云南省丽江市第一中学2024-2025学年高二数学下学期期中试题理

PAGE第第=page88页，共=sectionpages99页PAGE9云南省丽江市第一中学2024-2025学年高二数学下学期期中试题理一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）已知集合，，则中元素的个数为

A.3 B.2 C.1 D.0复数，则

A.0 B. C.1 D.若曲线在点处的切线方程是，则

A.， B. C. D.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的诞生年份对应了十二种生物鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种．现有十二生肖的祥瑞物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜爱牛和马，乙同学喜爱牛、狗和羊，丙同学哪个祥瑞物都喜爱，假如让三位同学选取礼物都满足，则选法有A.30种 B.50种 C.60种 D.90种已知等差数列中，，，则的值是A.15 B.30 C.31 D.64“”是“直线：与直线：垂直”的A.充分必要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形态是如图所示的扇形环面由扇形OAD挖去扇形OBC后构成已知米，米，线段BA、线段CD、弧、弧的长度之和为30米，圆心角为弧度，则关于x的函数解析式是 B. C. D.8.如图所示，中，，点E是线段AD的中点，则 B. C. D.9.如图，椭圆的中心在坐标原点，F为其左焦点，当时，椭圆的离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”类比“黄金椭圆”可得“黄金双曲线”的离心率为A.B.C.D.10.的内角A，B，C的对边分别为a，b，若的面积为，则角A.B.C.D.11.某四棱锥的三视图如图所示，点E在棱BC上，且，则异面直线PB与DE所成的角的余弦值为

B. C. D.12.已知定义在R上的函数，是其导函数，且满足，，则不等式的解集为

A. B. C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.计算定积分

．14.若x，y满足约束条件的最大值为6，则________．15.以下四个关于圆锥曲线的命题中：

设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；

双曲线与椭圆有相同的焦点；

方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

和定点及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．

其中真命题的序号为______．16.已知三棱锥的体积为2，是等腰直角三角形，其斜边，且三棱锥的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的体积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本题共10分）求以下两小题的解：（1）求绽开式中的第四项；求绽开式中项的系数．

18.（本题共12分）等差数列的前n项和为，且．

求的通项公式；

求满足不等式的n的值．

19.（本题共12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知．

若，，求的面积；

若，求C．20.（本题共12分）如图，在菱形ABCD中，且，E为AD的中点．将沿BE折起使，得到如图所示的四棱锥．Ⅰ求证：平面平面ABC；Ⅱ若P为AC的中点，求二面角的余弦值．

21.（本题共12分）已知椭圆C：的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且的面积为．

求椭圆C的方程；

设直线l与椭圆相交于A，B两点，若点F恰为的重心，求直线l的方程．

22.（本题共12分）已知函数，．

求函数的单调区间；

若，使不等式成立，求a的取值范围．

2024-2025学年下学期期中考试试卷高二年级理科数学答案一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60.0分）题号123456789101112选项BDABACACDDBB二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13.

14.1

15.②③16.

三、计算题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本题共10.0分）解：；（2）的绽开式中，，，，项的系数分别为，，，，

的绽开式中，，，，项的系数依次为，，，，

因此，的绽开式中，项的系数是

．

18.（本题共12分）解：设数列的公差为d，

由，得．

由，得，

解得，，所以；

因为，，所以，

由不等式，得，

所以，解得，因为，所以n的值为2，3，4．

19.（本题共12分）解：中，，，，

，

，，

．

，

即，

化简得，

，

，

，

，

．

20.（本题共12分）

证明：Ⅰ在图中，连接BD．

四边形ABCD为菱形，，是等边三角形．

为AD的中点，，．

又，．

在图中，，．

．

，，．

又，AE，平面ABE．

平面ABE．

平面ABC，平面平面ABC．

解：Ⅱ由Ⅰ，知，．

，BE，平面BCDE．

平面BCDE．

以E为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的

空间直角坐标系Exyz．

则0，，0，，0，，2，，1，．

为AC的中点，1，

，0，

设平面PBD的一个法向量为y，．

由得

令，得

又平面BCD的一个法向量为0，．

设二面角的大小为，由题意知该二面角得平面角为锐角．

则．

二面角的余弦值为．21.（本题共12分）解：依据题意得，解得，，，

所以椭圆C的方程为．

延长EF交直线l于点D，

因为点F为的重心，

所以点D为线段AB的中点，

由点，，得，

设，，

则，

由，

得，

所以，

所以，

所以直线l的方程为，

即．

22.（本题共12分）解：，．

当时，，在R上单调递减；

当时，令得．

由得的单调递增区间为；

由得的单调递减区间为．