①④ C．③④ D．②③【答案】D【分析】根据矩形的判定定理，正方形的判定定理即可求解．【详解】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，对角线相等的菱形是正方形，故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理，正方形的判定定理是解题的关键．2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（

）

A．当时，它是正方形 B．当时，它是菱形C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形【答案】A【分析】根据正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定逐项判断即可得．【详解】解：A、当时，它是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），不一定是正方形，则此项错误，符合题意；B、当时，它是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），则此项正确，不符合题意；C、当时，它是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），则此项正确，不符合题意；D、当时，它是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），则此项正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定是解题关键．3．（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）如图，正方形的边长为2，点为对角线上一点，当时，则的长是（

）

A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根据正方形的性质得出，，求出，，得出，根据等腰三角形的判定，即可得出答案．【详解】解：∵四边形为正方形，∴，，∵，∴，，∴，∴，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，得出．4．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考三模）如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定可得，再根据全等三角形的性质及平行线的性质得到，最后根据角平分线的定义即可解答．【详解】解：∵在正方形中，∴，，∴在和中，，∴，∴，∵,∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，故选．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．5．（2023·福建泉州·统考二模）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠而成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则重叠部分的小正方形面积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正方形的性质，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据平移的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出小正方形的边长，再根据正方形的面积公式，计算即可得出答案．【详解】解：∵四边形是边长为的正方形，∴，，∴，∵正方形沿对角线方向平移得到正方形，∴，∴，∴小正方形的边长为：，∴小正方形面积为：．故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、平移的性质、二次根式的混合运算，解本题的关键在充分利用数形结合思想，并熟练掌握相关的性质定理．二、填空题6．（2023春·浙江·八年级专题练习）在中，已知、为对角线，现有以下四个条件：①；②；③；④．从中选取两个条件，可以判定为正方形的是_________．（写出一组即可）【答案】①③或①④或②③或②④【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定作出选择即可．【详解】①③：∵在中，，∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），又∵，∴四边形ABCD是正方形（对角线互相垂直矩形是正方形）；①④：∵在中，，∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），又∵，∴四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）；②③：∵在中，，∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），又∵，∴四边形ABCD是正方形（对角线垂直的矩形是正方形）；②④：∵在中，，∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），又∵，∴四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）；故答案为：①③或①④或②③或②④．【点睛】本题主要考查特殊平行四边形的判定，熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定是解答本题的关键．7．（2023·广东肇庆·统考一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，，，则_______．【答案】【分析】证明，则，根据，计算求解即可．【详解】解：由正方形的性质可得，，在和中，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．8．（2023春·山东泰安·八年级肥城市实验中学校考期中）如图，点是正方形的对角线上一点，过点作，分别交、于、，连接、．若，则图中阴影部分的面积为______．

【答案】【分析】根据对称性得出，进而即可求解．【详解】作于，交于．

则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，∴，，，，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明．9．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是________．

【答案】【分析】根据图形可知：点在以为圆心，为半径的圆上运动，再根据旋转可知：将正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点顺时针旋转，可得对应的坐标，然后发现规律次一循环，进而得出答案．【详解】解：四边形是边长为的正方形，，将正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点顺时针旋转，，，，，，，，，，，发现是次一循环，则，的坐标是，故答案为：．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，坐标与图形的变化，正方形的性质，勾股定理，解题关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法．10．（2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习）如图，在正方形中，O为对角线的交点，E，F分别为边上一点，连接．若，则的长为______．

【答案】2【分析】由题意证明，所以，则是等腰直角三角形，即可得到；过点F作，求出，得到，推出是等腰直角三角形，则．【详解】解：在正方形中，和为对角线，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，过点F作，如图，

∴，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，故答案为：2．【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，含的直角三角形的三边关系，全等三角形的性质与判定等相关知识，解题关键是得出是等腰直角三角形．三、解答题11．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，已知，过点D作交的延长线于点E，过点C作交的延长线于点F．

(1)求证：四边形是矩形；(2)请添加一个条件：______，使得四边形是正方形，不用说明理由．【答案】(1)见解析(2)（答案不唯一）【分析】（1）四边形是平行四边形，则，由，得到四边形是平行四边形，由得到，即可得到结论；（2）根据矩形成为一个正方形的条件添加即可．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形；（2），理由是：∵四边形是矩形，，∴四边形是正方形．故答案为：（答案不唯一）【点睛】此题主要考查了矩形的判定、正方形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定、正方形的判定是解题的关键．12．（2023春·广东汕头·八年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图，在▱中，、分别为边、的中点，是对角线，连接、．(1)求证：；(2)若，则四边形是______形(3)在（2）的条件下，试探索等于多少度时，四边形能成为正方形，并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)菱(3)当时，证明见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论即可；（2）根据直角三角形斜边上的中线性质得到，由菱形的判定可得出结论；（3）证出，由正方形的判定可得出结论．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，、分别为边、的中点，，又，四边形是平行四边形，；（2）解：当时，四边形是菱形．理由：，为的中点，，又四边形是平行四边形，四边形是菱形；故答案为：菱；（3）解：当时，四边形能成为正方形．证明：，，，是等腰直角三角形，为的中点，，又四边形是菱形，四边形是正方形．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质，正方形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．13．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．(1)求证