2024高考数学二轮专题复习测试专题强化练十四含解析

PAGE专题强化练(十四)1．(2024·东北三省四市教研联合体模拟)点P(1，t)(t>0)是抛物线C：y2＝4x上一点，F为C的焦点．(1)若直线OP与抛物线的准线l交于点Q，求△QFP的面积；(2)过点P作两条倾斜角互补的直线分别与C交于M，N两点，证明：直线MN的斜率是定值．＝－1，所以Q(－1，－2)所以S△QFP＝eq\f(1,2)|OF||yP－yQ|＝2.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题可知，kMP＋kNP＝0，＝0，所以y1＋y2＝－4，所以kMN＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝－1为定值．2．(2024·太原模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，一个顶点为M(0，1)，直线l交椭圆于A，B两点，且MA⊥MB.(1)求椭圆C的方程；(2)证明：直线l过定点．(1)解：由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(e2＝\f(c2,a2)＝\f(a2－b2,a2)＝\f(3,4)，,b＝1，))解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)证明：依题意，直线l斜率存在，设方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，得x1＋x2＝eq\f(－8km,1＋4k2)，＋x2)＋m2，因为MA⊥MB，所以eq\o(MA,\s\up14(→))·eq\o(MB,\s\up14(→))＝0，即x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝0，代入整理得eq\f(4m2－4,1＋4k2)＋eq\f(m2－4k2,1＋4k2)－eq\f(2m,1＋4k2)＋1＝0，即5m2－2m－3＝0，解得m＝－eq\f(3,5)，m＝1(舍)，所以直线l过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(3,5))).3．(2024·宝鸡模拟)已知定点S(－2，0)，T(2，0)，动点P为平面上一个动点，且直线SP，TP的斜率之积为－eq\f(3,4).(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)设点B为轨迹E与y轴正半轴的交点，是否存在斜率为eq\f(\r(3),3)的直线l，使得l交轨迹E于M，N两点，且Q(eq\r(3)，0)恰是△BMN的重心？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设P(x，y)，由已知有eq\f(y,x＋2)·eq\f(y,x－2)＝－eq\f(3,4)，整理得动点P的轨迹E的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠±2)．(2)由(1)知，E的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠±2)，所以B(0，eq\r(3))，设存在直线l符合题意，并设l的方程为y＝eq\f(\r(3),3)x＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得13x2＋8eq\r(3)mx＋12(m2－3)＝0，由Δ＝(8eq\r(3)m)2－4×13×12(m2－3)>0，得－eq\f(\r(39),3)<m<eq\f(\r(39),3)，x1＋x2＝－eq\f(8\r(3)m,13).＝3eq\r(3)，解得m＝－eq\f(39,8).当m＝－eq\f(39,8)时，不满意－eq\f(\r(39),3)<m<eq\f(\r(39),3)，所以不存在直线l，使得Q是△BMN的重心．4．(2024·济宁6月模拟)已知点F为椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1的右焦点，点A为椭圆的右顶点．(1)求过点F、A且和直线x＝9相切的圆C的方程；(2)过点F任作一条不与x轴重合的直线l，直线l与椭圆交于P，Q两点，直线PA，QA分别与直线x＝9相交于点M，N.试证明：以线段MN为直径的圆恒过点F.(1)解：由已知得：a＝3，b＝2eq\r(2)，c＝1，所以A(3，0)，F(1，0)，所以圆C的圆心肯定在线段AF中垂线x＝eq\f(1＋3,2)＝2上，由圆C与直线x＝9相切，得：圆C的半径r＝9－2＝7，设圆C的圆心坐标为C(2，m)，则有：r＝|AC|＝eq\r(（3－2）2＋（0－m）2)＝7，m＝±4eq\r(3)，即圆心C(2，±4eq\r(3))，所以圆C的方程为：(x－2)2＋(y±4eq\r(3))2＝49.(2)证明：当直线l斜率不存在时，其方程为x＝1，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,\f(x2,9)＋\f(y2,8)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝±\f(8,3)，))又因为A(3，0)．所以直线PM、QA为y＝±eq\f(4,3)(x－3)．可求得M，N两点坐标分别为M(9，8)，N(9，－8)或M(9，－8)，N(9，8)，又F(1，0)，所以FM，FN的斜率之积为：kFM·kFN＝eq\f(8－0,9－1)·eq\f(－8－0,9－1)＝－1，所以FM⊥FN.当直线l斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)＋9k2－72＝0所以x1＋x2＝eq\f(18k2,8＋9k2)，x1x2＝eq\f(9k2－72,8＋9k2)，y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，又设M(9，yM)，N(9，yN)由P，A，M共线得：eq\f(y1－0,x1－3)＝eq\f(yM－0,9－3)，yM＝eq\f(6y1,x1－3)，由Q，A，N共线得：eq\f(y2－0,x2－3)＝eq\f(yN－0,9－3)，yN＝eq\f(6y2,x2－3)，所以FM，FN的斜率之积为：kFM·kFN＝eq\f(yM－0,9－1)·eq\f(yN－0,9－1)＝eq\f(yMyN,64)＝eq\f(9y1y2,16（x1－3）（x2－3）)＝eq\f(9k2[x1x2－（x1＋x2）＋1],16[x1x2－3（x1＋x2）＋9])＝eq\f(9k2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9k2－72,8＋9k2)－\f(18k