导数压轴专题突破-第09讲 直接讨论法证明不等式（含答案及解析）

第09讲直接讨论法证明不等式【典型例题】例1．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：，．例2．已知函数，，若在处的切线为．（Ⅰ）求实数，的值；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）设，其中，，证明：．例3．设函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当且时，证明：．例4．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当，，时，证明：．例5．已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当，时，证明：．【同步练习】1．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：．（注，2．已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设，当时，证明：．3．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：对任意，；（3）设，若对任意给定的，，关于的方程在，上有两个不同的实根，求实数的取值范围（其中为自然对数的底数）．4．已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）设，当时，证明：恒成立．5．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若，设，证明：，，，使．6．已知函数，其中．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，证明：（其中为自然对数的底数）．7．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：．8．已知函数．（1）时，讨论函数的单调性；（2）证明：当时，．

第09讲直接讨论法证明不等式【典型例题】例1．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：，．【解析】解：（1），因，，①当时，，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；②当时，，函数在内单调递增；③当时，，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；综上：当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，函数在内单调递增；当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；（2）当时，由（1）得，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，函数在内的最小值为，欲证不等式成立，即证，即证，因，所以只需证，令，则，所以，函数在，内单调递减，（1），又因，即．所以，即当时，成立，综上，当时，，．例2．已知函数，，若在处的切线为．（Ⅰ）求实数，的值；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）设，其中，，证明：．【解析】解：（Ⅰ）由，得，由，得（1），根据题意可得，解得；（Ⅱ）由不等式对任意恒成立知，恒成立，令，显然为偶函数，故当时，恒成立，，令，则，令，则，显然为上的增函数，故，即在上为增函数，，①当，即时，，则在上单调递增，故，则在上为增函数，故，符合题意；②当，即时，由于，故存在，，使得，故在单调递减，在，单调递增，当时，，故在单调递减，故，不合题意．综上，；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，，当且仅当时等号同时成立，故，，，，以上个式子相加得，．例3．设函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当且时，证明：．【解析】解：（1）函数，定义域为，，①当时，，则在上单调递减；②当时，令，解得，当时，，当，时，，所以的单调递增区间为，，递减区间为．综上所述，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，，递减区间为．（2）证明：当时，令，则，因为，则，所以在上单调递减，故（1），则，故．例4．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当，，时，证明：．【解析】解：（1）函数的定义域为，，当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，当时，由解得，由解得，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；（2）证明：令，则，（1），再令，则，当时，，，即，在，上单调递增，（1）（1），（1），在，上单调递增，（1），综上可知，．例5．已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当，时，证明：．【解析】（1）解：由，可得．当时，，则函数在上为增函数，当时，由，可得，由，可得．则函数在，上为增函数，在，上为减函数；（2）证明：令，令，则，，，又，，在上为增函数，则，即，由，可得，．【同步练习】1．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：．（注，【解析】解：（1）定义域为，，，，，，当时，，，在上单调递增，当时，，，在上单调递减，即在上单词递增，在上单调递减；证明：（2）由（1）知，在处取最小值，即（a），，，令（a），，，（a），（a）恒成立，（a）单调递减，又，，存在，使，令（a），故（a）在，上单调递增．（a），故（a）在，上单调递减．（a）最小值在0处取或处取，，．（a），，即．2．已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设，当时，证明：．【解析】解：（1），当时，，，当时，，，时，在上递减，在递增；时，在上递增，在递减；（2）证明：设，则，，时，，递减，，递增，，设，，则，时，时，递增，，递减，（1），（a）（a），，即得证．3．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：对任意，；（3）设，若对任意给定的，，关于的方程在，上有两个不同的实根，求实数的取值范围（其中为自然对数的底数）．【解析】解：（1）函数．，，当时，，在单调递增．当时，，在单调递增．当时，令，解得：，令，解得：，故在递增，在，递减．证明：（2）由（1）得，当时，在单调递增，当时，（1），，对任意，．解：（3），，，，单调递增，时，，单调递减，，时，的值域为，，由已知，由（e），得，，，，令，则单调递增，而，时，，，综上，实数的取值范围．4．已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）设，当时，证明：恒成立．【解析】解：（1）由题意可知，，①当时，，在上单调递增，②当时，．当时，，所以在上单调递减，．当时，，．当时，，所以在上单调递增；（2）要证，所以只需证，设，则，当时，；当时，；当时，，在时取得极小值，即为最小值（a），令（a），则（a），当时，（a）；当时，（a）；当时，（a），（a）在时取得极小值，即最小值为（1），当时，恒成立，即恒成立．5．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若，设，证明：，，，使．【解析】（1）解：．①当时，恒成立，当时，；当时，，所以，在上是减函数，在上是增函数．②当时，，．当时，；当时，；当时，，所以，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数．③当时，，则在上是减函数．④当时，，当时，；当时，；当时，，所以，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数．（2）证明：要证．，即证．由（1）可知，当，，时，，．令，，则故在上是减函数，有，所以，从而（2）．，，则，令，显然在上是增函数，且，（1），所以存在使，且在上是减函数，在，上是增函数，，所以，所以，命题成立．6．已知函数，其中．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，证明：（其中为自然对数的底数）．【解析】解：（1）由题意，函数的定义域为，．当时，或；；当时，；当时，或；．综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增；在上单调递减．（2）证明：当时，由，只需证明，令，．设，则．当时，，单调递减；当，时，，单调递增，当时，取得唯一的极小值，也是最小值，的最小值是成立．故成立．7．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：．【解析】解法一：（1）因为，定义域为，所以．当时，，在上单调递增，当时，时，，单调递增，时，，单调递减．综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减．所以．要证，只要证，即证．令，即证在上成立．令，即证．因为，所以在．上单调递增，在上单调递减．所以（1），命题得证．解法二：（1）同解法．（2）由（1）可知，当时，在单调递增，在单调递减，所以．要证，只要证，即证．因为，所以（a）在上单调递增，在上单调递减．所以（a），命题得证．8．已知函数．（1）时，讨论函数的单调性；（2）证明：当时，