2024-2025学年福建省福州一中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省福州一中九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2024的相反数是(

)A.2024 B.−2024 C.12024 D.2.在平面直角坐标系中，点A(1,−4)关于y轴对称的点的坐标为(

)A.(1,4) B.(−1,4) C.(0,−4) D.(−1,−4)3.如图，在△ABC中，DE//BC，ADDB=23，若AE=4，则A.6B.8

C.10D.124.下列计算正确的是(

)A.x5·x2=x10 B.5.下列长度的三条线段能组成三角形的是(

)A.2，3，6 B.5，8，13 C.4，4，7 D.3，4，86.某校举行“英语单词拼写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图.这5个正确答题数所组成的一组数据的众数和中位数是(

)A.15，15 B.15，13 C.20，13 D.10，157.如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2=90°，则∠BOC的度数是(

)A.100°B.115° C.135°D.145°8.某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛.设七年级共有x个班，则下列方程正确的是(

)A.x(x−1)=42 B.12x(x+1)=42 C.x(x+1)=42 9.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，AC=12，菱形ABCD的面积为96，则OH的长等于(

)

A.6 B.5 C.4 D.310.已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线x=1，有以下结论：①abc<0，②2a+b=0，③抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，若x1<1<x2，且A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④二、填空题：本题共7小题，共27分。11.据报道，受台风“摩羯”影响，海口全市受灾人口126.81万人，造成直接经济损失约263.24亿元，数据263.24亿元用科学记数法表示为______元.12.如果13a2bx3与−0.513.因式分解：x2−4y2=14.如图，已知OA=OB，BC⊥AC于点C.点O对应的数是0，点C对应的数是−2，AC=1，那么数轴上点B所表示的数是______．

15.当x=1时，整式ax3+bx+1的值为2024，则当x=−1时，整式a16.如图，正方形ABCD中边长为12，E为BC上一点，且BE=3，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为______．17.如图，菱形ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，BE//AC，CE//BD．

求证：四边形OBEC是矩形．三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题8分)

(1)计算：(2024−π)0+|3−1|−19.(本小题8分)

如图，∠A=∠D=90°，AB=DC，求证：△ABC≌△DCB．20.(本小题8分)

先化简、再求值x2−2xx2−121.(本小题8分)

为了了解某校中学生音乐期末成绩分布情况，随机调查了部分参加期末测试的学生的音乐成绩，整理并制作了统计图表的一部分．分数段频数频率60≤x<70a0.170≤x<8090b80≤x<9090≤x≤10060c请根据图表中提供的信息，解答下列问题：

(1)a=______；b=______；

(2)请用样本数据，估计该校音乐期末测试成绩的平均分；

(3)若该校有2000名学生参加音乐期末测试，成绩达到90分为优秀，则估计该校音乐期末测试成绩为优秀的学生人数为______．22.(本小题8分)

某工艺品专卖店计划购买中国结和油纸伞若干，已知购买2个中国结和3把油纸伞共需195元，购买4个中国结和8把油纸伞共需460元．

(1)每个中国结和每把油纸伞的进价分别是多少元；

(2)若该专卖店准备购买中国结和油纸伞共30件，且购买中国结的数量至少比油纸伞的数量多5件，请问怎样购买，才能使总费用最少，并求出最少总费用．23.(本小题8分)

阅读材料：如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，请用尺规作图在AB边上求作点P，使得∠BPC+∠ACP=90°.小明提出想法：如图2，假设点P为所求作的点，连接CP，此时有∠BPC+∠ACP=90°，因为∠BCP+∠ACP=90°，所以∠BPC=∠BCP，从而得到：BP=BC．

由此想法得到如下作图方法：如图2，以点B为圆心，BC为半径画弧，该弧与AB相交于点P，则点P即为所作的点．

根据以上材料，完成下面两个问题：

(1)请你类比上述作图方法，在图3中，用尺规作图在AB边上作点Q，使得∠CQB+∠ACQ=180°；

(2)按以上要求作出P，Q两点，当直角边长度发生变化时，求证：∠PCQ=45°．24.(本小题8分)

如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B两点.A点坐标为(−1,0)，与y轴交于点C(0,3)，点M为抛物线顶点，点E为AB中点．

(1)求二次函数的表达式；

(2)在直线BC上方的抛物线上存在点Q，使得∠QCB=2∠ABC，求点Q的坐标；

(3)已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点，若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，当D，E，F三点共线时，试判断△ABP的面积是否为定值，若是，请求出定值：若不是，请说明理由．

25.(本小题8分)

如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点B的对称点E落在边CD上，点A的对称点为F，EF交AD于点G．

(1)如图1，若QC=4，EC=3，DE=6，求DG的长；

(2)如图2，连接BG交PQ于点H，连接BE、HE，

①试判断△BHE的形状，并说明理由：

②求证：EG2−BH参考答案1.B

2.D

3.C

4.D

5.C

6.A

7.C

8.A

9.B

10.D

11.2.6324×1012.−2

13.(x+2y)(x−2y)

14.−15.−2022

16.15217.证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，

∴AC⊥BD，

∵BE//AC，CE//BD，

∴∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，

∴四边形OBEC是矩形；

18.解：(1)原式=1+3−1−23

=−3；

(2)x2−3x+1=0，

∴Δ=(−319.证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，

BC=CBAB=DC，

∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)．20.解：x2−2xx2−1÷(x−1−2x−1x+1)

=x(x−2)(x+1)(x−1)÷x221.（1）30，22.解：(1)设每个中国结的进价为x元，每把油纸伞的进价为y元，

由题意，得2x+3y=195,4x+8y=460,

解得x=45,y=35.

答：每个中国结的进价为45元，每把油纸伞的进价为35元．

(2)设购买m个中国结，则购买(30−m)把油纸伞，

根据题意，得m≥30−m+5，

解得m≥17.5．

设总费用为W元，则W=45m+35(30−m)=10m+1050．

∵10>0，

∴W随m的增大而增大．

∵m为整数，m≥17.5，

∴当m=18时，W取得最小值，

此时W=10×18+1050=1230，

此时30−m=12．

答：购买中国结18个、油纸伞12把时，总费用最少，最少总费用是1230元．

23.解：(1)如图1，点Q即为所求，

；

(2)证明：如图2，

；

由作图知：AC=AQ，BC=BP，

∴∠ACQ=∠AQC，∠BCP=∠BPC，

∵∠ACQ+∠AQC+∠A=180°，∠BCP+∠BPC+∠B=180°，

∴∠AQC=12(180°−∠A)，∠BPC=12(180°−∠B)，

∵∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠AQC=12(180°−∠A)=124.解：(1)将A(−1,0)，C(0,3)代入y=ax2+2x+c，

得a−2+c=0c=3，

解得：a=−1c=3，

∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3；

(2)对于y=−x2+2x+3，令y=0，则−x2+2x+3=0

解得：x1=−1，x2=3

∴B(3,0)，

∴OB=OC=3，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°，

∵∠QCB=2∠ABC，

∴∠QCB=90°，

如图所示，过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作QG⊥y轴于点G，

∴∠GCQ=90°−∠ABC=45°，

∴△GCQ是等腰直角三角形，

∴CG=QG，

设Q(q,−q2+2q+3)，则G(0,−q2+2q+3)，

∴CG=−q2+2q，GQ=q，

∴−q2+2q=q，

解得：q=0(舍去)或q=1，

∴Q(1,4)；

(3)△ABP的面积为定值8．

理由：

如图：

设D(x1,y1)，F(x2,y2)，

∵点E为AB中点，A(−1,0)，B(3,0)

∴E(1,0)，

∵D，E，F三点共线，

∴可设直线DF的解析式y=kx+b，

代入E(1,0)得b=−k，

∴直线DF的解析式y=kx−k=k(x−1)，

联立y=k(x−1)y=−x2+2x+3，

得−x2+(2−k)x+(3+k)=0，

∴x1+x2=2−k，x1x2=−3−k，

∵A(−1,0)，B(3,0)，

同理直线AD解析式为y=k1(x+1)，直线BF解析式为y=k2(x−3)，

联立y=k25.(1)解：∵将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点B的对称点E落在边CD上，

∴∠QEG=∠B=90°，∠C=∠D=90°，AB/​/CD，

∴∠CQE=90°−∠CEQ=∠DEG，

∴△CQE∽△DEG，

∴CEDG=CQDE，即3DG=46，

∴DG=4.5；

(2)①解：△BHE是等腰直角三角形，

理由：过B作BM⊥GE，

∵翻折，

∴∠ABE=∠GEB，BH=EH，

∵AB/​/CD，

∴∠ABE=∠BEC，

∴∠BEM=∠BEC，

又∠BME=∠C=90°，BE=BE，

∴△BCE≌△BME(AAS)，

∴∠MBE=∠CBE=12∠CBM，BM=BC=AB，

又BG=BG，

∴Rt△BMG≌Rt△BAG(HL)，

∴∠MBG=∠ABG=12∠ABM，

∴∠GBE=∠MBE+∠MBG=12∠CBM+12∠ABM=12∠ABC=45°，

∵BH=EH，

∴∠HBE=∠HEB=45°，

∴∠BHE=90°，

∴△BHE是等腰直角三角形；

②证明：连接AH，MH，EH，如