数学同步练习：一次函数和二次函数第三小节

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.2。3待定系数法1．已知一个正比例函数的图象过（2,8）点，则这个函数的解析式为（)A．y＝4xB．y＝－4xC．y＝eq\f(1，4)xD．y＝－eq\f（1，4)x2．若直线y＝eq\f(1,2）x＋n与直线y＝mx－1相交于点(1,2），则有()A．n＝－eq\f(5，2）,m＝eq\f（1,2）B．n＝1，m＝eq\f（1,2)C．n＝－eq\f(5,2),m＝－1D．n＝eq\f（3,2)，m＝33．如果直线y＝ax＋2与y＝bx＋3的图象相交于x轴上一点,那么a，b的关系为()A．a＝bB．a∶b＝2∶3C．a＋2＝b＋3D．a·b＝14．已知2x2＋x－3＝（x－1）(ax＋b)，则a＝__________，b＝__________。5．已知抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋1交于两点，其中一点坐标为（1,4），则另一点的坐标为__________．1．已知一个一次函数的图象经过点（1,3),(3，4)，则这个函数的解析式为(）A．y＝eq\f（1，2）x－eq\f（5，2）B．y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(5，2)C．y＝－eq\f（1,2）x＋eq\f（5，2）D．y＝－eq\f（1，2)x－eq\f(5，2）2．已知一个二次函数的顶点为（0,4)，且过(1，5)点,则这个二次函数的解析式为（）A．y＝eq\f(1，4)x2＋1B．y＝eq\f(1,4）x2＋4C．y＝4x2＋1D．y＝x2＋43．已知一个二次函数经过(－1,0),（1,0），（2,3）点，则这个函数的解析式为（)A．y＝x2－1B．y＝1－x2C．y＝eq\f（1，2)x2＋1D．y＝eq\f(1，2)x2－14．函数y＝x2－4x＋3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C，则△ABC的面积为__________．5．已知一个二次函数y＝f(x)，f(0）＝3，又知当x＝－3或－5时，这个函数的值都为零，则这个二次函数的解析式为__________．6．如图，一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面1eq\f（2,3)m，铅球落地点距铅球刚出手时的水平距离为10m，铅球运动的最高点M距地面3m．已知铅球的运动轨迹是抛物线,求这个抛物线的解析式．7．已知一次函数的图象与x轴的交点为A（6,0)，又与正比例函数图象交于B点，点B在第一象限且横坐标为4,如果△AOB（O为原点）的面积为15，求这个正比例函数和一次函数的解析式．1．若(2,5),(4,5）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的两点，那么它的对称轴为直线()A．x＝－eq\f（b，a）B．x＝1C．x＝2D．x＝32．如图所示，函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0)的对称轴为直线x＝3，则a，b，c应满足的条件为（）A．ab＋c<0B．2a＋b＋c〉0C．a〉b>cD．a>eq\f(a，c）3．若f(x)＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x）在［－3，1］上（）A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增4．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到下列文字:“已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点（1，2)，…,求证:这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．”根据以上信息，题中的二次函数图象不具有的性质是(）A．过点(3,0）B．顶点为（2，2）C．在x轴上截得的线段长为2D．与y轴交点为（0，3)5。已知关于抛物线y＝（m＋6)x2＋2(m－1）x＋m＋1的图象与x轴的两交点的横坐标满足倒数之和等于－4，则m＝__________.6．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位,得到的二次函数为y＝x2－2x＋1，则b＝__________,c＝__________。7．某抛物线与y＝2x2的图象形状相同，对称轴平行于y轴,且顶点为（－1，3），则它的解析式为__________．8．已知二次函数f(x）满足f（2)＝－1,f（－1）＝－1，且f（x)的最大值为8，试确定二次函数的解析式．9．已知二次函数满足f（x－2)＝f（－x－2），且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2eq\r(2),求f(x)的表达式．10．已知函数f（x）＝ax2＋a2x＋2b－a3，(1)当x∈（－2,6）时，其值为正，而当x∈（－∞,－2)∪（6，＋∞）时，其值为负，求a，b的值及函数f（x)的表达式；(2）设F（x）＝－eq\f（k，4)f(x)＋4（k＋1）x＋2(6k－1)，问：k取何值时，函数F(x）的值恒为负？答案与解析课前预习1．A设函数为y＝kx（k≠0），把（2,8)代入得8＝2k，即k＝4.∴解析式为y＝4x。此题也可代入验证．2．D把(1，2)分别代入两直线方程可得n＝eq\f(3，2),m＝3.3．B设两函数图象相交于点（t,0），代入函数解析式得a＝－eq\f（2，t)，b＝－eq\f（3，t).∴a∶b＝（－eq\f（2,t)）∶（－eq\f（3,t))＝2∶3.4．23（x－1）(ax＋b）＝ax2＋（b－a)x－b＝2x2＋x－3，比较系数可得a＝2，b＝3。5．(－eq\f（1，4），eq\f(1，4)）由题意可得4＝a·12，4＝k×1＋1，∴a＝4,k＝3，解方程组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝4x2，,y＝3x＋1，)）得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4))或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,4),，y＝\f（1,4).)）课堂巩固1．B由题意设y＝kx＋b（k≠0），把(1，3）、(3,4)代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（3＝k＋b,，4＝3k＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（k＝\f(1，2)，，b＝\f（5,2）。))∴y＝eq\f（1,2)x＋eq\f(5，2)。点评:用待定系数法求解析式的步骤为:（1）设出所求函数的解析式；（2）依据条件列出方程组;(3)解方程组,求出待定系数；（4)得出结论．2．D依题意设解析式为y＝ax2＋4(a≠0），把(1,5)代入得a＝1，∴y＝x2＋4。3．A设解析式为y＝ax2＋bx＋c,把（－1,0)，(1,0)，（2,3)代入得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a－b＋c＝0，,a＋b＋c＝0，,4a＋2b＋c＝3,）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝1,,b＝0，,c＝－1.））∴y＝x2－1。4。3由题意，A、B、C三点的坐标分别为A(1,0）,B（3,0），C（0，3），∴S△ABC＝eq\f（1，2）｜AB｜·h＝eq\f（1，2)×2×3＝3。5．y＝eq\f(1，5）x2＋eq\f(8，5)x＋3由题意，可设二次函数的解析式为y＝a(x＋3）(x＋5)，把（0,3）点代入得3＝a(0＋3）（0＋5），∴a＝eq\f（1,5),即y＝eq\f（1，5)（x＋3）(x＋5）＝eq\f(1，5)x2＋eq\f(8,5)x＋3.6．解法一：设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c,则eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(c＝1\f（2,3)，,100a＋10b＋c＝0，,\f（4ac－b2,4a）＝3，))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（b＝－\f（1,12),，b＝\f（2,3），，c＝\f（5,3）。））∴y＝－eq\f（1，12）x2＋eq\f(2，3）x＋eq\f（5，3）。解法二:设抛物线解析式为y＝a（x－h)2＋3.则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（1\f（2，3)＝ah2＋3,,0＝a(10－h)2＋3，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f（1,12),,h＝4。）)∴y＝－eq\f（1,12)（x－4）2＋3，即y＝－eq\f(1，12）x2＋eq\f(2，3)x＋eq\f(5，3）。7．解：∵点B在第一象限，且横坐标为4，∴设B（4，m）（m〉0)，如图所示：S△AOB＝eq\f（1，2）·OA·m，∴15＝eq\f（1，2）×6m，得m＝5。设正比例函数和一次函数解析式分别为y＝k1x和y＝k2x＋b.把B（4,5）代入y＝k1x,得k1＝eq\f(5,4)，∴y＝eq\f(5，4）x。把B(4，5)、A（6，0）代入y＝k2x＋b,得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（4k2＋b＝5,，6k2＋b＝0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（k2＝－\f(5，2)，,b＝15。)）∴y＝－eq\f（5,2)x＋15.课后检测1．D(2,5）与(4，5）两点关于直线x＝3对称．2．A∵抛物线的开口向上,∴a>0.又∵对称轴为－eq\f(b,2a)＝3>0，∴b〈0。∴ab<0，由图象知c<0.∴ab＋c〈0。3．C∵f（x）为偶数,∴m＝0，即f(x）＝－x2＋3。∴f（x)在[－3，1］上先增后减．4．B由题意可得1＋b＋c＝0且－eq\f(b,2)＝2,∴b＝－4，c＝3。∴y＝x2－4x＋3＝(x－2）2－1。∴抛物线的顶点为（2，－1)，不是（2，2）．5．－3由题意得eq\f（1，x1)＋eq\f(1,x2)＝－4,即eq\f(x1＋x2，x1x2）＝－4，又x1＋x2＝－eq\f（2(m－1），m＋6)，x1·x2＝eq\f（m＋1,m＋6），∴eq\f(－2m＋2,m＋1）＝－4，解得m＝－3。6．－66y＝x2－2x＋1向下平移3个单位得y＝x2－2x＋1－3＝x2－2x－2，再向右平移2个单位得y＝(x－2)2－2（x－2）－2＝x2－6x＋6。7．y＝±2(x＋1)2＋3∵抛物线的形状与y＝2x2的图象相同,∴二次项系数a满足|a|＝2.∴a＝±2。又顶点为(－1,3)，对称轴平行于y轴,∴y＝±2（x＋1）2＋3。8．解法一：设f（x）＝ax2＋bx＋c(a≠0),由已知条件,得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（4a＋2b＋c＝－1，，a－b＋c＝－1，，\f（4ac－b2，4a）＝8，)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4,,b＝4，,c＝7。)）所以所求二次函数的解析式为f(x）＝－4x2＋4x＋7.解法二:设f(x）＝a（x－h）2＋k(a≠0)．因为f(2）＝f（－1），所以抛物线的对称轴为x＝eq\f（2－1，2)＝eq\f(1，2）。所以h＝eq\f(1,2）。又函数的最大值为8,所以k＝8，故f（x)＝a（x－eq\f（1,2））2＋8。因为f（2）＝－1，所以a(2－eq\f（1,2)）2＋8＝－1，解得a＝－4。所以f(x)＝－4（x－eq\f（1，2)）2＋8＝－4x2＋4x＋7。解法三：由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1.故可得f(x)＋1＝a(x－2)（x＋1），即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又f(x）max＝8，所以eq\f(4a（－2a－1）－a2,4a）＝8,解得a＝－4或a＝0(舍去)，所以所求二次函数的解析式为f(x）＝－4x2＋4x＋7.9．解：设f（x）的表达式为f(x）＝ax2＋bx＋c，∵在y轴上的截距为1，即过(0，1)点,∴c＝1.即f(x)＝ax2＋bx＋1.又∵f(x－2)＝f(－x－2），∴对称轴为x＝－2.即－eq\f(b,2a）＝－2，∴b＝4a.①设图象与x轴交点的横坐标为x1，x2,则x1＋x2＝－eq\f(b，a),x1x2＝eq\f(1，a).又∵|x1－x2｜＝2eq\r(2），∴（x1－x2)2＝8。即（x1＋x2）2－4x1x2＝8，∴eq\f（b2,a2）－eq\f(4,a）＝8.②解①②组成的方程组，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝\f(1,2），，b＝2。)）∴f（x）＝eq\f（1，2)x2＋2x＋1.10．解：（1)依题意可得a<0且f(－2)＝0，f(6)＝0