2024-2025学年四川省广元市川师大万达中学高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省广元市川师大万达中学高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知点A(1,−1,2)关于z轴的对称点为B，则|AB|等于(

)A.22 B.26 C.2.从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是(

)A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.63.在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则AF−12A.−EF B.BD C.EF D.4.已知点A(a,−3,5)，B(0,b,2)，C(2,7,−1)，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是(

)A.−2，3 B.−1，2 C.1，3 D.−2，25.已知a=(2,−1,3),b=(−1,4,−2),c=(1,3,λ)，若aA.2 B.1 C.−2 D.−16.在所有棱长均为2的平行六面体ABCD−A1B1C1D1A.23 B.25 C.7.下列命题：

①对立事件一定是互斥事件；

②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)；

③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1；

④若事件A，B满足P(A)+P(B)=1，则A与B是对立事件．

其中正确命题的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.48.在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，BA.(2+5)a B.(3+3)a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法不正确的是(

)A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场

B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈

C.随机试验的频率与概率相等

D.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为10.已知向量a=(m−1,2m,2),b=(2m−5,m,1)，则下列结论正确的是A.若a//b，则m=3 B.若a⊥b，则m=−25

C.|a11.已知四面体ABCD满足AB=CD=1，BC=AD=BD=AC=2，则(

)A.直线AC与BD所成的角为30°

B.直线AB与CD所成的角为90°

C.点M为直线AD上的动点，M到BC距离的最小值为22

D.二面角C−AB−D三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为______．13.在正方体ABCD−A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，若AE=xAD+yAB+zAA′14.在棱长为6的正四面体A−BCD中，点M为平面BCD内的动点，且满足AM=5，则直线AM与直线BC四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，E，F分别为BB1，CC1的中点．

(1)16.(本小题15分)

如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：

(1)80～90这一组的频数、频率分别是多少？

(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数．

(3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．17.(本小题15分)

甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求：

(1)“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率；

(2)“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率；

(3)“星队”在两轮活动至少中猜对118.(本小题17分)

如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，BC=4，∠ABC=60°，△PAB是边长为2的等边三角形，PB⊥AC，E是线段PD的中点．

(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；

(2)若PF=λPC(0<λ<1)，是否存在λ，使得平面BEF和平面PAD夹角的余弦值为35？若存在，求出λ19.(本小题17分)

如图，在三棱台ABC−DEF中，AB=BC=AC=2，AD=DF=FC=1，N为DF的中点，二面角D−AC−B的大小为θ．

(1)求证：AC⊥BN；

(2)若θ=π2，求三棱台ABC−DEF的体积；

(3)若A到平面BCFE的距离为62

参考答案1.A

2.C

3.C

4.D

5.B

6.C

7.A

8.A

9.ABC

10.AC

11.BCD

12.4

13.2

14.[0,15.解：(1)证明：在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，E，F分别为BB1，CC1的中点，

以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则A1(0,0,4)，F(2,2,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，E(2,0,2)，

A1F=(2,2,−2)，DC=(2,0,0)，DE=(0,−2,2)，

设平面CDE的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅DC=2x=0n⋅DE=−2y+2z=0，取y=1，得n=(0,1,1)，

16.解：(1)根据题意，40～50的这一组的频率为0.01×10=0.1，

50～60的这一组的频率为0.015×10=0.15，

60～70的这一组的频率为0.025×10=0.25，

70～80的这一组的频率为0.035×10=0.35，

90～100的这一组的频率为0.005×10=0.05，

则80～90这一组的频率为1−(0.1+0.15+0.25+0.35+0.05)=0.1，

其频数为40×0.1=4．

(2)这次竞赛的平均数为45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95×0.05=68.5，

70～80一组的频率最大，人数最多，则众数为75，

70分左右两侧的频率均为0.5，则中位数为70．

(3)记“取出的2人在同一分数段”为事件E，

因为80～90之间的人数为40×0.1=4，设为a、b、c、d，

90～100之间有40×0.05=2人，设为A、B，

从这6人中选出2人，有(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,A)、(a,B)、(b,c)、(b,d)、(b,A)、(b,B)、(c,d)、(c,A)、(c,B)、(d,A)、(d,B)、(A,B)，共15个基本事件，

其中事件E包括(a,b)、(a,c)、(a,d)、(b,c)、(b,d)、(c,d)、(A,B)，共7个基本事件，

则P(E)=71517.解：(1)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，

甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23．

在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，

“星队”在两轮活动中猜对2个成语包含三种情况：

①甲猜对2个，乙猜对0个，概率为P1=C22(34)2C20(1−23)2=116，

②甲猜对1个，乙猜对1个，概率为P2=C21(34)(14)C21(23)(13)=16，

③甲猜对0个，乙猜对2个，概率为P3=C20(1−34)18.(1)证明：在△ABC中，由余弦定理知，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos∠ABC=4+16−2×2×4×12=12，

所以AC2+AB2=BC2，即AC⊥AB，

因为PB⊥AC，且AB∩PB=B，AB、PB⊂平面PAB，

所以AC⊥平面PAB，

又AC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD．

(2)解：以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，作Az⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,23,0)，D(−2,23,0)，P(1,0,3)，E(−12,3,32)，

所以AP=(1,0,3)，AD=(−2,23,0)，BE=(−52,3,32)，BP=(−1,0,3)，PC=(−1,23,−3)，

所以BF=BP+PF=BP+λPC=(−1,0,3)+λ(−1,23,−19.(1)证明：取AC的中点O，连接ON，OB，

由题意知，四边形ACFD是等腰梯形，△ABC是等边三角形，

所以ON⊥AC，OB⊥AC，

因为ON∩OB=O，ON、OB⊂平面OBN，

所以AC⊥平面OBN，

又BN⊂平面OBN，所以AC⊥BN．

(2)解：由(1)知，ON⊥AC，OB⊥AC，

所以∠BON就是二面角D−AC−B的平面角，即∠BON=θ，

若θ=π2，则∠BON=90°，即OB⊥ON，

因为ON⊥AC，OB∩AC=O，所以ON⊥平面AB