2024秋高中数学单元综合测试二第二章推理与证明含解析新人教A版选修1-2

PAGEPAGE8单元综合测试二(其次章)时间：90分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间中内切于三棱锥的球的球心到三棱锥四个面的距离相等”这一推理过程是()A．归纳推理 B．类比推理C．演绎推理 D．非上述答案答案：B2．已知数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)，把数列{an}的各项排列成如图的三角形数阵．记M(s，t)表示该数阵中第s行的第t个数，则M(10,7)对应的数是()第1行2第2行2223第3行242526第4行272829210A.254 B．253C．252 D．251解析：前9行共有1＋2＋…＋9＝45个，第10行第7个数为252.答案：C3．有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内全部直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.结论明显是错误的，这是因为()A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误解析：大前提是错误的，直线平行于平面，但不肯定平行于平面内全部直线，还有异面直线的状况．答案：A4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”()A．各正三角形内一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．答案：C5．用火柴棒摆“金鱼”，如下图所示：依据上面的规律，第n个“金鱼”图形须要火柴棒的根数为()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.答案：C6．已知a∈(0，＋∞)，不等式x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)≥4，…，可推广为x＋eq\f(a,xn)≥n＋1，则a的值为()A．2n B．n2C．22(n－1) D．nn解析：将四个答案分别用n＝1,2,3检验即可，故选D.答案：D7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值()A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0解析：由(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝0，知ab＋bc＋ca＝－eq\f(1,2)(a2＋b2＋c2)≤0.答案：D8．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤eq\f(1,2) B．ab≥eq\f(1,2)C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3解析：由a＋b＝2得，ab≤(eq\f(a＋b,2))2＝1，解除A、B.又eq\f(a2＋b2,2)≥(eq\f(a＋b,2))2.可得a2＋b2≥2.答案：C9．用反证法证明“a，b∈N*，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容是()A．a不能被5整除 B．b不能被5整除C．a，b都不能被5整除 D．以上都不正确答案：C10．在△ABC中，sinAsinC>cosAcosC，则△ABC肯定是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定解析：由sinAsinC>cosAcosC，可得cos(A＋C)<0，即cosB>0，所以B为锐角，但并不能推断A，C，故选D.答案：D11．在等差数列{an}中，若an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()A．b4＋b8>b5＋b7 B．b5＋b7>b4＋b8C．b4＋b7>b5＋b8 D．b4＋b5>b7＋b8答案：B12．数列{an}满意a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)，则a2013等于()A.eq\f(1,2) B．－1C．2 D．3解析：∵a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)，∴a2＝1－eq\f(1,a1)＝－1，a3＝1－eq\f(1,a2)＝2，a4＝1－eq\f(1,a3)＝eq\f(1,2)，a5＝1－eq\f(1,a4)＝－1，a6＝1－eq\f(1,a5)＝2，∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)．∴a2013＝a3＋3×670＝a3＝2.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．给出若干数：eq\r(2＋\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))，eq\r(5＋\f(5,24))，…，由此揣测第n个数为________．解析：由于前4个数可分别写为：eq\r(2＋\f(2,22－1))，eq\r(3＋\f(3,32－1))，eq\r(4＋\f(4,42－1))，eq\r(5＋\f(5,52－1))，故可猜想第n个数为eq\r(n＋1＋\f(n＋1,n＋12－1)).答案：eq\r(n＋1＋\f(n＋1,n＋12－1))14．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为_________________________.答案：三角形三条角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心15．已知等式cosα·cos2α＝eq\f(sin4α,4sinα)，cosα·cos2α·cos4α＝eq\f(sin8α,8sinα)，…，请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知等式(不要求证明)，那么这个等式是___________________________________________________________.答案：cosα·cos2α·cos4α·…·cos(2n－1α)＝eq\f(sin2nα,2nsinα)16．视察下图：12343456745678910…则第________行的各数之和等于20132.解析：视察知，图中的第n行各数构成一个首项为n，公差为1，共2n－1项的等差数列，其各项和为Sn＝(2n－1)n＋eq\f(2n－12n－2,2)＝(2n－1)n＋(2n－1)·(n－1)＝(2n－1)2，令(2n－1)2＝20132，得2n－1＝2013，解得n＝1007.答案：1007三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最终结果不得分，共70分)17．(10分)数列{an}的通项公式为an＝(n2－5n＋5)2，计算得a1＝1，a2＝1，a3＝1，你可以猜想出什么结论？你的猜想正确吗？解：猜想：an＝1.猜想不正确，当n＝5时，a5＝(52－5×5＋5)2＝25.18．(12分)视察上图，可以发觉：1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32，1＋3＋5＋7＝16＝42，1＋3＋5＋7＋9＝25＝52，…由上述详细事实能得出怎样的结论？解：将上述事实分别叙述如下：对于正整数，有前2个奇数的和等于2的平方；前3个奇数的和等于3的平方；前4个奇数的和等于4的平方；前5个奇数的和等于5的平方；…由此猜想：前n(n∈N*)个连续奇数的和等于n的平方，即1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.19．(12分)通过计算可得下列等式：22－12＝2×1＋132－22＝2×2＋142－32＝2×3＋1…(n＋1)2－n2＝2×n＋1将以上各式分别相加得：(n＋1)2－12＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋n即：1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).类比上述求法：请你求出12＋22＋32＋…＋n2的值．解：23－13＝3×12＋3×1＋1，33－23＝3×22＋3×2＋1，43－33＝3×32＋3×3＋1，…(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1，将以上各式分别相加得：(n＋1)3－13＝3×(12＋22＋32＋…＋n2)＋3×(1＋2＋3＋…＋n)＋n＝3×(12＋22＋32＋…＋n2)＋3×eq\f(nn＋1,2)＋n所以3(12＋22＋32＋…＋n2)＝(n＋1)3－eq\f(3nn＋1,2)－(n＋1)＝(n＋1)(n2＋eq\f(n,2))＝eq\f(1,2)(n＋1)·n(2n＋1)，所以12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(nn＋12n＋1,6).20．(12分)视察下列两式：①tan10°·tan20°＋tan20°·tan60°＋tan60°·tan10°＝1；②tan5°·tan10°＋tan10°·tan75°＋tan75°·tan5°＝1.分析上面的两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论．解：推广结论：若α＋β＋γ＝90°，则tanα·tanβ＋tanβ·tanγ＋tanγ·tanα＝1.证明如下：由α＋β＝90°－γ，得tan(α＋β)＝tan(90°－γ)．则eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝tan(90°－γ)＝eq\f(1,tanγ)，所以tanβtanγ＋tanγtanα＝1－tanαtanβ，即tanα·tanβ＋tanβ·tanγ＋tanγ·tanα＝1.21．(12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：(1)求证：tan(x＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tanx,1－tanx)；(2)设x∈R，a为非零常数，且f(x＋a)＝eq\f(1＋fx,1－fx)，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．解：(1)由两角和的正切公式得tan(x＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanx＋tan\f(π,4),1－tanx·tan\f(π,4))＝eq\f(tanx＋1,1－tanx)，即tan(x＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tanx,1－tanx)，命题得证．(2)猜想f(x)是以4a证明过程如下：因为f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝eq\f(1＋fx＋a,1－fx＋a)＝eq\f(1＋\f(1＋fx,1－fx),1－\f(1＋fx,1－fx))＝－eq\f(1,fx)，所以f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]＝－eq\f(1,fx＋2a)＝f(x)．所以f(x)是以4a22．(12分)已知f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，且a1，a2，a3，…，an组成等差数列，n为正偶数，又a1＝1，f(1)＝n2，f(－1)＝n.a1a2aa4a5a7a8a9…(1)求数列{an}的通项公式；(2)将数列{an}的各项排成三角形形态(如图所示)，记A(i，j)为第i行的第j个数，例如：A(4,3)＝a9，求A(10,1)＋A(10,2)＋A(10,3)＋…＋A(10,10)的值．解：(1)由题目的条件可得f(1)＝a1＋a2＋a3＋…＋an，f(－1)＝－a1＋a2－a3＋a4－…－an－1＋an，又已知f(1)＝n2，f(－1)＝n，所以两式相加得2(a2＋a4＋a6＋…＋an－2＋an)＝n2＋n.又已知数列{an}是等差数列，故有2(a2＋a4＋a6＋…＋an－2＋an)＝2×eq\f(n,2