第04讲 7.2.2 复数的乘、除运算 （原卷版）

第04讲7.2.2复数的乘、除运算课程标准学习目标①掌握复数代数形式的乘法和除法运算。②理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律。1.在熟悉课本能容的基础上，掌握复数代数形式的乘法和除法运算；2.在学习中逐步加强理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律；知识点01：复数代数形式的乘法运算（1）复数的乘法法则我们规定，复数乘法法则如下：设,是任意两个复数，那么它们的乘积为，即（2）复数乘法满足的运算律复数乘法的交换律、结合律、分配律(交换律)(结合律)(分配律)【即学即练1】（2023上·贵州六盘水·高二统考阶段练习）的虚部为．【答案】5【详解】由题意得，所以的虚部为5．故答案为：5知识点02：复数代数形式的乘方（1）复数的乘方复数的乘方就是相同复数的乘积（2）复数乘方的运算律根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的，，有：①②③知识点03：共轭复数的性质设，（）①；②为实数；③且为纯虚数④；⑤，，【即学即练2】（2024·全国·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为，则，所以，所以．故B正确.故选:B．知识点04：复数代数形式的除法运算（1）定义规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或（2）复数的除法法则（）由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.【即学即练3】（2023上·广西·高二凭祥市高级中学校联考阶段练习）已知，则在复平面上对应的点所在象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】因为，所以它在复平面上对应的点为，该点位于第四象限.故选：D.题型01复数代数形式的乘法运算【典例1】（2023上·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）已知，（i为虚数单位），则（

）A． B．1 C． D．3【典例2】（2023上·四川成都·高三四川省成都市第八中学校校考阶段练习）已知，则的虚部是（

）A．2 B．C． D．【典例3】（2023上·福建莆田·高二莆田第五中学校考阶段练习）已知复数(为虚数单位)，则的模等于.【变式1】（2021·山西临汾·统考模拟预测）若复数满足，则复数的虚部是（

）A． B． C． D．【变式2】（2024上·辽宁沈阳·高三沈阳实验中学校联考期末），则的共轭复数等于（

）A． B． C． D．【变式3】（2023上·北京顺义·高三校考阶段练习）已知复数，则复数z的虚部为，．题型02复数的乘方【典例1】（2023上·湖南永州·高三校考阶段练习）设（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．2【典例2】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知复数满足：，则（

）A．1 B． C． D．5【变式1】（2023上·江苏苏州·高三南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）设复数对应的点在第四象限，则复数对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式2】（2023上·贵州遵义·高三统考阶段练习）复数的虚部是（

）A． B．1 C． D．-3【变式3】（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知复数z满足（i为虚数单位），则（

）A．3 B． C．5 D．题型03复数范围内的因式分解【典例1】（2023下·上海嘉定·高一校考期末）在复数范围内分解因式=.【典例2】（2022下·上海普陀·高一校考阶段练习）在复数范围内分解因式：．【典例3】5．（2023·高一课时练习）在复数范围内分解因式：(1)；(2)；(3).【变式1】（2023下·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期中）将在复数范围内因式分解为.【变式2】（2022·高一课时练习）在复数范围内分解因式：(1)；(2)．题型04复数范围内方程的根【典例1】（2023上·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）已知复数z是一元二次方程的一个根，则|z|的值为（

）A．1 B．2 C．0 D．【典例2】（2023下·山西晋中·高一校考期中）方程的一个解可以是（

）A．0 B． C．1 D．【典例3】（2023下·陕西西安·高二校考期中）已知复数.(1)若是纯虚数，求的值；(2)若是方程的一个根，求.【变式1】（2023·全国·模拟预测）在复数范围内方程的根为，，则（

）A． B． C．2 D．1【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值分别为.【变式3】（2023下·山东青岛·高一校考期中）已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则.题型05共轭复数的概念及计算【典例1】（2023上·内蒙古赤峰·高三校联考期中）已知，则（

）A． B． C． D．【典例2】（2023下·广东深圳·高二深圳市龙岗区龙城高级中学校考期中）i是虚数单位，若复数z满足，则.【典例3】（2023上·山东青岛·高三山东省青岛第十九中学校考期中）已知复数满足，则（

）A． B． C． D．【变式1】（2023上·北京东城·高三景山学校校考阶段练习）设则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式2】（2023·全国·模拟预测）已知（为虚数单位），则（

）A．2 B．1 C． D．【变式3】（2023上·湖南·高三校联考阶段练习）已知复数满足，则的值为.题型06复数的除法运算【典例1】（2023上·北京东城·高三北京市第一六六中学校考期末）复数，在复平面内的共轭复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【典例2】（2023·天津和平·耀华中学校考二模）i是虚数单位，若复数为纯虚数，则．【典例3】（2023·全国·高一专题练习）计算．(1)；(2)．(3)；(4)；(5).【变式1】（2023上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考期中）若，则=（

）A． B． C． D．【变式2】（2023上·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）若复数z满足，则【变式3】（2023下·高一单元测试）计算：(1)；(2)题型07根据复数乘、除法运算结果求参数【典例1】（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（

）A． B． C．2 D．3【典例2】（2022·河南·宝丰县第一高级中学校联考模拟预测）已知是虚数单位，若复数的实部是虚部的2倍，则（

）A． B． C． D．【典例3】（2023下·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校联考阶段练习）（1）若复数是纯虚数，求实数的值；（2）若复数满足：，求复数.【典例4】（2023下·河南郑州·高一校联考期中）解答下列各题：(1)已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位），求复数z；(2)已知复数，实数为何值时，复数表示的点位于第四象限．【变式1】（2022·全国·校联考模拟预测）已知复数的实部与虚部的和为12，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】（2022下·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（

）A．－3 B．－1 C．1 D．3【变式3】（2023上·贵州·高三校联考阶段练习）已知复数，i是虚数单位），是实数.(1)求b的值；(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.题型08复数四则运算的创新应用【典例1】（2023上·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，下列结论中正确的是（）A．的实部为1B．的共轭复数为1C．在复平面内对应的点在第一象限D．的模长为1【典例2】（2023上·广东深圳·高三深圳市建文外国语学校校考阶段练习）已知复数，，其中i为虚数单位，且满足，且为纯虚数.(1)若复数，在复平面内对应点在第一象限，求复数z；(2)求；(3)若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.【变式1】（2022上·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）已知集合（其中为虚数单位），则满足条件的集合M的个数为.【变式2】（2023下·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）复平面上两个点分别对应两个复数，它们满足下列两个条件：①；②两点连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023上·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知复数满足，则（

）A． B． C．3 D．22．（2023·四川雅安·统考一模）复数，则（

）A．1 B． C．2 D．43．（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．4．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）若复数为纯虚数，则（

）A． B． C． D．5．（2023上·陕西西安·高三统考阶段练习）已知，，且，则（

）A． B．2 C． D．106．（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知复数满足，则（

）A．3 B．2 C． D．17．（2023上·湖南·高二邵阳市第二中学校联考阶段练习）若复数，则（

）A．5 B． C．10 D．8．（2023·全国·模拟预测）设复数，且满足，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023上·江苏无锡·高三校考阶段练习）已知复数，（，）（为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（

）A．的虚部为B．C．D．若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为10．（2023上·福建·高三校联考期中）若复数满足（