考点11 反比例函数（精讲）（原卷版）

考点11.反比例函数（精讲）【命题趋势】反比例函数也是非常重要的函数，年年都会考，总分值为12分左右，预计2024年各地中考一定还会考，反比例函数与一次函数结合出现在解答题中是各地中考必考的一个解答题，反比例函数的图象与性质和平面几何的知识结合、反比例函数中|k|的几何意义等也会是小题考查的重点。【知识清单】1：反比例函数的概念（☆☆）反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数．2：反比例函数的图象和性质（☆☆☆）1）反比例函数的图象和性质表达式（k是常数，k≠0）kk>0k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大对称性轴对称图形（对称轴为直线y=x和y=-x），中心对称图形（对称中心为原点）2）待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．3：反比例函数中|k|的几何意义（☆☆☆）1）反比例函数图象中有关图形的面积2）涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．4：反比例函数与一次函数的综合（☆☆☆）1）涉及自变量取值范围型当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。若求时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围；反之亦然。2.求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定：①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．5：反比例函数的实际应用（☆☆）解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．【易错点归纳】1.反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．2.利用|k|的几何意义求出的k带有绝对值，需要结合图象分布象限来确定具体的符号。【核心考点】核心考点1.反比例函数的定义例1：（2023·山西忻州·校联考模拟预测）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即．如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（

）

A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系变式1.（2023·福建·统考一模）下面四个函数中，图象为双曲线的是（

）A． B． C． D．变式2.（2023上·浙江九年级期中）已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是．例2：（2023年重庆市中考数学真题）反比例函数的图象一定经过的点是（

）A． B． C． D．变式1．（2023年广东省中考数学真题）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为．变式2.（2023·陕西榆林·统考二模）若点在反比例函数的图像上，则代数式．核心考点2.反比例函数的图象与性质例3：4．（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（

）A．B．C． D．变式1．（2023·福建三明·统考一模）反比例函数的图像如图所示，则的值可以是下列中的（

）A．3 B．2 C． D．变式2.（2023·湖南邵阳·统考一模）在同一坐标系中，函数和的图象大致是（）A．

B．

C．

D．

例4：（2023·广东广州·校考一模）已知反比例函数的图象在第二、第四象限，则a的取值范围是（）A． B． C． D．变式1．（2023·福建莆田·校考三模）若双曲线在第一、三象限，则k可以是．（写出一个k的值即可）变式2.（2023·福建泉州·统考模拟预测）在反比例函数的图像在某象限内，随着的增大而减小，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例5：（2023年湖北省武汉市数学真题）关于反比例函数，下列结论正确的是（

）A．图像位于第二、四象限B．图像与坐标轴有公共点C．图像所在的每一个象限内，随的增大而减小D．图像经过点，则变式1.（2023·广东深圳·校考模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（

）A．当时，y随x的增大而增大B．当时，y随x的增大而增大C．当时，若x越大，则对应的y值也越大D．若、是其图象上两点，则不一定有变式2．（2023·山西晋城·统考一模）已知反比例函数，则下列描述正确的是（）A．图象位于第一、三象限B．y随x的增大而增大C．图象不可能与坐标轴相交D．图象必经过点例6：（2023年山东省济南市中考数学真题）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．变式1．（2023年天津市中考数学真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（

）A． B． C． D．变式2．（2023年湖北省中考数学真题）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例7：（2023·江苏盐城·统考二模）画出反比例函数的大致图象，结合图象回答：(1)当时，y的值；(2)当时，y的取值范围；(3)当且时，x的取值范围．变式1.（2022·陕西·中考真题）已知点A(−2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______．核心考点3.反比例函数系数k的几何意义例8：（2023年湖南中考模拟）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4变式1．（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（

）

A．2 B． C．1 D．变式2．（2023年福建省中考真题数学试题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（）

A． B． C． D．3例9：（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，则的面积为；若的面积为，则．

变式1.（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则．

变式2.（2023·广东深圳·模拟预测）如图，已知反比例函数图象上一点A，以原点为位似中心得到第四象限的点B，位似比为，过点B作轴于点C，连接，则的面积为（

）

A．6 B．8 C． D．核心考点4.反比例函数与一次函数综合例10：（2023年内蒙古中考数学真题）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（

）A．B．C．或D．或变式1．（2023年湖南省怀化市中考数学真题）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点．已知点的坐标为，点为轴上任意一点．如果，那么点的坐标为（

）

A． B． C．或 D．或变式2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于，两点，若，则的取值范围是．变式3．（2023年山东省潍坊市中考数学真题）如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（

）

A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，例11：（2021·广东江门·校考三模）如图，菱形的边在x轴上，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点C，与y轴交于点E，与x轴交于点M，连接、．(1)求k、b的值；(2)求的面积；(3)在x轴上取点P，求出使取得最大值时点P的坐标．变式1．（2023·广东广州·校考一模）已知：一次函数（）的图像与反比例函数的图像交于点和．

(1)求一次函数的表达式；(2)将直线沿轴负方向平移个单位，平移后的直线与反比例函数图像恰好只有一个交点，求的值．变式2．（2023·湖南娄底·九年级统考期末）如图，四边形为正方形．点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点C和点A．(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)写出的解集；(3)点P是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积，求P点坐标．

核心考点5.反比例函数的实际应用例12：（2023下·江苏苏州·八年级校考期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（

）A．月份的利润为万元B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元C．月份该厂利润达到万元D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元变式1．（2023·河北保定·统考一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（

）A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为变式2．（2023·河南信阳·校考三模）湿度是指空气的干湿程度，或含有的水蒸气的多少，天气预报中最常用的是相对湿度，相对湿度是空气中实际水蒸气含量与同温度下的最大可容纳水蒸气含量的百分比值，符号为%RH．人体感觉舒适的湿度一般为40%RH~70%RH．如图1所示为某实验室的自动除湿机简化后的电路图，R为装在除湿机内的湿敏电阻，其阻值随相对湿度变化的图象如图2所示，当湿敏电阻R的阻值发生变化时，控制电路中线圈的电流I随之发生变化，控制电路中总电阻（调控电阻和湿敏电阻R的阻值之和，其他忽略不计）与电流I的关系图象如图3所示，当电流大于或等于20mA时，L的两个磁性弹片相互吸合，工作电路的压缩机开始带动系统进行除湿．下列说法不正确的是（

）

A．相对湿度越高，湿敏电阻R的阻值越小B．当相对湿度为35%RH时，湿敏电阻R的阻值为150ΩC．当湿敏电阻R的阻值为50Ω时，实验室内的相对湿度在人体感觉舒适的湿度范围内D．当相对湿度为45%RH时，若要压缩机开始工作，则调控电阻的阻值不能低于500Ω变式3．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．素材1

国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测