2024-2025学年河南省郑州市高二（上）段考数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省郑州市高二（上）段考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知空间两点A(2,1,1)，B(3,2,1)，下列选项中的a与AB共线的是(

)A.a=(1,0,1) B.a=(2,1,1) C.a=(2,−2,0)2.已知空间向量a=(1,0,1)，b=(1,1,n)，且a⋅b=3，则向量a与A.π6 B.π3 C.π3或2π3 3.直线l1的方向向量v1=(1,0,−1)，直线l2的方向向量v2=(−2,0,2)，则直线lA.平行 B.相交 C.垂直 D.不能确定4.已知向量a=(1,1,0)，b=(−A.13 B.12 C.−15.已知向量n=(2,0,1)为平面α的法向量，点A(−1,2,1)在α内，则P(1,2,2)到α的距离为(

)A.55 B.5 C.26.在空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OB上，且OM=3MB，A.−12a+34b−17.在正方体ABCD−A1B1C1D1A.arctan22

B.π6

C.π8.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为ACA.MN//平面ADD1A1

B.MN⊥AB

C.直线MN与平面ABCD所成角为45°

D.异面直线MN二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l1、l2的方向向量分别是AB=(2,4,x)，CD=(2,y,2)，若|AB|=6且lA.−3 B.−1 C.1 D.310.已知空间三点A(−1,0,1)，B(−1,2,2)，C(−3,0,4)，则下列说法正确的是(

)A.AB⋅AC=3 B.AB//AC

C.|11.如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AE=BC=2.AB=AD=1，CF=87，则(

)A.BD⊥EC

B.BF//平面ADE

C.平面EBD与平面ABCD夹角的余弦值为13

D.直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l过定点A(2,3,1)，且n=(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)，到直线l的距离为______．13.已知A(0,1,1)，B(2,−1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB和CD所成角的余弦值为______．14.四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=1，AB=3，G是△ABC的重心，则PG与平面PAD所成角θ的正弦值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(x,1,2)，b=(1,y,−2)，c=(3,1,z)，a/​/b，b⊥c．

(1)求向量a，b，c；

16.(本小题15分)

已知空间三点A(0,2,3)，B(−2,1,6)，C(1,−1,5)．

(1)求AB；

(2)求△ABC的面积．17.(本小题15分)

如图，在三棱锥P−ABC中，AB=AC，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．

(1)求证：AP⊥BC；

(2)若点M是线段AP是一点，且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC．18.(本小题17分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC中点，且PB⊥AM．

(1)求BC；

(2)求二面角A−PM−B的正弦值．19.(本小题17分)

如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=3．

(1)若AD⊥PB，证明：AD/​/平面PBC；

(2)若AD⊥DC，且二面角A−CP−D的正弦值为427

参考答案1.D

2.A

3.A

4.B

5.B

6.A

7.B

8.D

9.AC

10.AC

11.BCD

12.313.514.1015.解：(1)∵向量a=(x,1,2)，b=(1,y,−2)，c=(3,1,z)，

且a/​/b，b⊥c，

∴x1=1y=2−23+y−2z=0，

解得x=−1，y=−1，z=1；

∴向量a=(−1,1,2)，b=(1,−1,−2)，c=(3,1,1)；

(2)∵向量(a+16.解：(1)由于空间三点A(0,2,3)，B(−2,1,6)，C(1,−1,5)，

故：|AB|=(0+2)2+(2−1)2+(3−6)2=14．

(2)由已知条件得：AB=(−2,−1,3)，AC=(1,−3,2)，17.解：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，

如图所示；

则O(0,0,0)，A(0,−3,0)，B(4,2,0)，C(−4,2,0)，P(0,0,4)

(1)AP=(0,3,4)，BC=(−8,0,0)，

∴AP⋅BC=0×(−8)+3×0+4×0=0，

∴AP⊥BC，即AP⊥BC；

(2)∵M为AP上一点，且AM=3，

∴M(0,−65,125)，

∴AM=(0,95,125)，

BM=(−4,−165,125)，

CM=(4,−165,125)；

设平面BMC的法向量为n=(a,b,c)，

则n⋅BM=0n⋅CM=0，18.解：(1)连结BD，

因为PD⊥底面ABCD，且AM⊂平面ABCD，

则AM⊥PD，

又AM⊥PB，PB∩PD=P，PB，PD⊂平面PBD，

所以AM⊥平面PBD，

又BD⊂平面PBD，则AM⊥BD，

所以∠ADB+∠DAM=90°，

又∠DAM+∠MAB=90°，

则有∠ADB=∠MAB，

所以Rt△DAB∽Rt△ABM，

则ADAB=BABM，所以12BC2=1，解得BC=2；

(2)因为DA，DC，DP两两垂直，故以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

则A(2,0,0)，B(2,1,0)，M(22,1,0)，P(0,0,1)，

所以AP=(−2,0,1)，AM=(−22,1,0)，BM=(−22,0,0)，BP=(−2,−1,1)，

设平面AMP的法向量为n=(x,y,z)，

则有n⋅AP=0n⋅AM=0，即−2x+z=0−22x+y=0，19.(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，

又因为AD⊥PB，PA∩PB=P，PA,PB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，

又AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB，

因为AB=3，BC=1，AC=2，AB2+BC2=AC2，所以BC⊥AB，

于是AD/​/BC，又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC．

所以AD/​/平面PBC．

(2)因为AD⊥DC，以D为原点，分别以DA，DC，为x，y轴，