山东省烟台市中英文学校2024-2025学年高二数学上学期12月周测试题

PAGEPAGE17山东省烟台市中英文学校2024-2025学年高二数学上学期12月周测试题一、单选题1．在四面体中，为中点，，若，，，则（）A．B．C． D．2．已知空间向量，，若与垂直，则等于（）A． B． C． D．3．直线x+（1+m）y=2-m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为（）A．1 B． C．1或 D．4．已知圆内一点P（2，1），则过P点的最短弦所在的直线方程是（）A．B．C． D．5．点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折成.在翻折过程中，直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为（）A． B． C． D．7．若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．8．在平面直线坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点P及上随意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:（）①对随意三点A、B、C，都有②已知点P(3,1)和直线则③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；④定点动点满意则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、多选题9．下面四个结论正确的是（）A．向量，若，则．B．若空间四个点，，，，，则，，三点共线．C．已知向量，，若，则为钝角．D．随意向量，，满意．10．如图，一个结晶体的形态为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A． B．C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为11．（多选题）对于，下列说法正确的是（）A．可看作点与点的距离B．可看作点与点的距离C．可看作点与点的距离D．可看作点与点的距离12．直线与曲线恰有一个交点，则实数b可取下列哪些值（）A． B． C．1 D．三、填空题13．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_____．14．如图，已知平面平面，，，，，，，，且，，，则_________________.15．两圆和的公共弦长为________．16．在中，∠B=，，，点为内切圆的圆心，过点作动直线与线段，都相交，将沿动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上，点在直线上的射影为，则的最小值为______．四、解答题17．如图，四边形为正方形，平面，，点，分别为，的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求点到平面的距离．18.如图，在直三棱柱中，点、分别为和的中点.（1）证明：平面；（2）若，，求二面角的余弦值.19．已知平面内两点．（1）求的中垂线方程；（2）求过点且与直线平行的直线的方程；（3）一束光线从点射向（2）中的直线，若反射光线过点，求反射光线所在的直线方程．20．已知圆C：，直线l过定点．（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；（2）若直线l与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程．21．已知，如图四棱锥中，底面为菱形，，，平面，E，M分别是BC，PD中点，点F在棱PC上移动.（1）证明无论点F在PC上如何移动，都有平面平面；（2）当直线AF与平面PCD所成的角最大时，求二面角的余弦值.22．已知，为上三点.（1）求的值；（2）若直线过点(0，2)，求面积的最大值；（3）若为曲线上的动点，且，试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.数学参考答案1．D解：依据题意得，，，，2．A解：由空间向量，，若与垂直，则，即，即，即，即，即，3．A解：∵直线和直线平行,∴,解得或,当时,两直线重合4．B由题意可知,当过圆心且过点时所得弦为直径，当与这条直径垂直时所得弦长最短，圆心为,，则由两点间斜率公式可得，∴与垂直的直线斜率为，则由点斜式可得过点的直线方程为，化简可得，5．A曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．，可以看作点到点的距离的平方，圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，∴直线的方程为，由，解得或（舍去），∴当时，取得最大值，且，∴，∴，∴，当且仅当，且，即时等号成立．6．A分别取DE，DC的中点O，F，则点A的轨迹是以AF为直径的圆，以为轴，过与平面垂直的直线为轴建立坐标系，则，平面ABCD的其中一个法向量为=(0,0.1)，由，设，则，记直线与平面ABCD所成角为，则设，∴直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为，7．A解：作出到直线的距离为1的点的轨迹，得到与直线平行，且到直线的距离等于1的两条直线，圆的圆心为原点，原点到直线的距离为，两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为，又圆上有4个点到直线的距离为1，两条平行线与圆有4个公共点，即它们都与圆相交．由此可得圆的半径，即，实数的取值范围是．8．A解：①对随意三点、、，若它们共线，设，、，，，，如右图，结合三角形的相像可得，，为，，，或，，，则，，，；若，或，对调，可得，，，；若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，由矩形或矩形，，，，；则对随意的三点，，，都有，，，；故①正确；设点是直线上一点，且，可得，，由，解得，即有，当时，取得最小值；由，解得或，即有，的范围是，，，．无最值，综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为．故②正确；③由题意，到原点的“切比雪夫距离”等于的点设为，则，若，则；若，则，故所求轨迹是正方形，则③正确；④定点、，动点满意，，，可得不轴上，在线段间成立，可得，解得，由对称性可得也成立，即有两点满意条件；若在第一象限内，满意，，，即为，为射线，由对称性可得在其次象限、第三象限和第四象限也有一条射线，则点的轨迹与直线为常数）有且仅有2个公共点．故④正确；综上可得，真命题的个数为4个，9．AB由向量垂直的充要条件可得A正确；，即，，，三点共线，故B正确；当时，两个向量共线，夹角为，故C错误；由于向量的数量积运算不满意结合律，故D错误．10．AB以顶点A为端点的三条棱长都相等,它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1,则而，∴A正确.=0,∴B正确.向量,明显为等边三角形，则.∴向量与的夹角是,向量与的夹角是,则C不正确又，则，∴，∴D不正确.11．BCD由题意，可得，可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，故选项A不正确，12．AC解：曲线，整理得，，画出直线与曲线的图象，如图，直线与曲线恰有一个交点，则13．4解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，故，，，设平面的一个法向量为，则，可取，故，又直线与平面所成角的正弦值为，，解得．14．13∵平面平面，，,，∴，∵，∴，15．解：即①圆心为，半径；②①②得，即两圆公共弦方程为，圆心到直线的距离∴公共弦长为16．如图所示：，，∴平面，∴三点共线，以分别为轴建立平面直角坐标系，则，，设直线的方程为，由题意直线与线段都相交，，当时，直线的方程为令，求得，又当时，点坐标为，综上.由点到直线的距离公式课计算得∴即最小值为.17．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.试题解析：（Ⅰ）证明：取点是的中点，连接，，则，且，∵且，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，∴平面．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面，∴点到平面的距离与到平面的距离是相等的，故转化为求点到平面的距离，设为．利用等体积法：，即，，∵，，∴，∴．18．1）详见解析；（2）（1）如图，作线段中点，连接、，∵是线段中点，点为线段的中点，∴，∵是线段中点，点为线段的中点，三棱柱是直三棱柱，∴，∵，直线平面，直线平面，∴平面平面，∵平面，∴平面.（2）如图，以为原点、为轴、为轴、为轴构建空间直角坐标系，则，，，，，，，，设是平面的法向量，则，即，令，则，，设是平面的法向量，则，即，令，则，令二面角为，则，故结合图像易知，二面角的余弦值为.19．（1）；（2）；（3）.（1），，∴的中点坐标为，，∴的中垂线斜率为，∴由点斜式可得，∴的中垂线方程为；（2）由点斜式，∴直线的方程，（3）设关于直线的对称点，∴，解得，∴，，由点斜式可得，整理得∴反射光线所在的直线方程为.20．（1）或（1）①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x＝1，符合题意.②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为，即．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：，解之得.所求直线l1的方程是或.(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,设直线方程为，则圆心到直线l1的距离又∵△CPQ的面积＝∴当d＝时，S取得最大值2.∴＝∴k＝1或k＝7所求直线l1方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0.21．（1）见解析；（2）（1）连接AC.底面ABCD为菱形，，是正三角形，是BC中点，，又，，又平面，平面，，又，平面，又平面，平面平面.（2）由（1）知，AE，AD，AP两两垂直，以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知：，，，，，，，，而且，设平面PCD的法向量，，取，.依据题意，线面角当时，最大，此时F为PC的