专题03正比例函数与反比例函数(19个考点)【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年八年级数学上学期期中期末考点大串讲(沪教版)(原卷版+解析)

专题03正比例函数与反比例函数（19个考点）【知识梳理+解题方法】一．常量与变量（1）变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．（2）方法：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；③不要认为字母就是变量，例如π是常量．二．函数的概念函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．三．函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．四．函数自变量的取值范围自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．五．函数值函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．六．函数的图象函数的图象定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．七．正比例函数的定义（1）正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．（2）正比例函数图象的性质正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．八．反比例函数的定义（1）反比例函数的概念形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．（2）反比例函数的判断判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．九．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．十．反比例函数图象的对称性反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．十一．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．十二．反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．十三．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．十四．待定系数法求反比例函数解析式用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．十五．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．十六．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．十七．反比例函数综合题（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．【专题过关】一．常量与变量（共1小题）1．（2021秋•黄浦区期中）如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为4，则最后输出因变量y的值为．二．函数的概念（共1小题）2．（2021秋•徐汇区校级期末）下列图象中表示y是x的函数的有几个（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三．函数关系式（共1小题）3．（2019秋•黄浦区校级期中）A、B两地相距50千米，小张骑自行车从A地到B地，车速为13千米/小时，骑了t小时后，小张离B地s千米，那么s关于t的函数解析式是．四．函数自变量的取值范围（共4小题）4．（2021秋•松江区期末）函数y＝的定义域为．5．（2021秋•金山区校级期中）函数的定义域是．6．（2021秋•虹口区校级期末）函数的定义域是．7．（2022•长宁区模拟）函数的定义域是．五．函数值（共2小题）8．（2021秋•普陀区期末）已知函数，那么f（2）＝．9．（2021秋•徐汇区校级期末）已知函数f（x）＝，那么f（﹣2）＝．六．函数的图象（共1小题）10．（2021秋•徐汇区校级期末）某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油箱余油量为Q2吨，加油时间为t（分），Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：（1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了吨油；运输飞机的油箱有余油量吨油；（2）这些油全部加给运输飞机需分钟；（3）运输飞机的飞行油耗为每分钟吨油；（4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行小时．七．正比例函数的定义（共2小题）11．（2020秋•浦东新区期末）如果函数y＝（m﹣）x是正比例函数，那么m＝．12．（2021秋•宝山区校级期中）下列问题中，两个变量成正比例的是（）A．圆的面积S与它的半径r B．三角形面积一定时，某一边a和该边上的高h C．正方形的周长C与它的边长a D．周长不变的长方形的长a与宽b八．正比例函数的性质（共2小题）13．（2021秋•普陀区期末）函数的定义域是．14．（2021秋•静安区校级期末）已知正比例函数y＝（m+1）x的图象经过第二、四象限，则m的值为．九．待定系数法求正比例函数解析式（共2小题）15．（2020秋•金山区期中）已知点A（2，﹣1）在正比例函数的图象上，则这个函数的解析式为．16．（2019秋•嘉定区期中）已知y与x成正比例，且当x＝3时，y＝4．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）当x＝﹣1时，求y的值．一十．反比例函数的定义（共2小题）17．（2021秋•杨浦区期中）已知y与2z成反比例，比例系数为k1，z与x成正比例，比例系数为k2，k1和k2是已知数，且k1•k2≠0，则y关于x成比例．（填“正”或“反”）18．（2020秋•静安区期末）已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成反比例，y2与x成正比例，且当x＝2时，y1＝4，y＝2．（1）求y关于x的函数解析式；（2）求当x＝3时的函数值．一十一．反比例函数的图象（共2小题）19．（2020秋•奉贤区期末）已知正比例函数y＝kx和反比例函数y＝﹣在同一坐标系内的大致图象是（）A．（1）或（3） B．（1）或（4） C．（2）或（3） D．（3）或（4）．20．（2020秋•宝山区校级期末）函数y＝﹣kx与y＝（k＜0）的图象大致是（）A． B． C． D．一十二．反比例函数图象的对称性（共1小题）21．（2021秋•浦东新区校级月考）已知函数y＝2x与的图象的一个交点坐标是（1，2），则它们的图象的另一个交点的坐标是．一十三．反比例函数的性质（共3小题）22．（2021秋•普陀区期末）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（）A．k＜2 B．k＜﹣2 C．k＞2 D．k＞﹣223．（2021秋•徐汇区校级期末）下列函数中，y的值随着x的值增大而减小的是（）A．y＝ B．y＝﹣2x C．y＝﹣ D．y＝2x24．（2021秋•松江区期末）反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是．一十四．反比例函数系数k的几何意义（共2小题）25．（2021秋•虹口区校级期末）如图，已知双曲线（x＞0）经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2．则k＝（）A．2 B． C．1 D．426．（2021秋•浦东新区校级月考）如图，A，C是函数的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，过点C作y轴的垂线，垂足为D，记Rt△AOB的面积为S1，Rt△COD的面积为S2，则S1和S2的大小关系是（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．由A，C两点的位置确定一十五．反比例函数图象上点的坐标特征（共7小题）27．（2021秋•崇明区校级期末）反比例函数y＝的图象在第二、四象限内，则点（m，﹣1）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限28．（2021秋•浦东新区期末）在反比例函数y＝的图象上有三点A1（x1，y1）、A2（x2，y2）、A3（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中，正确的是（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y229．（2021秋•杨浦区校级期中）平面直角坐标系中，点A（，2）向左平移m个单位后恰好落在反比例函数y＝﹣的图象上，则m的值为．30．（2020秋•浦东新区校级期末）反比例函数与在第一象限内的图象如图所示，过x轴上点A作y轴的平行线，与函数，的图象交点依次为P、Q两点．若PQ＝2，则PA＝．31．在y＝（x＞0）中，图象上有两个点P（x1，y1），Q（x2，y2）．如果x1＞x2，y1＜y2，则函数图象在第象限．32．（2021秋•徐汇区期末）若M（﹣1，y1）、两点都在函数的图象上，且y1＜y2，则k的取值范围是．33．（2021秋•徐汇区校级期末）l1是反比例函数y＝在第一象限内的图象，且过点A（2，5），l2与l1关于x轴对称，那么图象l2的函数解析式为．一十六．待定系数法求反比例函数解析式（共3小题）34．（2021秋•松江区期末）已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝3时，y＝4．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x＝﹣2时，求y的值．35．（2021秋•浦东新区期末）已知y＝y1+y2，并且y1与x成正比例，y2与x﹣2成反比例．当x＝3时，y＝7；当x＝1时，y＝1，求：y关于x的函数解析式．36．（2021秋•虹口区校级期末）已知函数y＝y1﹣y2，且y1为x的反比例函数，y2为x的正比例函数，且和x＝1时，y的值都是1．求y关于x的函数关系式．一十七．反比例函数与一次函数的交点问题（共4小题）37．（2021秋•徐汇区期末）如果正比例函数图象与反比例函数图象的一个交点的坐标为（3，﹣4），那么另一个交点的坐标为（）A．（﹣3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，4） D．（﹣4，3）38．（2021秋•虹口区校级期末）正比例函数与反比例函数的一个交点为，当正比例函数的图象在反比例函数图象的上方时，则x的取值范围是．39．（2021秋•虹口区校级期末）若正比例函数y＝（1+k）x与反比例函数的图象没有交点，则k取值范围是．40．（2021秋•普陀区期末）已知：如图，在平面直角坐标系xOy内，反比例函数y＝图象与正比例函数y＝kx（k≠0）图象的公共点A在第一象限，点A到x轴的距离是2．（1）求点A的坐标和正比例函数的解析式；（2）点P在直线OA上，点B为x轴的正半轴上一点，且PO＝PB，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，线段PD交双曲线于点C，如果S△POB＝8，求点C的坐标．一十八．反比例函数的应用（共3小题）41．（2020秋•浦东新区校级期末）已知某种近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数解析式为，如果测得该近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么该近视眼镜的度数为度．42．（2020秋•浦东新区校级期末）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为，自变量x的取值范围为；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为．（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过分钟后，员工才能回到办公室；（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？43．（2021秋•浦东新区校级月考）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．一十九．反比例函数综合题（共4小题）44．（2021秋•松江区期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数y＝x的图象与一个反比例函数图象在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB＝3．（1）求反比例函数的解析式；（2）在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．45．（2021秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系内，双曲线y＝（k≠0）上有A，B两点，且与直线y＝ax（a＞0）交于第一象限内的点A，点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（n，1），过点B作y轴的平行线，交x轴与点C，交直线y＝ax（a＞0）与点D，（1）求：点D的坐标；（2）求：△AOB的面积；（3）在x轴正半轴上是否存在点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出P的坐标．46．（2021秋•虹口区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形．（1）在y轴正半轴取一点E，使得△EOB是一个等腰直角三角形，EB与OA交于M，已知MB＝3，求MO．（2）若等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3BD．反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，求反比例函数解析式．（此题无需写括号理由）47．（2021秋•静安区期末）如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数y1＝的图象上一点，AB⊥x轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数y2＝ax+b的图象经过A、C两点，并将y轴于点D（0，﹣2），若S△AOD＝4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，请指出在y轴的右侧，当y1＞y2时，x的取值范围．专题03正比例函数与反比例函数（19个考点）【知识梳理+解题方法】一．常量与变量（1）变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．（2）方法：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；③不要认为字母就是变量，例如π是常量．二．函数的概念函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．三．函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．四．函数自变量的取值范围自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．五．函数值函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．六．函数的图象函数的图象定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．七．正比例函数的定义（1）正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．（2）正比例函数图象的性质正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．八．反比例函数的定义（1）反比例函数的概念形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．（2）反比例函数的判断判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．九．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．十．反比例函数图象的对称性反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．十一．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．十二．反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．十三．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．十四．待定系数法求反比例函数解析式用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．十五．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．十六．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．十七．反比例函数综合题（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．【专题过关】一．常量与变量（共1小题）1．（2021秋•黄浦区期中）如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为4，则最后输出因变量y的值为20．【分析】将x＝4代入关系式x（x+1），进而解决此题．【解答】解：当x＝4，则x（x+1）＝4×5＝20＞15．∴输出因变量y＝20．故答案为：20．【点评】本题主要考查求因变量的值，熟练掌握自变量对应的因变量的值的求法是解决本题的关键．二．函数的概念（共1小题）2．（2021秋•徐汇区校级期末）下列图象中表示y是x的函数的有几个（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据函数的概念，对应x的每一个值，y都有唯一的值与它对应判断即可．【解答】解：根据函数的概念，可知：图1和图4不能表示y是x的函数，图2和图3能表示y是x的函数，∴上列图象中表示y是x的函数的有2个，故选：B．【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念，对应x的每一个值，y都有唯一的值与它对应是解题的关键．三．函数关系式（共1小题）3．（2019秋•黄浦区校级期中）A、B两地相距50千米，小张骑自行车从A地到B地，车速为13千米/小时，骑了t小时后，小张离B地s千米，那么s关于t的函数解析式是s＝50﹣13t．【分析】直接利用总路程﹣行驶路程＝离B地距离，进而得出关系式．【解答】解：由题意可得：s＝50﹣13t．故答案为：s＝50﹣13t．【点评】此题主要考查了函数关系式，正确理解题意得出等式是解题关键．四．函数自变量的取值范围（共4小题）4．（2021秋•松江区期末）函数y＝的定义域为x≥﹣1且x≠1．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x+1≥0，1﹣x≠0，解得：x≥﹣1且x≠1，故答案为：x≥﹣1且x≠1．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．5．（2021秋•金山区校级期中）函数的定义域是x≠2．【分析】根据分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分母不为0是解题的关键．6．（2021秋•虹口区校级期末）函数的定义域是x≥﹣1．【分析】根据完全平方公式得到x+10﹣6≥0，再根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：x+10﹣6＝x+1﹣6+9＝（﹣3）2≥0，∴当x+1≥0时，函数有意义，即x≥﹣1，故答案为：x≥﹣1．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．7．（2022•长宁区模拟）函数的定义域是x≥﹣3．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．五．函数值（共2小题）8．（2021秋•普陀区期末）已知函数，那么f（2）＝．【分析】把x＝2代入函数表达式进行计算即可．【解答】解：把x＝2代入中得：f（2）＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了函数值，把x＝2代入函数表达式进行计算是解题的关键．9．（2021秋•徐汇区校级期末）已知函数f（x）＝，那么f（﹣2）＝．【分析】把x＝﹣2代入函数关系式进行计算即可．【解答】解：当x＝﹣2时，f（﹣2）＝＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了函数值，把x的值代入函数关系式进行计算是解题的关键．六．函数的图象（共1小题）10．（2021秋•徐汇区校级期末）某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油箱余油量为Q2吨，加油时间为t（分），Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：（1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了30吨油；运输飞机的油箱有余油量40吨油；（2）这些油全部加给运输飞机需10分钟；（3）运输飞机的飞行油耗为每分钟0.1吨油；（4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行11.5小时．【分析】（1）通过观察线段Q1，Q2段图象，不难得到加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，运输飞机的油箱有余油量为40吨油．（2）将这些油全部加给运输飞机中需10分钟．（3）首先根据运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，求出每小时耗油量．（4）根据（3）中的耗油量，可直接得出最多飞行时间．【解答】解：（1）由题意及图象得加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，运输飞机的油箱有余油量为40吨油．故答案为：30；40．（2）将这些油全部加给运输飞机中需10分钟；故答案为：10；（3）∵运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，所以说10分钟内运输飞机耗油量为1吨，∴运输飞机每分钟耗油量为0.1吨；故答案为：0.1；（4）由（3）知运输飞机每小时耗油量为＝6（吨），∴69÷6＝11.5（小时），故答案为：11.5．【点评】本题考查函数图象．解决本题的关键是读懂图象，其中尤其注意运输飞机每小时耗油量这个隐含条件的确定．七．正比例函数的定义（共2小题）11．（2020秋•浦东新区期末）如果函数y＝（m﹣）x是正比例函数，那么m＝﹣．【分析】根据正比例函数的定义得出m﹣0且m2﹣1＝1，再求出即可．【解答】解：∵函数y＝（m﹣）x是正比例函数，∴m﹣0且m2﹣1＝1，解得：m＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数定义的内容是解此题的关键．12．（2021秋•宝山区校级期中）下列问题中，两个变量成正比例的是（）A．圆的面积S与它的半径r B．三角形面积一定时，某一边a和该边上的高h C．正方形的周长C与它的边长a D．周长不变的长方形的长a与宽b【分析】根据正比例函数的定义计算．【解答】解：A、圆的面积＝π×半径2，不是正比例函数，故此选项不符合题意；B、三角形面积S一定时，它的底边a和底边上的高h的关系S＝ah，不是正比例函数，故此选项不符合题意；C、正方形的周长C＝边长×4＝4a，是正比例函数，故此选项符合题意；D、设周长为C，则依题意得C＝2（a+b），则a与b不是正比例关系，故此选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查正比例函数的定义．解题的关键是掌握正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．八．正比例函数的性质（共2小题）13．（2021秋•普陀区期末）函数的定义域是一切实数．【分析】函数在实数范围内有意义，所以函数的定义域是一切实数．【解答】解：∵函数在实数范围内有意义，∴函数的定义域是一切实数．故答案为：一切实数．【点评】本题考查了函数的定义域，属于基础题．14．（2021秋•静安区校级期末）已知正比例函数y＝（m+1）x的图象经过第二、四象限，则m的值为﹣．【分析】由正比例函数的定义可求得m的值，再由图象的位置进行取舍，可求得m的值．【解答】解：∵y＝（m+1）x为正比例函数，∴m2﹣1＝1，解得m＝±，∵图象经过第二、四象限，∴m+1＜0，∴m＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查正比例函数的性质，由正比例函数的性质求得m的值是解题的关键，注意利用图象的位置进行取舍．九．待定系数法求正比例函数解析式（共2小题）15．（2020秋•金山区期中）已知点A（2，﹣1）在正比例函数的图象上，则这个函数的解析式为y＝﹣x．【分析】本题可设这个正比例函数的解析式是y＝kx，因为点A（2，﹣1）在该正比例函数的图象上，所以有﹣1＝2k，从而可求出k的值，进而解决问题．【解答】解：设这个正比例函数的解析式是y＝kx，∵点A（2，﹣1）在该正比例函数的图象上，∴﹣1＝2k，即k＝﹣，∴这个正比例函数的解析式是：y＝﹣x．故答案为：y＝﹣x．【点评】此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．16．（2019秋•嘉定区期中）已知y与x成正比例，且当x＝3时，y＝4．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）当x＝﹣1时，求y的值．【分析】（1）根据正比例函数的定义可设y＝kx，然后把x＝3时，y＝4代入可计算出k，从而可确定y与x之间的函数关系式；（2）把x＝﹣1代入（1）的解析式中解方程得出对应的x值．【解答】解：（1）∵y与x成正比例，∴设y＝kx，∵当x＝3时，y＝4，∴4＝3k，解得k＝，∴y与x之间的函数关系式为y＝x；（2）把x＝﹣1代入y＝x得y＝﹣；【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．一十．反比例函数的定义（共2小题）17．（2021秋•杨浦区期中）已知y与2z成反比例，比例系数为k1，z与x成正比例，比例系数为k2，k1和k2是已知数，且k1•k2≠0，则y关于x成反比例．（填“正”或“反”）【分析】根据反比例函数的定义得出y＝，根据正比例函数的定义得出z＝k2x，求出y＝，再根据反比例函数的定义得出答案即可．【解答】解：∵y与2z成反比例，比例系数为k1，∴y＝，∵z与x成正比例，比例系数为k2，∴z＝k2×x＝k2x，∴y＝＝＝，∵k1和k2是已知数，且k1•k2≠0，∴y关于x成反比例，故答案为：反．【点评】本题考查了正比例函数与反比例函数的定义，能熟记正比例函数与反比例函数的定义是解此题的关键．18．（2020秋•静安区期末）已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成反比例，y2与x成正比例，且当x＝2时，y1＝4，y＝2．（1）求y关于x的函数解析式；（2）求当x＝3时的函数值．【分析】（1）设y1＝，y2＝k2x（k2≠0），把x＝2，y1＝4和x＝2，y＝2分别代入求解即可得到答案；（2）把x＝3代入解析式计算可得答案．【解答】解：（1）设y1＝，y2＝k2x（k2≠0），∴y＝+k2x，把x＝2，y1＝4和x＝2，y＝2分别代入得，解得，∴y关于x的函数解析式为y＝﹣x；（2）当x＝3时，y＝﹣3＝﹣1．【点评】此题考查的是反比例函数的定义、正比例函数的定义，掌握其概念是解决此题关键．一十一．反比例函数的图象（共2小题）19．（2020秋•奉贤区期末）已知正比例函数y＝kx和反比例函数y＝﹣在同一坐标系内的大致图象是（）A．（1）或（3） B．（1）或（4） C．（2）或（3） D．（3）或（4）．【分析】根据反比例函数及正比例函数的图象的性质并结合其系数解答即可．【解答】解：（1）、函数y＝kx中，k＜0，函数y＝﹣中，k＜0；正确；（2）、函数y＝kx中，k＜0，函数y＝﹣，k＞0；错误；（3）、函数y＝kx中，k＞0，函数y＝﹣中，k＜0；错误；（4）、函数y＝kx中，k＞0，函数y＝﹣中，k＞0；正确．故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．20．（2020秋•宝山区校级期末）函数y＝﹣kx与y＝（k＜0）的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】根据正比例函数和反比例函数的性质即可判断．【解答】解：∵k＜0，∴反比例函数y＝的图象位于一、三象限，正比例函数y＝﹣kx的图象过一、三象限；故选：A．【点评】本题考查了反比例函数及正比例函数的图象，二次根式的意义，熟知正比例函数、反比例函数的性质是解题的关键．一十二．反比例函数图象的对称性（共1小题）21．（2021秋•浦东新区校级月考）已知函数y＝2x与的图象的一个交点坐标是（1，2），则它们的图象的另一个交点的坐标是（﹣1，﹣2）．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：∵点（1，2）关于原点对称的点是（﹣1，﹣2），∴所求的点的坐标为（﹣1，﹣2）．故答案是：（﹣1，﹣2）．【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数．一十三．反比例函数的性质（共3小题）22．（2021秋•普陀区期末）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（）A．k＜2 B．k＜﹣2 C．k＞2 D．k＞﹣2【分析】由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出k﹣2＜0，即可得出结果．【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴k﹣2＜0，∴k＜2，故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的图象以及性质；熟练掌握反比例函数的图象和性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．23．（2021秋•徐汇区校级期末）下列函数中，y的值随着x的值增大而减小的是（）A．y＝ B．y＝﹣2x C．y＝﹣ D．y＝2x【分析】根据正比例函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．【解答】解：A、y＝是反比例函数，∵2＞0，故在每一象限内y随x的增大而减小，不符合题意；B、y＝﹣2x是正比例函数，k＝﹣2＜0，故y随着x增大而减小，符合题意；C、y＝是反比例函数，∵﹣2＜0，故在第一象限内y随x的增大而减小，不符合题意；D、y＝2x，正比例函数，k＞0，故y随着x增大而增大，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的性质，正比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，正比例函数的性质是解题的关键．24．（2021秋•松江区期末）反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是k＜3．【分析】由反比例函数所在的象限可得到关于k的不等式，可求得答案．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，∴k﹣3＜0，解得k＜3，故答案是：k＜3．【点评】本题主要考查反比例函数的性质，掌握在y＝（k≠0）中，当k＞0时，图象在第一、三象限，当k＜0时，图象在第二、四象限是解题的关键．一十四．反比例函数系数k的几何意义（共2小题）25．（2021秋•虹口区校级期末）如图，已知双曲线（x＞0）经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2．则k＝（）A．2 B． C．1 D．4【分析】设B点坐标为（a，b），由矩形OABC的边AB的中点为F，则F点的坐标为（a，），根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得到S△OAF＝S△OEC＝|k|＝a•，则ab＝2k，利用S矩形＝S四边形OEBF+S△OAF+S△OEC得到ab＝2+k+k，所以2k＝k+2，再解一次方程即可．【解答】解：设B点坐标为（a，b），∵矩形OABC的边AB的中点为F，∴F点的坐标为（a，），∴S△OAF＝S△OEC＝|k|＝a•，∴ab＝2k，∵S矩形＝S四边形OEBF+S△OAF+S△OEC，∴ab＝2+k+k，∴2k＝k+2，∴k＝2．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．26．（2021秋•浦东新区校级月考）如图，A，C是函数的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，过点C作y轴的垂线，垂足为D，记Rt△AOB的面积为S1，Rt△COD的面积为S2，则S1和S2的大小关系是（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．由A，C两点的位置确定【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．【解答】解：结合题意可得：A、C都在双曲线y＝上，由反比例函数系数k的几何意义有S1＝S2．故选：C．【点评】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．一十五．反比例函数图象上点的坐标特征（共7小题）27．（2021秋•崇明区校级期末）反比例函数y＝的图象在第二、四象限内，则点（m，﹣1）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据反比例函数的性质，结合反比例函数图象所在象限，求出m的取值范围，再由点的坐标特点，确定点所在象限．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在第二、四象限内，∴m＜0，∴点（m，﹣1）的横纵坐标都为负，∴点M在第三象限，故选：C．【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，象限内点的坐标特征，关键是根据反比例函数图象的位置确定m的取值范围．28．（2021秋•浦东新区期末）在反比例函数y＝的图象上有三点A1（x1，y1）、A2（x2，y2）、A3（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中，正确的是（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2【分析】根据反比例函数解析式画出草图，再找出符合条件的点，可以直观的得到答案．【解答】解：如图所示：根据函数图象可得y2＜y1＜y3，故选：C．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，做此类题目，画出图象，描出符合条件的点，可以直观的得到答案．29．（2021秋•杨浦区校级期中）平面直角坐标系中，点A（，2）向左平移m个单位后恰好落在反比例函数y＝﹣的图象上，则m的值为2．【分析】根据点的平移规律可得平移后点的坐标是（﹣m，2），再根据反比例函数图象上点的坐标特点可得（﹣m）×2＝﹣2，再解方程即可得到答案．【解答】解：∵A坐标为（，2），∴将点A沿x轴向左平移m个单位后得到的点的坐标是（﹣m，2），∵恰好落在反比例函数y＝﹣的图象上，∴（﹣m）×2＝﹣2，解得：m＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，以及点的平移规律，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．30．（2020秋•浦东新区校级期末）反比例函数与在第一象限内的图象如图所示，过x轴上点A作y轴的平行线，与函数，的图象交点依次为P、Q两点．若PQ＝2，则PA＝2．【分析】设P（x，y），则Q（x，y+2）．根据反比例函数图象上点的坐标特征，将P（x，y），Q（x，y+2）两点分别代入、，列出关于x、y的方程组，解方程组即可．【解答】解：设P（x，y），则Q（x，y+2）．根据题意，知，解得，；∴PA＝2．故答案是：2．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．本题采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得直观化，降低了题的难度．31．在y＝（x＞0）中，图象上有两个点P（x1，y1），Q（x2，y2）．如果x1＞x2，y1＜y2，则函数图象在第一象限．【分析】根据反比例函数的图象和性质进行判断即可．【解答】解：反比例函数y＝（x＞0）的图象，当k＞0时，图象在第一象限，y随着x的增大而减小，当k＜0时，图象在第四象限，y随着x的增大而增大，而x1＞x2时，y1＜y2，因此图象在第一象限，故答案为：一．【点评】本题考查反比例函数的图形和性质，理解反比例函数的图象和增减性是正确判断的前提．32．（2021秋•徐汇区期末）若M（﹣1，y1）、两点都在函数的图象上，且y1＜y2，则k的取值范围是k＜0．【分析】根据反比例函数的性质判断即可．【解答】解：∵当﹣1＜﹣＜0时，y1＜y2，∴在每个象限y随x的增大而增大，∴k＜0，故答案为：k＜0．【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．33．（2021秋•徐汇区校级期末）l1是反比例函数y＝在第一象限内的图象，且过点A（2，5），l2与l1关于x轴对称，那么图象l2的函数解析式为y＝﹣．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点，得出k＝xy＝2，进而求出图象l2的函数解析式．【解答】解：∵l1是反比例函数y＝在第一象限内的图象，且过点A（2，5），∴k＝2×5＝10，∵l1与l2关于x轴对称，∴两图象形状完全一样，只是所在象限不同，∴xy＝﹣10，∴图象l2的函数解析式为：y＝﹣．故答案为：y＝﹣．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质以及关于x轴对称的性质，利用已知得出xy＝﹣10是解决问题的关键．一十六．待定系数法求反比例函数解析式（共3小题）34．（2021秋•松江区期末）已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝3时，y＝4．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x＝﹣2时，求y的值．【分析】（1）根据正比例函数和反比例函数的定义设y1＝mx，y2＝，则y＝mx+，再把两组对应值代入得到关于m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可．（2）把x＝﹣2代入（1）中求得的解析式即可求得．【解答】解：（1）设y1＝mx，y2＝，则y＝mx+，根据题意得，解得．所以y与x的函数表达式为y＝x+．（2）把x＝﹣2代入得，y＝﹣2+＝﹣．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．35．（2021秋•浦东新区期末）已知y＝y1+y2，并且y1与x成正比例，y2与x﹣2成反比例．当x＝3时，y＝7；当x＝1时，y＝1，求：y关于x的函数解析式．【分析】设所求的函数解析式为y＝k1x+（k1≠0，k2≠0），再将所给的点代入可求得，即可求函数解析式．【解答】解：设所求的函数解析式为y＝k1x+（k1≠0，k2≠0），当x＝3时，y＝7；当x＝1时，y＝1，代入y＝k1x+，∴，解得，∴函数解析式是y＝2x+．【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式，熟练掌握正比例函数和反比例函数的定义，会用待定系数法求函数的解析式是解题的关键．36．（2021秋•虹口区校级期末）已知函数y＝y1﹣y2，且y1为x的反比例函数，y2为x的正比例函数，且和x＝1时，y的值都是1．求y关于x的函数关系式．【分析】首先根据题意，分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式，再进一步表示出y与x的函数关系式；然后根据已知条件，得到方程组，即可求解．【解答】解：∵y1与x成反比例，y2与x成正比例，∴y1＝，y2＝kx．∵y＝y1﹣y2，∴y＝﹣kx，∵当x＝﹣时，y＝1；当x＝1时，y＝1，∴，∴∴y＝﹣2x．【点评】解决本题的关键是得到y与x的函数关系式，需注意两个函数的比例系数是不同的．一十七．反比例函数与一次函数的交点问题（共4小题）37．（2021秋•徐汇区期末）如果正比例函数图象与反比例函数图象的一个交点的坐标为（3，﹣4），那么另一个交点的坐标为（）A．（﹣3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，4） D．（﹣4，3）【分析】正比例函数图象经过原点，反比例函数图象是以原点为对称中心的中心对称图形，故这两个函数图象的两交点是关于原点对称的，再根据点的坐标关于原点对称的性质即可得．【解答】解：由正比例函数图象和反比例函数图象的性质得，图象的两个交点是关于原点对称的，∵正比例函数图象与反比例函数图象的一个交点的坐标为（3，﹣4），∴另一个交点的坐标为（﹣3，4），故选：C．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，熟知正比例函数与反比例函数的中心对称性是解题的关键．38．（2021秋•虹口区校级期末）正比例函数与反比例函数的一个交点为，当正比例函数的图象在反比例函数图象的上方时，则x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2．【分析】待定系数法先求出正比例函数与反比例函数解析式，再根据反比例函数的图象性质正比例函数的图象性质求出自变量x的取值范围．【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的一个交点为，∴正比例函数为y＝﹣x，反比例函数为y＝﹣．∴当正比例函数图象在反比例函数图象上方时，即﹣x＞﹣，解得x＜﹣2或0＜x＜2．故答案为：x＜﹣2或0＜x＜2．【点评】主要考查了反比例函数的图象性质正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．（1）反比例函数y＝的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．（2）正比例函数y＝kx的图象性质：图象是一条直线，一定经过坐标轴的原点．当k＞0时，图象经过一，三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．39．（2021秋•虹口区校级期末）若正比例函数y＝（1+k）x与反比例函数的图象没有交点，则k取值范围是k＞2或k＜﹣1．【分析】根据反比例函数与一次函数图象的特征，得到或，解不等式组即可确定出k的范围．【解答】解：∵正比例函数y＝（1+k）x与反比例函数的图象没有交点，∴正比例函数经过第一、三象限，反比例函数经过第二、四象限或正比例函数经过第二、四象限，反比例函数经过第一、四象限，∴或，解得k＞2或k＜﹣1，故答案为：k＞2或k＜﹣1．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握两函数的性质是解本题的关键．40．（2021秋•普陀区期末）已知：如图，在平面直角坐标系xOy内，反比例函数y＝图象与正比例函数y＝kx（k≠0）图象的公共点A在第一象限，点A到x轴的距离是2．（1）求点A的坐标和正比例函数的解析式；（2）点P在直线OA上，点B为x轴的正半轴上一点，且PO＝PB，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，线段PD交双曲线于点C，如果S△POB＝8，求点C的坐标．【分析】（1）由题意可知A的坐标为2，代入反比例函数解析式求得A的坐标，然后根据待定系数法求得正比例函数解析式；（2）设P的坐标为（m，2m），根据等腰三角形的性质得出OB＝2m，由S△POB＝8，求得m＝2，进而即可求得C（2，1）．【解答】解：（1）∵点A在第一象限，点A到x轴的距离是2，∴点A的纵坐标为2，把y＝2代入y＝得，2＝，解得x＝1，∴A（1，2），代入y＝kx，求得k＝2，∴正比例函数为y＝2x；（2）设P的坐标为（m，2m），∵PO＝PB，PD⊥x轴，垂足为点D，∴OD＝BD，∴OB＝2m，∵S△POB＝8，∴＝8，∴＝8，∴m＝2（负数舍去），∴P的横坐标为2，把x＝2代入y＝得，y＝1，∴C（2，1）．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求正比例函数的解析式，等腰三角形的性质，三角形的面积，求得P的坐标是解题的关键．一十八．反比例函数的应用（共3小题）41．（2020秋•浦东新区校级期末）已知某种近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数解析式为，如果测得该近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么该近视眼镜的度数为400度．【分析】把近视眼镜镜片的焦距为0.25米代入函数解析式就可解决问题．【解答】解：把x＝0.25代入，解得y＝400，所以他的眼睛近视400度．故答案为：400．【点评】本题考查了反比例函数的应用，本题实际上是已知自变量的值求函数值的问题，比较简单．42．（2020秋•浦东新区校级期末）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为y＝x，自变量x的取值范围为0≤x≤8；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为y＝（x＞8）．（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过30分钟后，员工才能回到办公室；（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y＝k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y＝，把点（8，6）代入即可；（2）把y＝1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；（3）把y＝3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，＞等于10就有效．【解答】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）为6＝8k1∴k1＝设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝k2＞0）代入（8，6）为6＝∴k2＝48∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝x（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝（x＞8）（2）结合实际，令y＝中y≤1.6得x≥30即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室．（3）把y＝3代入y＝x，得：x＝4把y＝3代入y＝，得：x＝16∵16﹣4＝12所以这次消毒是有效的．【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．43．（2021秋•浦东新区校级月考）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．【分析】（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，则，即可求解；（2）点A（5，10），则反比例函数表达式为y＝，当x＝55时，y＝＜1，即可求解．【解答】解：（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，则，解得，故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；（2）一间教室的药物喷洒时间为5min，则11个房间需要55min，当x＝5时，y＝2x＝10，故点A（5，10），设反比例函数表达式为：y＝，将点A的坐标代入上式并解得：k＝50，故反比例函数表达式为y＝，当x＝55时，y＝＜1，故一班学生能安全进入教室．【点评】本题主要考查反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．一十九．反比例函数综合题（共4小题）44．（2021秋•松江区期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数y＝x的图象与一个反比例函数图象在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB＝3．（1）求反比例函数的解析式；（2）在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）将y＝3代入y＝x，得x＝，可得A（），再将点A代入反比例函数的解析式为y＝，即可得出答案；（2）根据点A的坐标，可知∠OAB＝30°，过点C作CG⊥