北师大版数学八年级下册因式分解教案

第四章因式分解

4.1分解因式

备课时间：2015年11月授课时间：2015年11月

教学目的：

学问与技能：经验探究因式分解方法的过程，体会数学学问之间的整体联络

（整式乘法与因式分解）。

过程与方法：理解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。

情感看法与价值观：感受整式乘法在解决问题中的作用。

教学重难点：

探究因式分解方法的过程，理解因式分解的意义。

教学过程：

创设情景，导出问题：

首先教师进展章首导图教学，指出本章将要学习和探究的对象.教师进展情

景的多媒体演示。

章首图力图通过一幅形象的图画一一对开的两量列车和有比照性的两个式

子，向大家呈现了本章要学习的主要内容，并浸透本章的重要思想方法一一类

比思想，让学生体会因式分解与整式乘法之间的互逆关系。

993-99能被100整除吗？你能把a'-a化成几个整式的乘积的形式吗？

探究沟通，概括概念：

想一想：993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴沟通。

小明是这样做的:

lQ993-99

=99x993-99x1

=99(992-1)

=99X9800

=98X99X100

______所以，9933能被i口口整除。,

(1)小明在推断99忆99能否被100整除时是怎么做的？

(2)99^99还能被哪些正整数整除。

答案：(1)小明将99~99通过分解因数的方法，说明99'99是100的倍数，故

993-99能被100整除。

(2)还能被98,99,49,11等正整数整除。

归纳：在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数积的乘积。

议一议：如今你能尝试把才f化成几个整式的乘积的形式吗？

激励学生类比数的分解将产力分解。

做一做：计算下列各式：

(1)(研4)(力⑷=;

(2)(y-3)二；

⑶3x(尸1)=；

(4)m(a+b+c)=.

根据上面的算式填空：

(1)3%-3q()()

(2)ni2-16=()()

(3)ma+mb+mc=()()

(4)/6y]9=()()

通过以上两组练习的演练，你认为这两组练习之间有什么关系？

第一组是把多项式乘以多项式绽开整理之后的结果，第二组是把多项式写

成了几个固式的积的形式，它们这间恰好是一个互逆的关系。

议一议：由〃心-刀得到齐a的变形是什么运算？由心a得到

司小六刀③-〃的变形与这种运算有什么不同？你还能在举一些类似的例子加以

说明吗？

概括：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项

式分解因式。

教师指出因式分解的要求：

(1)分解的结果要以积的形式表示；

(2)每个因式必需是整式，且每个因式的次数都必需低于原来多项式的次

数；

(3)必需分解到每个多项式因式不能再分解为止。

课堂练习：

(1)下列各式中由等号的左边到右边的变形，是因式分解的是()

A.(户3)(『3)=V一9B.*+『5=(k2)(户3)+1

x2+1=|

C.Mb+aK=ab(a+b)D.I

(2)证明：一个三位数的百位数字与个位数字交换位置，则新数与原数之差能

被99整除。

（3）如图3-1①所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长了6的小正方形（a

>b）9把余下的局部剪拼成一个矩形（如图②所示），通过教化处两个图形（阴

影局部）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）

A.Qa+2b)(d一，)=才+ab-2tfB.(a+b)

C.(a-Z?)?=/-2ab+BD.d-6=(a+b)(a-b)

图①图②

课堂小结：想一想：分解因式与整式乘法有什么关系?

课外作业：资源与评价

板书设计：

因式分解

定义：

因式分解与整式乘法的关系:

教学后记：学生承受很好，在做些变式练习。

4.2提公因式法

备课时间：2015年11月授课时间：2015年11月

教学目的：

学问与技能：

经验探究多项式因式分解方法的过程，并在详细问题中，能确定多项式各

项的公因式。

过程与方法：会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限

于正整数的状况）。

情感看法与价值观：进一步理解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并浸

透化归的思想方法。

教学重难点：

教学重点用提公因式法把多项式分解因式

教学难点探究多项式因式分解方法的过程

教学过程：

第一课时

创设情景，导出问题：

张教师打算给航天建模竞赛中获奖的同学颁发奖品。他来到文具商店，经

过选择确定买单价16元的钢笔10支，5元一本的笔记本10本，4元一瓶的墨

水10瓶，由于购置物品较多，商品售货员确定以9折出售，问共需多少钱。

关于这一问题给出了各自的做法。

方法一：16X10X90%+5X10X90%+4X10X90%=144+45+36=225（元）

方法二：16X10X90%+5X10X90%+4X10X90%=10X90%（16+5+4）=225（元）

请问：两种计算的方法哪一位更好？为什么？

答案：第二位同学(第二种方法)更好，因为第二种方法将因数10X90%放在括

号外，只进展过一次计算，很明显减小计算量。

2、探究沟通，概括概念

(1)多项式ab+bc各项都含有一样的因式吗？多项式3f+x呢？多项式

HJIJ切6-。呢？

(2)将上面的多项式分别写成几个因式的乘积，说明你的理由，并与同位沟

通。

探讨概括：

(1)多项式公历c各项都含有一样的因式儿我们把多项式各项都含有的一

样因式，叫做这个多项式的公因式。如b就是多项式ab^bc的公因式。同样，

多项式3f+x各项都含有一样的公因式x,多项他2各项都含有一样的公因

式bo

(2)这里意在让学生根据因式分解的意义尝试进展分解。

假如一个多项式的各项含有公因式，则就可以把这个公因式提出来，从而

将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。

稳固应用，拓展探讨：

例1将下列各式分解因式：

(1)3x+6；

(2)7x-2\x；

(3)8a3b2-12ab3c+abc；

(4)-24X3-12X2+28X

想一想：提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？

练习稳固，促进迁移:

（1）写出下列多项式的公因式：

①ma-f-mb②4kx-8ky③5^+20/④才b-2akf+ab

（2）把下列各式分解因式：

①3/-6灯+*②-媪+16nf-26m

（3）利用分解因式计算：

①33X0.48+85X0.48-18X0.48

②7.18X2.25+28.5XX2.25

课堂小结：这节课我们学了写什么？

课外作业：资源与评价

板书设计：

提公因式

定义：

方法：例题

教学后记：当第一项是负数时，留意变更符号。

第二课时

备课时间：2015年11月授课时间：2015年11月

一、课前热身，复习回忆：

想一想：什么是公因式？怎样提取公因式？

做一做：

1、下列用提取公因式法分解因式正确的是()

A、a3+2a2+a=a(a2+2a)B、-x2y+4x2y2-7xy=~xy(x-4xy+7)

C6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x+6)D、a(a-b)2+ab(a-b)=(a+ab)(a-b)

2、(-3)2005+(-3)须,等于

3、把下列各式分解因式：

32

①a(%-<?)+2b(%-<?)；②5(%-y)+10(y-x)O

③3x-6xy^x④-4m+16nf-26m

⑤4q(1-p)3+2(0-_/)2

⑥3/zz(x丁)-n(y-x)

⑦m(5ax+wy-/)-m(3ax-ay-D

4计算：

①已知a+b=13,ab=40,求的值；

②1998+1998T99J

5、比拟2002X20032003与2003X20022002的大小。

小结：

想一想：这节课我们学了写什么？

课外作业：资源与评价

后记：理解因式分解的运用很广泛，会对详细问题详细分析。

4.3运用公式法(平方差公式)

备课时间：2015年11月授课时间：2015年11月

教学目的：

学问与技能：

1、理解平方差公式的本质：即构造的不变性，字母的可变性；

2、会用平方差公式进展因式分解；

3、使学生理解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公

式分解。

过程与方法：

经验探究利用平方差公式进展因式分解的过程，开展学生的逆向思维，浸

透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学学问的完好性.

情感看法与价值观：

在探究的过程中培育学生独立思索的习惯，在沟通的过程中学会向别人清

晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深入感受到“数学是

有用的

教学重难点：用公式法(干脆用公式不出两次)分解因式(指数是正整数)

教学过程：

复习回忆：

填空：(1)(x巧)(x-5)=；

(2)(3x-y)-；

(3)(3研2刀)(3/Z7-2/7)=.

它们的结果有什么共同特征？

尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：

X2-25=;

9x2-y2=；

9m'-4n2=.

探究新知：

将多项式a?—b?进展因式分解：

(a+b)(a-b)=a2—b2

整式乘法

Aa2—b2=(a+b)(a-b)

因式分解

结论：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称

为运用公式法。

22

说一说：找特征a-b=(a+b)(a-b)

(1)公式左边：(是一个将要被分解因式的多项式)

被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成1)2—()2的形

式。

(2)公式右边：(是分解因式的结果)

分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。

试一试，写一写：下列多项式能转化成()2—()2的形式吗？假如能，

请将其转化成()2—()2的形式。

(1)M-81(2)176b,(3)4m2+9(4)a2x2-25y2(5)-x2-25y2

例1：把下列各式因式分解：

(1)25-16y(2)9才--b2

4

练习：1、推断正误：

(1)y+/=kx+y)(x-y))

(2)/-/=(x+y)(x-y)()

(3)-/+/=-(A+y)(x-y)()

(4)-x-y=-Qx+y)(x-y)()

2、把下列各式因式分解：

(l)-9+4x2

(2)X2/-1Z2

4

(3)0.25/一⑵p2

(4)p4-l

例2、把下列各式因式分解：

(1)白一(2加一九)2

(2)9(m+n)2-(m-n)2

(3)4——9孙2

留意事项：在讲解运用整体法进展分解因式时，需留意强调括号前的系数变更

和去括号后的符号变更，这往往是大多数学生简单出现的错误状况。

稳固练习:

例3、如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为力的正方

形。用a与6表示剩余局部的面积，并求当齐3.6,尻0.8时的面积。

如图，大小两圆的圆心一样，已知它们的半径分别是Rem和rem,求它们所围

成的环形的面积。假如R=8.45cm,r=3.45cm呢？

小结:

（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；

（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系;

(3)平方差公式中的a与6既可以是单项式，又可以是多项式;

课后作业：资源与评价

板书设计：

平方差公式

公式例题

练习

教学后记：

探究分解因式的方法事实上是对整式乘法的再相识，而本节正是对平方差

公式的再相识，多做练习。

因式分解（完全平方公式）

备课时间：2015年11月授课时间：2015年11月

教学目的：

学问与技能：使学生理解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（干脆

用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清晰地知道提公因式法

是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进展分解

因式。

过程与方法：经验通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解

因式的方法的过程，开展学生的逆向思维和推理实力。

情感看法与价值观：培育学生敏捷的运用学问的实力和主动思索的良好行

为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。

教学重难点：公式的理解和运用。

教学过程：

复习提问：

回忆完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法。

（a±b）2=a2±2ab+b2

两个数和或差的平方等于这两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2

倍。

把这两个公式反过来就是因式分解的公式了。即：

a2±2ab+b2-（a±b）2

两个数的平方和，加上或减去这两个数的积的两倍，等于这两个数和或者差

的平方。

落实根底：

1、判别下列各式是不是完全平方式。

(1)/+优

(2)x2+2xy+y2^

⑶x2-2xy+y2；

(4)x2+2xy-y2；

(5)-x2+2xy-y2.

2、请补上一项，使下列多项式成为完全平方式.

(1)x2++优

(2)4/+9Z/+；

(3)x2-+4y2；

(4)/++；人

(5)x4+2x2y+.

结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中

央；

完全平方式可以进展因式分解,

a-2ab^lj-(a-Z?)2M+2ab^6=(a+b)2

例1、把下列各式因式分解:

(l)x2+14x+49(2)4/-12"+9必

⑶("z+n)2-6(m+〃)+9(4Xw—2n)2—2(2n—m)(m+n)+(m+ri)2

例2.把下列各式因式分解:

(l)3ox2+6axy+3ay2(2)-x2-4y2+4xy

留意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时;一般按以下两步完成:

(1)有公因式，先提公因式；(2)再用公式法进展因式分解。

随堂练习

1、判别下列各式是不是完全平方式，若是说出相应的a、b各表示什么？

(1)x2-6x4-9；

⑵1+4万；

(3)x2—2x+4：

(4)4X2+4X-1；

(511+--w；

4

(6)4y2-12孙+9d.

2、把下列各式因式分解：

(1)后-12勿加364(2)163+24,。2+9//

(3)-2xy-x-y(4)4-12Cx-y)+9(x-y)2

3、用简便方法计算：20052-401Ox20034-20032

4、将4/+1再加上一个整式，使它成为完全平方式，你有几种方法？

5、一天,小明在纸上写了一个算式为4x2+8X+11,并对小刚说：“无论x取何值,

这个代数式的值都是正值，你不信试一试”

自主小结：

由分解因式与整式乘法的关系可以看出，假如把吴法公式反过来，则就

可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.

课后作业：完成课后习题

板书设计：

完全平方公式

公式：例题：

练习

教学后记：

本节课学习了运用公式法分解因式的第二种方法，详细应用时要特殊关注

第二项的符号。

十字相乘法分解因式

备课时间：2015年11月授课时间：2015年11月

教学目的：

学问与技能：

进一步理解因式分解的定义；

过程与方法：

会用十字相乘法进展二次三项式(/+px+q)的因式分解；

情感看法与价值观：

通过学生的不断尝试，培育学生的耐性和信念，同时在尝试中进步学生

的视察实力。

教学的重点、难点

重点：能娴熟应用十字相乘法进展二次三项式(d+px+q)的因式分解。

难点：在/+px+g分解因式时，精确地找出a、b,使ab=p,a+b=qo

教学过程：

创设情境，导入新课：

1、什么叫分解因式？分解因式的方法有那些？

2、你知道X?+5X+6怎样分解因式吗？

探究新课：

我们知道(x+2)(x+3)=f+5x4-6,反过来，就得到二次三项式f+5x+6的因

式分解形式，即£+5%+6=(%+2)(工+3),其中常数项6分解成2,3两个因数的积,

而且这两个因数的和等于一次项的系数5,即6=2X3,且2+3=5。

一般地，由多项式乘法，(x+a)(x+Z?)=x2+(a+b)x+",反过来，就得到

X2+(Q+b)X+"=(X+Q)(X+b)

这就是说，对于一次三项式/+内+,，假如可以把常数项g分解成两个因数a、

b的积，并且a+b等于一次项的系数p,则它就可以分解因式，即

x2px+q=x2+(a+Z?)x+"=(x+〃)(x+Z?)。可以用穿插线来表小:

十字相乘法的定义：利用十字穿插来分解系数，把二次三项式分解因式的方法

叫做十字相乘法。

例题讲解：

例1、把1+3x+2分解因式。

分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而2=1

X2=(-1)(-2),要使它们的代数和等于3,只需取1,2即可。

例2、把7x+6分解因式。

例3、把f—4.21分解因式。

例4、把f+2x75分解因式。(后三个例题激励学生独立完成。)

总结升华：怎样对f+px+g分解因式？

假如常数项q是正数，则把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项

系数P的符号一样。

假如常数项q是负数，则把它分解成两个异号因数，其中肯定值较大的因

数与一次项系数p的符号一样c

对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数Po

拓展练习：

例5把下列各式分解因式：

(1)x4+6x2+8(2)-4(。+8)+3(3)x2-3xy+2y2

当堂检测:

1、因式分解：

(1)x~-x—6(2)+5x+6(3)+x—6(4)x~+3x—4(5)—3x—4

2^(1)若多项式I?-8x+/w可分解为(1-2)(工-6),则小的值为o

(2)若多项式V一攵x—12可分解为(x-2)(x+6),贝也的值为o

选作：若多项式多-2%+祖可分解为(x+3)(x-〃),求“、〃的值。

总结：驾驭常数项在分解时，与一次项系数的关系。

板书设计：

十字相乘分解因式

例题：练习

后记：这局部虽然是后补的内容，但在二次函数是应用很广，好学生必需驾驭。

还需在多练习。

十字相乘法分解因式(2)

备课时间：2015年11月授课时间：2015年11月

一、教学目的：

学问与技能：进一步理解因式分解的定义；

过程与方法：会用十字相乘法进展二次三项式，依法+c的因式分解；

情感看法与价值观：通过学生的不断尝试，培育学生的耐性和信念，同时在

尝试中进步学生的视察实力。

二、教学的重点、难点：

教学重点、难点：能娴熟应用十字相乘法进展二次三项式奴2的因式分

解。

三、导学过程：

(一)创设情境，导入新课：

1、分解因式

(1)x2-x-6(2)x2+5x+6(3)x2+x-6(4)x2+3x-4(5)x2-3x-4

2、分解因式3X2+11X+1()

(二)自主学习：

(r+2)(3.r+5)=3x2+ll.r+10n

反过来就得到：3父+1以+10=(工+2)(3l+5)。

想一想3f+1k+10怎样因式分解的，有什么规律？

总结规律：二次项的系数3分解成1,3两个因数的积；常数项10分解成2,5两

个因数的积；当我们把1,3,2,5写成

1X2

35

后发觉1X5+2X3正好等于一次项的系数11。

(三)合作探究:

由上面例子启发我们，应当如何把二次三项式公2+区+。进展因式分解？

我们知道，

2

=a1a2x+a,c2x+a2c{x+qc2

2

=ata2x+(4Q+％+cxc2

反过来，就得到

2

aia2x+(qq+a2c})x+qc2

=(平+。［)(°2%+。2)

(四)点拨升华：

二次项的系数。分解成的2,常数项c分解成平2,并且把％，%，q,Q排列如下:

这生按斜线穿插相乘，再相加，就得到可。2+40,假如它们正好等于办2+法+C的

一次项系数。，贝!)0^+法+c就可以分解成(qx+q)(%x+G)，其中4,q位于上图

的上一行，%,位于下一行。

必需留意，分解因数及十字相乘都有多种可能状况，所以往往要经过屡次

尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。

四、当堂检测：

把下列各式分解因式：

(1)2x2+15x4-7(2)3〃2-84+4(3)5x2+7x-6(4)6/-lly-10

选做：

(5)5a2b2+23ab-\0(6)3a2b2-Uabxy+\Ox2y2(7)x2-7xy+12y2

(8)x4+7x2-18(9)4m2+8m〃+3〃2(10)5x5-15X3J-20A^2

板书设计：

十字相乘法分解因式

例题：练习

后记：局部同学驾驭很好。

回忆与思索

备课时间：2015年11月授课时间：2015年11月

•教学目的

（一）教学学问点：

1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，

使学生进一步理解有关概念，能敏捷运用上述方法分解因式。

2.熟识本章的学问构造图：。

（二）实力训练要求

通过学问构造图的教学,培育学生归纳总结实力,在例题的教学过程中培育

学生分析问题和解决问题的实力.

（三）情感与价值观要求

通过因式分解综合练习，进步学生视察、分析实力；通过应用因式分解方法

进展简便运算，培育学生运用数学学问解决实际问题的意识.

・教学重点

复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式.

・教学难点

利用分解因式进展计算及探讨.

・教学方法

引导学生自觉进展归纳总结.

・教学过程

创设问题情境,引入新课

前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式，运用公式法分解因

式的方法,并做了一些练习.今日，我们来综合总结一下.

新课讲解

（一）探讨推导本章学问构造图：

请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些

（1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念.

（2）分解因式与整式乘法的关系.

（3）分解因式的方法.

请大家相互探讨,能否把本章的学问构造图绘出来呢

（二）重点学问讲解

下面请大家把重点学问回忆一下.

1、举例说明什么是分解因式.

如15/y+5xy—20/y=5xy（3盯+1—44）

把多项式154/+5打一20x»分解成为因式5*y与3孙+1—47的乘积的形

式,就是把多项式15f/+5*7—20*/分解因式.

学习因式分解的概念应留意以下几点：

（1）因式分解是一种恒等变形，即变形前后的两式恒等.

（2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止.

2、分解因式与整式乘法有什么关系

分解因