2024-2025学年高中数学第二章推理与证明章末综合测评含解析新人教A版选修1-2

PAGE章末综合测评(二)推理与证明(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．依据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是()A．归纳推理 B．类比推理C．演绎推理 D．非以上答案C[依据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.]2．在△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为()A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边的一半C．EF为中位线D．EF∥BCA[这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为△ABC的中位线；结论：EF∥BC.]3．用反证法证明“若x＋y≤0，则x≤0或y≤0”A．x＞0或y＞0 B．x＞0且y＞0C．xy＞0 D．x＋y＜0B[用反证法证明“若x＋y≤0，则x≤0或y≤0”时，应先假设x＞0且y4．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logayB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋sinyC．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ayD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)D[(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．]5．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值()A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0D[因为a＋b＋c＝0，所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc所以ab＋bc＋ca＝－eq\f(a2＋b2＋c2,2)≤0.故选D.]6．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列推断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中推断正确的个数为()A．0个 B．1个C．2个 D．3个B[若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与“a，b，c是不全相等的正数”冲突，故①正确．a＝b与b＝c及a＝c中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．]7．《庄子·天下篇》中记述了一个闻名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是()A．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n)＝2－eq\f(1,2n)B．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n)＜2C.eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n)＝1D.eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n)＜1D[据已知可得，每次截取的长度构成一个以eq\f(1,2)为首项，eq\f(1,2)为公比的等比数列，eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n)＝1－eq\f(1,2n)＜1.故反映这个命题本质的式子是eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n)＜1.]8．在△ABC中，tanA·tanB＞1，则△ABC是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定A[∵tanA·tanB＞1，∴A，B只能都是锐角，∴tanA＞0，tanB＞0,1－tanA·tanB＜0.∴tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanA·tanB)＜0.∴A＋B是钝角．∴角C为锐角．故选A.]9．视察下列各等式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，……则52017的末四位数字是()A．3125 B．5625C．8125 D．0625A[55＝3125的末四位数字为3125；56＝15625的末四位数字为5625；57＝78125的末四位数字为8125；58＝390625的末四位数字为0625；59＝1953125的末四位数字为3125……依据末四位数字的改变，3125,5625,8125,0625，即末四位的数字是以4为周期改变的，故2017除以4余1，即末四位数为3125.则52017的末四位数字为3125.]10．已知函数f(x)，其导数为f′(x)，记函数f′(x)的导数为f″(x)，若在区间(a，b)上，f″(x)＞0恒成立，则称f(x)在(a，b)上为下凸函数，下列函数中，在(0，＋∞)上为下凸函数的是()A．f(x)＝2x B．f(x)＝eq\r(x)C．f(x)＝x2 D．f(x)＝sinxC[对于函数f(x)＝x2，f′(x)＝2x，于是f″(x)＝2，满意f″(x)＞0恒成立，故f(x)＝x2在(0，＋∞)上为下凸函数．]11．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则eq\f(AG,GD)＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则eq\f(AO,OM)＝()A．1 B．2C．3 D．4C[如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM＝eq\f(\r(6),3)，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等积法有4×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)r＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)r＝eq\f(\r(6),12)，故AO＝AM－MO＝eq\f(\r(6),3)－eq\f(\r(6),12)＝eq\f(\r(6),4)，故AO∶OM＝eq\f(\r(6),4)∶eq\f(\r(6),12)＝3.]12．将石子摆成如图所示的梯形形态．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．依据图形的构成，此数列的第2018项与5的差，即a2018－5＝()A．2023×2018 B．2023×2017C．1012×2016 D．1012×2017D[an－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个．∴an－5＝eq\f(n－1n＋6,2)，∴a2018－5＝eq\f(2017×2024,2)＝2017×1012.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设实数a，b，c满意a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于________．(填详细数字)eq\f(1,3)[假设a，b，c都大于eq\f(1,3)，则a＋b＋c＞1，这与已知a＋b＋c＝1冲突．假设a，b，c都小于eq\f(1,3)，则a＋b＋c＜1，这与已知a＋b＋c＝1冲突，故a，b，c中至少有一个数不小于eq\f(1,3).]14．在△ABC中，若D为BC的中点，则有eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，将此结论类比到四面体中，在四面体A－BCD中，若G为△BCD的重心，则可得一个类比结论：________.eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))[由“△ABC”类比“四面体A－BCD”，“中点”类比“重心”，由此可得在四面体A－BCD中，G为△BCD的重心，则有eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．]15．当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N*时，你能得到的结论是________．(a－b)(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1[依据题意，由于当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N*时，左边其次个因式可知为an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn，那么对应的表达式为(a－b)(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1.]16．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是1和3[法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满意题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满意甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)假如a，b>0，则lgeq\f(a＋b,2)≥eq\f(lga＋lgb,2)；(2)eq\r(6)＋eq\r(10)>2eq\r(3)＋2.[证明](1)当a，b>0时，有eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，∴lgeq\f(a＋b,2)≥lgeq\r(ab)，∴lgeq\f(a＋b,2)≥eq\f(1,2)lgab＝eq\f(lga＋lgb,2).(2)要证eq\r(6)＋eq\r(10)>2eq\r(3)＋2，只要证(eq\r(6)＋eq\r(10))2>(2eq\r(3)＋2)2，即2eq\r(60)>2eq\r(48)，这是明显成立的，所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．(1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2)已知eq\r(2)和eq\r(3)都是无理数，试证：eq\r(2)＋eq\r(3)也是无理数．证明：依题设eq\r(2)和eq\r(3)都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以eq\r(2)＋eq\r(3)必是无理数．(3)已知实数m满意不等式(2m＋1)(m＋2)<0，用反证法证明：关于x的方程x2＋2x＋5－m2证明：假设方程x2＋2x＋5－m2＝0有实根．由已知实数m满意不等式(2m＋1)(m＋2)＜0，解得－2＜m＜－eq\f(1,2)，而关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0的判别式Δ＝4(m2－4)，∵－2<m<－eq\f(1,2)，∴eq\f(1,4)＜m2＜4，∴Δ<0，即关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0无实根．[解](1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形．(2)运用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不肯定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出冲突，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出冲突，所以不是反证法．19．(本小题满分12分)已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f(3,2).通过视察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出式子的证明．[解]一般形式：sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝eq\f(3,2).证明如下：左边＝eq\f(1,2)(1－cos2α)＋eq\f(1,2)[1－cos(2α＋120°)]＋eq\f(1,2)[1－cos(2α＋240°)]＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)(cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°))＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)(cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)cos2α－eq\f(1,2)cos2α－eq\f(\r(3),2)sin2α－eq\f(1,2)cos2α＋eq\f(\r(3),2)sin2α＝eq\f(3,2)＝右边．∴原式得证．20．(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长均为a，D，E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点(1)求证：A1B⊥AD；(2)求证：CE∥平面AB1D.[证明](1)连接A1D，BD，DG，∵三棱柱ABC－A1B1C1是棱长均为a∴四边形A1ABB1为正方形，∴A1B⊥AB1.∵D是C1C∴△A1C1D≌△BCD，∴A1D＝BD∵G为A1B中点，∴A1B⊥DG.又∵DG∩AB1＝G，∴A1B⊥平面AB1D，又∵AD平面AB1D，∴A1B⊥AD.(2)连接GE，∵EG∥A1A∴GE⊥平面ABC.∵DC⊥平面ABC，∴GE∥DC，∵GE＝DC＝eq\f(1,2)a，∴四边形GECD为平行四边形，∴EC∥GD，又∵EC平面AB1D，DG平面AB1D，∴EC∥平面AB1D.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a>1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．[证明](1)法一：任取x1、x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1<x2，则x2－x1>0，aeq\s\up8(x2－x1)>1且ax1>0，∴aeq\s\up8(x2)－aeq\s\up8(x1)＝aeq\s\up8(x1)(aeq\s\up8(x2－x1)－1)>0，又∵x1＋1>0，x2＋1>0，∴eq\f(x2－2,x2＋1)－eq\f(x1－2,x1＋1)＝eq\f(x2－2x1＋1－x1－2x2＋1,x1＋1x2＋1)＝eq\f(3x2－x1,x1＋1x2＋1)>0，于是f(x2)－f(x1)＝aeq\s\up8(x2)－aeq\s\up8(x1)＋eq\f(x2－2,x2＋1)－eq\f(x1－2,x1＋1)>0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．法二：f′(x)＝axlna＋eq\f(x＋1－x－2,x＋12)＝axlna＋eq\f(3,x＋12)，∵a>1，∴lna>0，∴axlna＋eq\f(3,x＋12)>0，f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)设存在x0<0(x0≠－1)满意f(x0)＝0，则aeq\s\up8(x0)＝－eq\f(x0－2,x0＋1)，且0<aeq\s\up8(x0)<1.∴0<－eq\f(x0－2,x0＋1)<1，即eq\f(1,2)<x0<2，与假设x0<0冲突．故方程f(x)＝0没有负数根．22.(本小题满分12分)(1)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋e