北京2026年八年级上学期数学期中试卷附答案

八年级上学期数学期中试卷一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题符合题意的选项只有一个.1．在我校初二年级数学“对称之美”徽章设计实践活动中，以下同学的原创设计作品充满想象力和创造力，请选出其中不是轴对称的图案（）（只考虑图形特征，不考虑颜色）A． B．C． D．2．下列算式中计算正确的是（）A． B．C． D．3．如图，∠C=∠D=90°，BC=BD，则证明△BAC≌△BAD的理由是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．HL4．如图，△ABC≌△DCB，若∠D=75°，∠DBC=40°，则∠ABC的度数是（）A．65° B．70° C．75° D．55°5．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是底边BC上的高，下面结论不一定成立的是（）A．BD=CD B．BD=AD C．AD平分∠BAC D．∠B=∠C6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，线段AB的垂直平分线EF交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则∠DBC的度数是（）A．40° B．20° C．30° D．25°7．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（）A． B．C． D．8．如图，点M是∠AOB平分线上的一点，点P、点Q分别在射线OA、射线OB上，满足OP=2OQ，若△OMP的面积是2，则△OQM的面积是（）A．4 B．3 C．2 D．19．已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB=AC，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙），再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）.原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为（）A．30° B．36° C．45° D．72°10．如图是2×2的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，则正方形网格中与△ABC成轴对称的格点三角形的个数是（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个二、填空题：（本题共18分，每小题3分）11．若x≠0，则.12．如图，BC、DE交于点O，且BC=DE，请添加一个条件，使得△ABE≌△ACD，则可以添加的条件是.13．如图，一个直角三角板的一条直角边经过∠AOB的顶点O，一把直尺经过三角板的直角顶点E并且与这条直角边垂直，直尺与∠AOB的两边分别交于C、D两点，当CE=DE时，∠AOE与∠AOB的数量关系为：；14．如图，是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，，BC的长是10m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是m.15．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E.若，∠BDC=76°，则∠BDE=°.16．如图1，MN是光学性质不同的两个均匀媒质的分界面，当入射光线从第一媒质射到分界面时，形成反射光线和折射关线.反射光线传回第一媒质，折射光线进入第二媒质.入射光线与分界面的法线组成的角叫作入射角，反射光线、折射光线与分界面的法线组成的角分别叫作反射角、折射角.根据光线的反射定律，入射角总是等于反射角.1657年，法国数学家费马提出著名的光行最速原理：当光线行进时入射角等于反射角，光行进的时间最短，由于是在同一媒质中传播，也就是光线行进的“光程”最短.此原理是可以用数学方法证明的：如图2，光线经过点A射向分界面上的点O，反射经过点B，如果沿着入射角等于反射角的路径行进时，可以证明要比其他路径（如沿着路径APB）短.若作点B关于分界面MN的对称点B'，连接OB'，请结合证明过程选出下面结论中正确的，将序号填写在横线上，①点A，O，B'三点共线；②OB=OB'；③PB=PB'；④AP+BP<AO+OB三、解答题：（本题共62分，17题8分，18题——21题，每题5分，22-23题，每题6分，24-25题，每题7分，26题8分）17．计算：（1）（2）18．已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE.求证：△ACD≌△CBE.19．先化简，再求值：其中x=3，y=2.20．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD.求∠BDE的度数.21．小兵遇到一个作图问题：如图，在△ABC中，∠B=3∠C，如何用尺规作图把分成三个等腰三角形.下面是小兵设计的尺规作图过程.作法：①以点A为圆心，AB长为半径作弧，交线段BC于另一点D；②作线段CD的垂直平分线l，直线l交线段AC于点E；③连接AD，DE，则△ABD，△ADE，△CDE即为所求的等腰三角形.根据小兵设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：由作图可知AB=AD，∴∠B=∠.①∵∠B=3∠C，∴∠ADB=3∠C.∵直线l为线段CD的垂直平分线，∴CE=DE（）（填推理的依据）.②∴∠C=∠CDE.∴∠AED=∠C+∠CDE=2∠C∵∴∴∠AED=∠CAD.∴AD=DE（）（填推理的依据）.③∴△ABD，△ADE，△CDE均为等腰三角形.22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（1，6），B（-3，2），C（3，4）（1）在图中作△A'B'C'，使'和△ABC关于x轴对称；（2）写出点C关于y轴的对称点的坐标；（3）点Q是x轴上的一个动点，当△QBC的周长最小时，在图中画出点Q的位置，并写出Q点的坐标为..23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，DA平分∠CDE，且AB＝AE，若CD＝2，BD＝3，求DE的长．24．对于一个正整数n，若存在正整数k，使得n能表示为k和k-2的平方差，那么称这个正整数n为k系平方差数，例如：24=72-52，则24为7系平方差数.（1）直接写出6系平方差数；（2）已知M=（3k﹣2）（3k+2）﹣3k（3k﹣1）+5为k系平方差数，求M的值；（3）已知a，b为正整数，a>b，且为k系平方差数，①直接写出a与b之间的数量关系；②若a+b+8是k系平方差数，请写出2025a-2023b是系平方差数（用含k的代数式来表示）.25．如图，△ABC为等边三角形，在△ABC的外侧作射线AP，点B关于射线AP的对称点为点D，连接AD，CD交直线AP于点E.（1）依题意补全图形；（2）当α=20°，∠ADC=°；（3）当0°<α<60°时，用等式表示AE，BE，CD之间的数量关系，并证明；（4）若△DBC为等腰三角形，直接写出α的度数.26．在平面直角坐标系中，S是给定的n（n≥3）边形我们称如下的变换为一次“S-轴反射变换”：将平面内一点X沿直线进行翻折得到点X1；将点X1沿直线翻折得到点将点沿直线翻折最终得到点Xₙ.并记点为点X在“S-轴反射变换”下的像点.请回答下列问题：（1）如图1，若S是给定的等腰直角三角形.顶点坐标为则点M（1，0）在此“S-轴反射变换”下的像点i的坐标为；（2）如图2，若S是给定的四边形顶点坐标为2），A4（2，2），点B在此“S-轴反射变换”下的像点Bₙ的坐标是（9，7），则点B的坐标为；四边形内一点P（a，b）的像点P4的坐标是（用含a，b的代数式表示）；（3）如图3，若S是给定的平面内一个等边三角形A1A2A3，点P是此三角形内（不含边界）一点，对点P进行一次“S-轴反射变换”得到点P3，是否存在点P使得P3和P重合?如果存在，请在图中给出点P的具体位置；如果不存在，请说明理由.

答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】D4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】D9．【答案】D10．【答案】B11．【答案】112．【答案】∠B=∠E或∠ACB=∠ADE或∠BCE=∠EDB或AB=AE13．【答案】​​​​​​​14．【答案】515．【答案】4016．【答案】①②③17．【答案】（1）解：原式（2）解：原式18．【答案】证明：∵点C为AB中点，

∴

∵，

∴.

在和中

∴19．【答案】解：原式=(x2+4xy+4y2)+(x2−y2)−y2

当x=3，y=2时，原式=5020．【答案】证明：∵BD是中线，是等边三角形，∴，，又∵CE=CD，∴，又∵，∴，∴，∴.21．【答案】（1）解：如图所示。（2）ADB；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；等角对等边22．【答案】（1）解：如图所示，∠A'B'C'即为所求.（2）(-3，4)（3）解：如图所示：连接BC'交x轴于点Q，此时△QBC的周长最小；(-1，0)23．【答案】解：如图，过点A作AH⊥DE于H，∵CD＝2，BD＝3，∴BC＝5，∵DA平分∠CDE，∠ACD＝90°，AH⊥ED，∴∠ADC＝∠ADH，∠C＝∠AHD＝∠AHE＝90°，在△ADC和△ADH中，，∴△ADC≌△ADH（AAS），∴AC＝AH，CD＝DH＝2，在Rt△ABC和Rt△AEH中，，∴Rt△ABC≌Rt△AEH（HL），∴BC＝EH＝5，∴DE＝DH+HE＝7．24．【答案】（1）20（2）解：依题意可：知，整理得：-4+3k+5=4k-4，解得：k=5，；（3）a-b=4；k+202225．【答案】（1）解：过点B作AP的垂线，交AP于点O，截取OD=OB，则点D是点B关于射线AP的对称点，连接AD、CD，则CD交直线AP于点E，如图所示：（2）40（3）解：CD=AE+2BE，证明如下：在CD上截取BG=BE，如图：∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB，∠BAC=60°，由对称可知：BE=DE，AB=AD，∠PAB=∠PAD，∴AC=AD，∴∠ACD=∠D，∵∠BAP=α，∴∠PAD=α，∴∠CAD=∠BAC+∠PAB+∠PAD=60°+2α，∵∠AEC=∠D+∠DAP=60°-α+α=60°，∴∠BCG=60°-∠ACD，∠DAE=60°-∠D，∵∠ACD=∠D，∴∠BCG=∠DAE，由对称可知：∠PEB=∠PED，DE=BE，∵∠PED=∠AEC=60°，∴∠PEB=∠PED=60°，∴∠BEG=180°-60°-60°=60°，∵BG=BE，∴△BGE是等边三角形，∴∠BGE=60°，BG=EG=BE=DE，∴∠BGC=120°，∵∠AED=180°-∠AEC=120