内蒙古2025届数学高二上期末经典模拟试题含解析

内蒙古2025届数学高二上期末经典模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，，，，分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（）A. B.C. D.2．若，则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有（）A.0个 B.1个C.2个 D.3个3．若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（）A. B.C. D.4．已知实数，满足则的最大值为（）A.-1 B.0C.1 D.25．在正方体中，分别是线段的中点，则点到直线的距离是（）A. B.C. D.6．在正方体中，，则（）A. B.C. D.7．椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的倾斜角为直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.8．直线的倾斜角为（）A.30° B.60°C.90° D.120°9．已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.10．设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（）A.3 B.1C.0 D.﹣111．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是A. B.C. D.12．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．例如“百层球堆垛”：第一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，第五层有15个球，…，各层球数之差：，，，，…即2，3，4，5，…是等差数列．现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，则该数列的第8项为（）A.51 B.68C.106 D.157二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为______.14．已知双曲线-=1(a>0，b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若|FP|=5，则点F到双曲线的渐近线的距离为_____.15．如图，在棱长都为的平行六面体中，，，两两夹角均为，则________；请选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的平面与直线垂直.这三个顶点可以是________16．命题，恒成立是假命题，则实数a取值范围是________________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（Ⅰ）若的图象在点处的切线与轴负半轴有公共点，求的取值范围；（Ⅱ）当时，求的最值18．（12分）已知抛物线的方程为，点，过点的直线交抛物线于，两点（1）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；（2）若点是直线上的动点，且，求面积的最小值19．（12分）已知圆的圆心在直线上，且经过点和.（1）求圆的标准方程；（2）若过点且斜率存在的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.20．（12分）已知抛物线E：过点Q(1，2)，F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O.（1）求抛物线E的方程；（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值.21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率，请再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面的问题：①椭圆C过点；②以点为圆心，3为半径的圆与以点为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（只能从①②中选择一个作为已知）（1）求椭圆C的方程；（2）已知过点的直线l交椭圆C于M，N两点，点N关于x轴的对称点为，且，M，三点构成一个三角形，求证：直线过定点，并求面积的最大值.22．（10分）已知中心在坐标原点O的椭圆，左右焦点分别为，，离心率为，M，N分别为椭圆的上下顶点，且满足.（1）求椭圆方程；（2）已知点C满足，点T在椭圆上（T异于椭圆的顶点），直线NT与以C为圆心的圆相切于点P，若P为线段NT的中点，求直线NT的方程；（3）过椭圆内的一点D（0，t），作斜率为k的直线l，与椭圆交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别是，，若对于任意实数k，存在实数m，使得，求实数m的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由五角星的内角为，可知，又平分第三颗小星的一个角，过作轴平行线，则，即可求出直线的倾斜角.【详解】都为五角星的中心点，平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为，可知，过作轴平行线，则，所以直线的倾斜角为，故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查直线倾斜角，解题的关键是通过做辅助线找到直线的倾斜角，通过几何关系求出倾斜角，考查学生的数形结合思想，属于基础题.2、C【解析】由条件，可得，利用不等式的性质和基本不等式可判断①、②、③、④中不等式的正误，得出答案.【详解】因为，所以.因此，且，且②、③不正确.所以，所以①正确，由得、均为正数，所以，（由条件，所以等号不成立），所以④正确.故选：C.3、B【解析】先求出圆心到直线的距离为，由此可知当圆的半径为时，圆上恰有三点到直线的距离为，当圆的半径时，圆上恰有四个点到直线的距离为，故半径的取值范围是，即可求出答案.【详解】由已知条件得的圆心坐标为，圆心到直线为，∵圆上至少有三个点到直线的距离为1，∴圆的半径的取值范围是，即，即半径的取值范围是.故选：.4、D【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数，即可得到结果【详解】由约束条件画出可行域如图，化目标函数为，由图可知当直线过点时，直线在轴上的截距最小，取得最大值2.故选：D5、A【解析】以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，然后，列出计算公式进行求解即可【详解】如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系.因为，所以，所以，则点到直线的距离故选：A6、A【解析】根据空间向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】因为，而，所以有，故选：A7、C【解析】由题可得直线AB的方程，从而可表示出三角形面积，又利用焦点三角形及三角形内切圆的性质，也可表示出三角形面积，则椭圆的离心率即求.【详解】由题知直线AB的方程为，即，∴到直线AB距离，又三角形的内切圆的面积为，则半径为1，由等面积可得，.故选：C.8、B【解析】根据给定方程求出直线斜率，再利用斜率的定义列式计算得解.【详解】直线的斜率，设其倾斜角为，显然，则有，解得，直线的倾斜角为.故选：B9、D【解析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可知，则，所以，即可得到的关系，利用椭圆的定义进而求得离心率.【详解】设椭圆的左焦点为，连接，因为，所以，如图所示，所以，设，，则，所以，故选：D.10、C【解析】线性规划问题，作出可行域后，根据几何意义求解【详解】作出可行域如图所示，，数形结合知过时取最小值故选：C11、A【解析】如图：如图，取小圆上一点，连接并延长交大圆于点，连接，，则在小圆中，，在大圆中，，根据大圆的半径是小圆半径的倍，可知的中点是小圆转动一定角度后的圆心，且这个角度恰好是，综上可知小圆在大圆内壁上滚动，圆心转过角后的位置为点，小圆上的点，恰好滚动到大圆上的也就是此时的小圆与大圆的切点．而在小圆中，圆心角（是小圆与的交点）恰好等于，则，而点与点其实是同一个点在不同时刻的位置，则可知点与点是同一个点在不同时刻的位置．由于的任意性，可知点的轨迹是大圆水平的这条直径．类似的可知点的轨迹是大圆竖直的这条直径.故选A.12、C【解析】对高阶等差数列按其定义逐一进行构造数列，直到出现一般等差数列为止，再根据其递推关系进行求解.【详解】现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，各项与前一项之差：，，，，，…即2，3，6，11，18，…，，，，，…即1，3，5，7，…是等差数列，所以，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】作出该不等式表示的平面区域，由的几何意义结合距离公式得出答案.【详解】该不等式组表示的平面区域，如下图所示过点作直线的垂线，垂足为因为表示原点与可行域中点之间的距离，所以的最小值为.故答案为：14、【解析】设点为，由抛物线定义知，，求出点P坐标代入双曲线方程得到的关系式，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】由题意得F(2，0)，因为点P在抛物线y2=8x上，|FP|=5，设点为，由抛物线定义知，，解得，不妨取P(3，2)，代入双曲线-=1，得-=1，又因为a2+b2=4，解得a=1，b=，因为双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的渐近线为y=±x，由点到直线的距离公式可得，点F到双曲线的渐近线的距离.故答案为：【点睛】本题考查双曲线和抛物线方程及其几何性质；考查运算求解能力和知识迁移能力；灵活运用双曲线和抛物线的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.15、①.②.点或点（填出其中一组即可）【解析】（1）以向量，，为基底分别表达出向量和，展开即可解决；（2）由上一问可知，用上一问同样的方法可以证明出，这样就证明了平面与直线垂直.【详解】（1）令，，，则，则有，故（2）令，，，则，则有，故故，即又由（1）之,,故直线垂直于平面同理可证直线垂直于平面故答案为：0;点或点16、【解析】由命题为假命题可得命题为真命题，由此可求a范围.【详解】∵命题，恒成立是假命题，∴，，∴，，又函数在为减函数，∴，∴，∴实数a的取值范围是,故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.【解析】（Ⅰ）求导数．求得切线方程，由切线与轴的交点在负半轴可得的范围；（Ⅱ）求导数，由的正负确定单调性，极值得最值【详解】命题意图本题主要考查导数在函数问题中的应用解析（Ⅰ）由题可知，，故可得的图象在点处的切线方程为令，可得由题意可得，即，解得，即的取值范围为（Ⅱ）当时，，易知在上单调递增又，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，无最大值【点睛】关键点点睛：本题考查用导数的几何意义，考查用导数求函数的的最值．解题关键是求出导函数，由的正负确定单调性，得函数的极值，从而可得最值18、（1）是,；（2）【解析】（1）由题意设出所在直线方程，与抛物线方程联立，化为关于的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得为定值；（2）当的斜率为0时，求得三角形的面积为；当的斜率不为0时，由弦长公式求解，再由点到直线的距离公式求到的距离，代入三角形面积公式，利用函数单调性可得三角形的面积大于，由此可得面积的最小值【详解】（1）由题意知，直线斜率存在，不妨设其方程为，联立抛物线的方程可得，设，，则，，所以，，所以，所以是定值（2）当直线的斜率为0时，，又，，此时当直线的斜率不力0时，，又因为，且直线的斜率不为0，所以，即，所以点到直线的距离，此时，因为，所以，综上，面积的最小值为19、（1）（2）【解析】（1）设圆心，由题意得，，结合两点间的距离公式求解的值，则圆心与半径可求，圆的方程可求；（2）若直线的斜率不存在，设直线的方程为，符合题意，若直线的斜率存在，设直线方程为，即，由圆心到直线的距离与半径关系求得，则直线方程可求【小问1详解】解：（1）设圆心，由题意得，，，解得.圆心坐标为，半径.则圆的方程为；【小问2详解】解：（2）直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，，圆心到直线的距离，即，解得，得直线的方程为.20、（1）；（2）证明见解析，的最小值为.【解析】（1）将点的坐标代入抛物线方程，由此求得的值，进而求得抛物线的方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程与抛物线的方程，写出韦达定理，设出直线的方程，联立直线的方程求得的坐标，由此判断出动点在定直线上.求得的表达式，利用基本不等式求得其最小值.【详解】（1）将点坐标代入抛物线方程得，所以.（2）由（1）知抛物线的方程为，所以，设直线的方程为，设，由消去得，所以.由于为三角形的垂心，所以，所以直线的方程为，即.同理可求得直线的方程为.由，结合，解得，所以在定直线上.直线的方程为，到直线的距离为，到直线的距离为.所以，当且仅当时取等号.所以的最小值为.【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中三角形面积的有关计算，属于中档题.21、（1）（2）证明见解析，【解析】（1）若选①，则由题意可得，解方程组求出，从而可求得椭圆方程，若选②，，再结合离心率和求出，从而可求