2025年高考数学一轮复习：课时作业六十 圆锥曲线中的定点问题

六十圆锥曲线中的定点问题

（时间：45分钟分值:40分）

1.（10分）（2024•绍兴模拟）设抛物线。铲=2"3>0）,过y轴上点P的直线/与。相

1

切于点。，且当I的斜率为2时,1尸。1=2巡

⑴求。的方程；

【解析】（1）当I的斜率为;时,设直线I的方程为丁当+”与C的方程联立消去

以得N+4（62?）%+4Z?2=0,当/与C相切时/=16（6-空）2-1662=0,整理有b=p,

此时％2一4.+4铲=0,所以尸22，所以y=2p或-22（舍去）.故。（0夕）,0（22,22），所以

/。l=J（2p-+（2。-PS=PP=2P，

故p=2,所以C的方程为y2=4x.

⑵过P且垂直于I的直线交C于M,N两点，若R为线段MN的中点，证明:直线

QR过定点.

【解析】（2）设直线/的方程为严丘+加，

I与C的方程联立得左2%2+2（加一2）x+/=0,

当I与C相切时,/=4（左加-2）2-4N加2=o,则左加=1,加［故。（：5，

11

设直线MN的方程为严-K/+/K,与C的方程联立有N一2(2F+1)X+1=0,

设MX1J1),N(X2㈤厕％1+%2=2(2左2+1),

111112%1+12丫1+丫2

N1力2=-/1%-方孙+厂工。1+%2)方-4左，所以—2k?+1,—~=-2k,

/vK.K.K.K.K.Z.乙

T2+2fc

所以R(2左2+1,3),所以QR的方程为y+2k^——(^2-l),

F-2k-1

-2k2-1)

令y=0,贝Ux-2A：2-l=—------

k+k

22

=一丝孚…"，

所以x=2,所以直线QR过定点(2,0).

22房

2.（10分）（2023•全国乙卷）已知椭圆C:夕，1伍村＞0）的离心率是今点4-2,0）在

ab3

c±.

（1）求。的方程;

b=2

2R2I2a=3

【解析】（1）由题意可得，a=b+cb=Q

(c=P

22

所以椭圆方程为廿±1.

(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点，直线APAQ与y轴的交点分别为证

明:线段的中点为定点.

【解析】(2)由题意可知:直线P0的斜率存在，设

尸。:尸依v+2)+39P

,y=k(x+2)+3

22

联立方程得yxj肖去y彳导:(4N+9)%2+8左(2左+3)x+l6(N+3左)=0,

[—9+T—4=，1

贝U/=64左2(263户64(4左2+9)(左2+3左)=-l728左>0,解彳导k<Q,

2

8k(2k+3)16(fc+3k)

可彳导/+%2=-2加2=2

4fc+94/c+9

y.

因为4-2,0),则直线/P:尸石#+2),

2yl2yl

令％=o,解彳导歹即M(o,久+2),

I4人]I乙

幺为％+.+2[k(x1+2)+3][fc(x2+2)+3]

同理可得N(0，E),则-2%1+2+&+2

“2十乙

[kx1+(2k+3)](%2+2)+[kx2+(2k+3)](%1+2)

(%i+2)(%2+2)

2kxix2+(4k+3)(%i+%2)+4(2fc+3)

%1%2+2(%1+%2)+4

7

32k(k+3k)8k(4k+3)(2k+3)

2-2+4(2/c+3)

4k+94k+9

2

16(k+3k)16k(2k+3)

-----2-----------2------+14

4k+94/c+9

108-

=—=3

365

所以线段MN的中点是定点(0,3).

【加练备选】

（2022•全国乙卷）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴沙轴，且过

4（0广2）石（2，-1）两点

⑴求E的方程；

【解析】（D因为椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴y轴，且过力（0,-2）,

22

可设椭圆E的方程为

a4

Q

又椭圆石过点G，-D,

所以为41，解得。2=3,

4a4

22

所以E的方程为

54,

⑵设过点。（1,-2）的直线交E于MN两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB

父于点T,点H满足MT=7证明:直线HN过7E点.

【解析】（2）当直线MN的斜率不存在时,4/N：%=1,

x=la?后

由乙Jv得俨=|,所以产士手

、3十4.,

可得M1，手）,M1，-亨）,

过点M且平行于x轴的直线方程为产-F直线AB的方程为广（一2）二^*（%-

2-°

2

0）,即严干-2,

2^/6

V=__z-

由2，解得X尸3-也

y=/-2

所以7（3-依-芋）.

因为雨=汴，所以〃（5-2依-等）.

4•

所以直线HN的方程为广之I*。一1）,即产空了x_2,

J3b-4J

所以直线过点（0,-2）.

当直线MN的斜率存在时,

设〃（％1,为）声（%2必）.

IMN:y^kx+m（k+m=-T）,

y=kx+m

由，久2y2得,（3左2+4）炉+6加x+3加2/2=0,/>0,

+=1

bTT

2

6km3m-12

Xl+%2=-r—,修过=~2---，

3k+43fc+4

过点M且平行于x轴的直线方程为丁=为，与直线AB方程联立,

'y=y13d+2）

得产|%一2府^^

3(%+2)_,_,

所以T(—一,%),因为MT=T”,所以"(3%+6-X01),此时直线HN的方程为

yi-y2nn、1-，2

广冷=3%+6一叼一叼(*用)，即歹=3当+6-久「叼'+为飞当+6-叼-叼孙

入/日（%-巧）%-（久1%+叼力）+3yly2+6y2-（巧巧+久2当）+3yly2+6y2

令x=0,得y=y?----------------------=-----------------------------------------=---------------------------------------------,

'J）3yl+6-%1-%2-（x1+%2）+6+3y]-（%1+%2）+6+3（yt+y2）-3y2

因为为打2=（京1+加）+（履2+加尸左（、1+、2）+2加=~^一?%必+应月=修（履2+加）+'2（丘1+加）

"'3fc+4

2

-24k匚匚］、］-24（fc-3k_2）匚匚］\］

=2区1应+加（%1+孙）=^—，所以一（XU2+X*1）+3yly2=-----2--------，所以一

3k+43k+4

（Xi+x2）+6+3（yi+y2）

7

12（k-3k-2）

2

3k+4

2

-24（k-3k-2）

2+6为

3k+4

------=-2,

所以产2

12（左-3k-2）

2-3y

3fc+42

所以直线过定点(0,-2).

综上，可得直线过定点(0,-2).

221

3.(10分)已知椭圆。3+?15>6>。)的离心率为小长轴的左端点为，(-2,0).

ab乙

⑴求椭圆。的方程；

【解析】(1)由题意可得/那=2,得

22

所以椭圆。的方程为》4=1；

(2)过椭圆C的右焦点的任意一条直线/与椭圆。分别相交于MN两点，且

4MMN与直线尸4,分别相交于D,E两点，求证:以。E为直径的圆恒过x轴上定

点，并求出定点.

【解析】(2)椭圆右焦点坐标为(1,0),由题意得直线斜率不为零,设直线I的方程为

x^my+1,

设M(xi,yx),N(X2,y2),

'x=my+1

由题意，联立方程得//

［了+了=1

消去x得(3加2+4)y+6加y-9=0,

_6n7_QV-i6yl

所以刃+为=~2—~2一直线AM的方程为丁丁方(x+2)得D(4,——t),

3m+43m+4xi+zxi+z

y

同理，直线AN的方程为y=—7—(x+2~),

%2十,

6y2

得E(4，E4

>*Jr[

设X轴上一点P&0）厕PD=（41，FX]।乙t）,

=TE/日一，、6y2、—>一/“6yl6y236yly?

同理得:PE=（42彳"DPE=（42正4（42彳同（4-降+&+20+2），

___,,36yly2

因为（修+2）3+2）=（加y+3）（加处+3）,所以PD,PE=（4l）2c^^^^^=（4i）2

36x（-9）

*2*

277=（4-/）-9=0,

-9m-18m+27m+36

得:八4=±3,即片1或片7,

所以以DE为直径的圆恒过x轴上定点，定点分别为（1,0）,（7,0）.

4.（10分）在平面直角坐标系xOy中，动点P与定点网2,0）的距离和它到定直线

/：%"的距离之比是常数竽，记P的轨迹为曲线E.

⑴求曲线E的方程；

【解析】（D设RAX）,因为P与定点网2,0）的距离和它到定直线/：%=（的距离之比

是常^^竽，

r-r-pJ（x-2）2+y2_2V3

所以I3|3-5

2

化简得

2

所以曲线片的方程为:-俨=1.

（2）设过点4（通,0）的两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点MM异于点A）,

求证:直线过定点.

【解析】（2）设Mxi,，）,N（%2j2）,

当直线MN斜率