高中数学 加练 专题6　第58练　数列的新定义问题

第58练数列的新定义问题(分值：40分)数列新定义问题的常见题型及解题方法一般有以下几种(1)数列中的新概念：遇到新概念问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.(2)以数列项与通项关系定义新数列：解决此类问题，关键是根据题干中的新定义、新公式、新定理、新法则、新运算等，将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系进行求解.(3)数列新情景：对于新情景问题，关键是要从问题情境中寻找“重要信息”，即研究对象的本质特征、数量关系(数量化的特征)等，建立数学模型求解.一、单项选择题(每小题5分，共15分)1.九连环是中国杰出的益智游戏.九连环由九个相互连接的环组成，这九个环套在一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这九个环从柄上解下来，规则如下：如果要解下(或安上)第n号环，则第(n-1)号环必须解下(或安上)，n-1往前的都要解下(或安上)才能实现.记解下n连环所需的最少移动步数为an，已知a1=1，a2=2，an=an-1+2an-2+1(n≥3)，则解六连环最少需要移动圆环步数为()A.42 B.85 C.256 D.341答案A解析由题意可得，a3=a2+2a1+1=2+2+1=5，a4=a3+2a2+1=5+4+1=10，a5=a4+2a3+1=10+10+1=21，a6=a5+2a4+1=21+20+1=42.2.将1，2，…，n按照某种顺序排成一列得到数列{an}，对任意1≤i<j≤n，如果ai>aj，那么称数对(ai，aj)构成数列{an}的一个逆序对.若n=4，则恰有2个逆序对的数列{an}的个数为()A.4 B.5 C.6 D.7答案B解析若n=4，则1≤i<j≤4，由1，2，3，4构成的逆序对有(4，3)，(4，2)，(4，1)，(3，2)，(3，1)，(2，1)，若数列{an}的第一个数为4，则至少有3个逆序对；若数列{an}的第二个数为4，则恰有2个逆序对的数列{an}为{1，4，2，3}；若数列{an}的第三个数为4，则恰有2个逆序对的数列{an}为{1，3，4，2}或{2，1，4，3}；若数列{an}的第四个数为4，则恰有2个逆序对的数列{an}为{2，3，1，4}或{3，1，2，4}，综上，恰有2个逆序对的数列{an}的个数为5.3.若项数均为n(n≥2，n∈N*)的两个数列{an}，{bn}满足ak-bk=k(k=1，2，…，n)，且集合{a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn}={1，2，3，…，2n}，则称数列{an}，{bn}是一对“n项紧密数列”.设数列{an}，{bn}是一对“4项紧密数列”，则这样的“4项紧密数列”有对()

A.5 B.6 C.7 D.8答案B解析由题意知a1-b1=1，a2-b2=2，a3-b3=3，a4-b4=4，所以(a1+a2+a3+a4)-(b1+b2+b3+b4)=10，又(a1+a2+a3+a4)+(b1+b2+b3+b4)=8×1+8所以a1+a2+a3+a4=23，b1+b2+b3+b4=13，故“4项紧密数列”有{an}：8，5，4，6，{bn}：7，3，1，2；{an}：8，4，6，5，{bn}：7，2，3，1；{an}：7，3，5，8，{bn}：6，1，2，4；{an}：3，8，7，5，{bn}：2，6，4，1；{an}：2，7，6，8，{bn}：1，5，3，4；{an}：2，6，8，7，{bn}：1，4，5，3，共有6对.二、多项选择题(共6分)4.已知数列{an}满足：对任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得{an}的前n项和Sn=am，则称{an}为“回旋数列”.以下结论中正确的是()A.若an=2026n，则{an}为“回旋数列”B.设{an}为等比数列，且公比q为有理数，则{an}为“回旋数列”C.设{an}为等差数列，当a1=1，公差d<0时，若{an}为“回旋数列”，则d=-1D.若{an}为“回旋数列”，则对任意n∈N*，总存在m∈N*，使得an=Sm答案AC解析对于A，由an=2026n可得Sn=2026(1+2+3+…+n)=2026×n(由Sn=am可得2026×n(n+1)2=2026m，取m=n(n+1)2即可，则{an对于B，当q=1时，Sn=na1，am=a1，由Sn=am可得na1=a1，故当n=2时，很明显na1=a1不成立，故{an}不是“回旋数列”，故B错误；对于C，{an}是等差数列，故am=1+(m-1)d，Sn=n+n(n-1)2d，因为数列{an}是“回旋数列”，所以1+(m-1)d=n即m=n-1d+n其中n(所以要保证n-1故d为所有非负整数的公约数，且d<0，所以d=-1，故C正确；对于D，由A可知，当an=2026n时，{an}为“回旋数列”，取a2=2026×2，Sm=2026×m(m+1)2，显然不存在m∈N*，使得Sm=a2=2026×2三、填空题(共5分)5.设数列{an}满足a1=a2=1，且an+2-an=an+1(n∈N*).用模取余运算amodb=c表示“整数a除以整数b，所得余数为整数c”，如1mod4=1，2mod4=2，4mod4=0.设bk=2k3，akmod4=0，k，akmod4≠0，其中k∈N*，则b12=；若数列答案16219解析由a1=a2=1，且an+2-an=an+1(n∈N*)得，a3=2，a4=3，a5=5，a6=8，a7=13，a8=21，a9=34，a10=55，a11=89，a12=144，…，所以数列{an}各项除以4的余数为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，则各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，所以当k为6的整数倍时，bk=2k当k不为6的整数倍时，bk=k，所以b12=24=16；S18=1+2+3+4+5+22+7+8+9+10+11+24+13+14+15+16+17+26=219.四、解答题(共14分)6.(14分)在无穷数列{an}中，若对任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得an+an+2m=2an+m，则称{an}为m阶等差数列.在正项无穷数列{bn}中，若对任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得bnbn+2m=bn+m2，则称{bn}(1)若数列{bn}为1阶等比数列，b1+b2+b3=72，b3+b4+b5=78，求{bn}的通项公式及前n项和；(5(2)若数列{lncn}为m阶等差数列，求证：{cn}为m阶等比数列；(4分)(3)若数列{lncn}既是m阶等差数列，又是m+1阶等差数列，证明：{cn}是等比数列.(5分)(1)解因为{bn}为1阶等比数列，所以{bn}为正项等比数列，设公比为q，则q>0，由已知得b1(1+q+q2因为q>0，所以q=12，所以b1=2所以{bn}的通项公式bn=b1qn-1=2×12n-1前n项和Sn=b1(1-qn)(2)证明因为{lncn}为m阶等差数列，所以对任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得lncn+lncn+2m=2lncn+m成立，所以ln(cn·cn+2m)=lncn即cncn+2m=cn+m2，所以{cn}(3)证明因为{lncn}既是m阶等差数列，又是m+1阶等差数列，所以对∀n∈N*，都存在m∈N*，使得lncn+lncn+2m=2lncn+m与lncn+lncn+2(m+1)=2lncn+