福建省、广东省、河南省2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年福建省中考数学试卷

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.（4分）计算干+（-1）"的结果是（）

A.5B.4C.3D.2

2.（4分）北京故宫的占地面积约为720000/日将720000用科学记数法表示为（）

A.72X10'B.7.2X105C.7.2X10，D.0.72X106

3.（4分）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.等边三角形B.直角三角形C.平行四边形D.正方形

4.（4分）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（）

5.（4分）已知正多边形的一个外角为36°,则该正多边形的边数为（）

A.12B.10C.8D.6

6.（4分）如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折

线统计图，则下列判断错误的是（）

B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好

C.丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高

D.就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳

7.（4分）下列运算正确的是（）

A.a,a—aB.（2a）

C.a-i-a—ifD.（a2）：!-（-a）2—0

8.（4分）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，

问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的

字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设

他第一天读入个字，则下面所列方程正确的是（）

A.x+2x+4x=34685B.x+2x+3x=34685

C.户2A+2%=34685D.x+—x+—x—34685

24

9.（4分）如图，PA、阳是。。切线，A.E为切点、,点。在。。上，且//。=55°,则/

APB等于（）

A.55°B.70°C.110°D.125°

10.（4分）若二次函数y=\a\x+bx^-c的图象经过A（//;,/?）、B（0,0）、C（3-in,n）、D

（V2>%）、E（2,%），则%、必、必的大小关系是（）

A.y\<y-i<yzB.%<%<姓C.D.j^<y3<yi

二、填空题（每小题4分，共24分）

11.（4分）因式分解：x-9—.

12.（4分）如图，数轴上1、6两点所表示的数分别是-4和2,点。是线段48的中点，则

点C所表示的数是.

4C.4、

~:41~02~>

13.（4分）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎，

随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所

学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有人.

14.（4分）在平面直角坐标系xa中，a'的三个顶点0（0,0）、A（3,0）、8（4,2）,

则其第四个顶点是.

15.（4分）如图，边长为2的正方形力8面中心与半径为2的。。的圆心重合，E、尸分别是

AD.胡的延长与。。的交点，则图中阴影部分的面积是.（结果保留"）

16.（4分）如图，菱形/腼顶点/在函数度=3（x>0）的图象上，函数y=k（A>3,x

XX

>0）的图象关于直线然对称，且经过点反〃两点，若AB=2,ZBAD=30°,则k=.

17.（8分）解方程组（XZ5

I2x+y=4

18.（8分）如图，点反尸分别是矩形力阅7的边力8、⑺上的一点，且以=幽求证：AF

19.（8分）先化简，再求值：（x-1）+（x-2xzL）,其中*=扬1.

x

20.（8分）已知△力回和点力,如图.

（1）以点/为一个顶点作RC,使△/BCs/\ABC,且△/'BC的面积等于△49C

面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）设久氏尸分别是△/阿三边AB、BC、/C的中点，〃、后、户分别是你所作的BC

三边/'夕、BC、C4的中点，求证：XDEFsN）EF.

c

21.(8分)在口△心心中，/46C=90°,N/g30°,将△?!比■绕点力顺时针旋转一定的

角度a得到△龙C,点/、8的对应点分别是2E.

(1)当点£恰好在4c上时，如图1,求N4龙的大小；

(2)若a=60°时，点夕是边4c中点，如图2,求证：四边形应力7是平行四边形.

22.(10分)某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山"的发展理念，投资组建了日废水

处理量为7吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产规模

的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废

水交给第三方企业处理.已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨

废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，5

月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元.

(1)求该车间的日废水处理量m.

(2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处

理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.

23.(10分)某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外

购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元.每台机器在使用期间，如果维修次数

未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元;

如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费

5000元，但无需支付工时费.某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同

时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修

次数，整理得下表；

维修次数89101112

频率(台数)1020303010

(1)以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概

率；

(2)试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一

次性额外购10次还是11次维修服务？

24.(12分)如图，四边形1比》内接于。0,AB=AC,ACLBD,垂足为反点尸在劭的延长

线上，且DF=DC,连接"、CF.

(1)求证：N物C=2NG4〃；

(2)若力尸=10,BC=4娓,求tan/刃〃的值.

25.(14分)已知抛物尸aV+6肝c(8<0)与x轴只有一个公共点.

(1)若抛物线与x轴的公共点坐标为(2,0),求a、c满足的关系式;

(2)设力为抛物线上的一定点，直线/：尸小1-A■与抛物线交于点反C,直线劭垂

直于直线尸-1,垂足为点〃.当4=0时，直线/与抛物线的一个交点在y轴上，且4

/比1为等腰直角三角形.

①求点A的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数A,都有4、D、。三点共线.

2019年福建省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.【解答】解：原式=4+1=5

故选：A.

2.【解答】解：将720000用科学记数法表示为7.2X105.

故选：B.

3.【解答】解：A,等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误;

从直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；

a平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

〃、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确.

故选：D.

4.【解答】解：几何体的主视图为：

5.【解答】解：360°+36°=10,所以这个正多边形是正十边形.

故选：B.

6.【解答】解：A.甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确;

B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确；

C.丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确

D.就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故〃错误.

故选：D.

7.【解答】解：A原式=a"，不符合题意；

B、原式=8拼，不符合题意；

C、原式=3,不符合题意；

〃、原式=0,符合题意，

故选：D.

8.【解答】解：设他第一天读x个字，根据题意可得：x+2x+4x=34685,

故选：A.

9.【解答】解：连接OA,0B,

・・・为，加是。。的切线，

：.PALOA,PBLOB,

VZACB=55°,

：.ZAOB=no°,

AZW=360o-90°-90°-110°=70°.

10.【解答】解：•.•经过力(/»,〃)、C(3-勿，〃)，

二次函数的对称轴x=*,

2

•.,8(0,M)、〃(血,%)、“(2,M)与对称轴的距离8最远，〃最近,

V|a|>0,

故选：D.

二、填空题(每小题4分，共24分)

11.【解答］解：原式=(田3)(x-3),

故答案为：(户3)(x-3).

12•【解答】解：•.•数轴上4目两点所表示的数分别是-4和2,

线段46的中点所表示的数=L(-4+2)=-1.

2

即点。所表示的数是-1.

故答案为：-1

13.【解答】解：由题意得：2000X型_=1200人，

100

故答案为：1200.

14.【解答】解：；0(0,0)、A(3,0),

.•.如=3,

四边形》留是平行四边形，

：.BC//OA,BC=0A=3,

"：B(4,2),

二点。的坐标为(4-3,2),

即(7(1,2)；

故答案为：(1,2).

15.【解答］解：延长CB交00于M,N,

则图中阴影部分的面积=!乂(S网。-S正方彩的)=lx(4n-4)=n-1,

44

故答案为：兀-1.

16.【解答】解：连接％,〃过力作轴于点反延长加与x轴交于点E过点〃作

•.•函数y=k(〃>3,x>0)的图象关于直线4C对称,

X

・・・0、/、C三点在同直线上，且NC施=45°,

.・・OE=AE,

不妨设0E=AE=a,则ACa,a),

•.•点/在在反比例函数尸卫(x>0)的图象上，

X

・••才=3,

***a=

:.AE=0E=M，

*：/BAD=30°,

：.NOAF=NCAD=L/BAgl5°,

2

,：AOAE=AAOE=^°,

：.ZEAF=30°,

：.AF=—邂一-o,上=4既an30°=1,

cos300

'：AB^AD=2,AE//DG,

：.EF=EG=\,DG=2AE=2y13,

：.OG=0E+EG=4^3

：.D(V3+1,25/3),

故答案为：6+2«.

三、解答题(共86分)

17.【解答】解：卜Z5R,

12x+y=4②

①+②得：3x=9,即x=3,

把x=3代入①得：尸-2,

则方程组的解为1x=3.

ly=-2

18.【解答】证明：•.•四边形四切是矩形，

:./g4490°,AD=BC,

'AD=BC

在△加班和△以的中，.ND=NB，

DF=BE

:.△ADgXBCE(SIS),

：.AF=CE.

2

19•【解答】解：原式=(%-1)+x-2x+l

x

=(X-1)•-----------

(X-1)2

当x=-/2+l,

原式=圾+1

&+1T

20.【解答】解：（1）作线段A'C=2AC.AB=2AB,BC=2BC,得△/'8C即可所求.

证明：V/C^2Aa#8=2AB、BC=2BC,

：.XABCs/\*B'C,

.SAAZBZCZ尽B'、2”

SAABC

(2)证明：

图2

,:D、E、尸分别是三边48、BC,｛，的中点，

•,"£=/BC，DF^-AC'EF=yAB-

:ZEFsXABC

同理：XDRFsXRBC,

由(1)可知：XABCsl\KB'C,

:.丛DEFs/\DEF.

21•【解答】(1)解：如图1,a'绕点/I顺时针旋转a得到△&笫，点后恰好在上,

：.CA=CD,ZECD=NBCA=3Q°,NDEC=NABC=9Q°,

'：CA=CD，

：.ZCAD=ZCDA=1.(180°-30°)=75°,

2

二NADE=9Q°-75°=25°；

(2)证明：如图2,

♦.•点厂是边4C中点，

:.BF=LC,

2

VZJG?=30°,

：.AB=kAC,

2

：.BF=AB,

"：△/a1绕点A顺时针旋转60得到△〃蜕

:.NBCE=NACD=6Q°,CB=CE,DE=AB,

：.DE=BF,△/切和△8CX'为等边三角形，

：.BE=CB,

；点尸为的边4C的中点，

：.DFA.AC,

易证得屋

：.DF=BC,

:.DF=BE,

而BF=DE,

四边形位M是平行四边形.

22.【解答】解:(1)V35X8+30=310(元)，310050,

m<35.

依题意，得：30+8/12(35-加=370,

解得：0=20.

答：该车间的日废水处理量为20吨.

(2)设一天产生工业废水x吨，

当0<xW20时，8卢30W10x,

解得：15WA<20；

当x>20时,12(%-20)+8X20+30^10%,

解得：20cxW25.

综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为15W后20.

23•【解答】解：(1)“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率=型_=0.6.

100

(2)购买10次时，

某台机器使用期内维修次数89101112

该台机器维修费用2400024500250003000035000

此时这100台机器维修费用的平均数

%=」一(24000X10+24500X20+25000X30+30000X30+35000X10)=27300

100

购买11次时，

某台机器使用期内维修次数89101112

该台机器维修费用2600026500270002750032500

此时这100台机器维修费用的平均数

度=」―(26000X10+26500X20+27000X30+27500X30+32500X10)=27500,

100

V27300<27500,

所以，选择购买10次维修服务.

24.【解答】解：(1),：AB=AC,

二篇=记ZABC=AACB,

:.NABC=NADB,/械'=L(180。-NBAO=90°-k^BAC,

22

■:BD1AC,

①=90°-ACAD,

：.L^BAC=ZCAD,

2

:"BAC=2/CAD；

(2)解：'：DF=DC,

:./DFC=/DCF,

:./BDC=2乙DFC,

NBFC=LNBDC=LNBAC=乙FBC,

22

:.CB=CF,

又BDLAC,

二/1。是线段即的中垂线，AB=AF=\0,AC=10.

又BC=4近,

设45—x,支=10-人

由Al?-AB=Bd-Cl得100-x=80-(10-x)2,

解得x=6,

；・止=6,BE=8,CE=4,

,,^=AE<E=6><4=3>

BE8

:.BD=BE+DE=3+8=13

作DFLLAB,垂足为

,:LAB*DH=LBD*AE,

22

•彼=8D咕t=11><6=33

AB10'T'

二丽加2旬112=普，

:.AH=AB-阴=10-丝=£,

55

.".tanZa4Z>=—.

AH62

25•【解答】解：(1)抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y=a(x-2)

=ax-4a户4a,

则c=4a；

(2)尸Ml-*=A(*-1)+1过定点(1,1),

且当衣=0时，直线/变为y=l平行x轴，与轴的交点为(0,1),

又△/先为等腰直角三角形，

...点/为抛物线的顶点；

①c=l,顶点A(1,0),

抛物线的解析式：y=x-2^+1,

f2

②］产X-2x+l,

y=kx+l-k

x-(2+〃)产A=0,

X、(2+H5y^),

XD=XB——(2+k-Jk2+4)，%=~1;

则£(1占号工-1),

片2(2+^+AVk2+4,

6(1+kWp+l>屋斗IZk),](i,0),

.•.直线/〃表达式中的A值为：kAI,=

直线表达式中的在值为：a=卜+依+4,

2

.•.七/,=以■，点4C、〃三点共线.

2019年广东省初中学业水平考试数学

说明：1.全卷共4页，满分为120分，考试用时为100分钟.

2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓

名、考场号、座位号.用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑.

3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,

如需改动，用像皮榛干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上.

4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区

域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使

用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

5.考生务必保持答题卡的整洁.考试结束时，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)在每小题列出的四个选项中，只有

一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.

1.-2的绝对值是

A.2B.-2C.-D.±2

2

【答案】A

【解析】正数的绝对值是它本身，负数的绝时值是它的相反数，0的绝对值是0.

【考点】绝对值

2.某网店2019年母亲节这天的营业额为221000元，将数221000用科学记数法表示为

A.2.21X106B.2.21X105C.221X103D.0.221X106

【答案】B

【解析】aXIO”形式，其中0W|a|<10.

【考点】科学记数法

3.如图，由4个相同正方体组合而成的几何体，它的左视图是

上视方向

CD

【答案】A

【解析】从左边看，得出左视图.

【考点】简单组合体的三视图

4.下列计算正确的是

A.b6^b3=b2B.b3-b3=b9C.a2+a2=2a2D.(a3)W

【答案】C

【解析】合并同类项：字母部分不变，系数相加减.

【考点】同底数事的乘除，合并同类项，幕的乘方

5.下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是

ABCD

【答案】c

【解析】轴对称与中心对称的概念.

【考点】轴对称与中心对称

6.数据3、3、5、8、11的中位数是

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】按顺序排列，中间的数或者中间两个数的平均数.

【考点】中位数的概念

7.实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是

A.a>bB.|a|<|b|C.a+b>0D.-<0

b

,a,,b,,

-2-1012

【答案】D

【解析】a是负数，b是正数，异号两数相乘或相除都得负.

【考点】数与代数式的大小比较，数轴的认识

8.化简好的结果是

A.-4B.4C.±4D.2

【答案】B

【解析】公式行=同.

【考点】二次根式

9.己知小、X2是一元二次方程了xJ2x=0的两个实数根，下列结论错误的是

A.XiWx2B.xi2-2xi=0C.xi+xa=2D.Xi,X2=2

【答案】D

【解析】因式分解x(x-2)=0,解得两个根分别为0和2,代入选项排除法.

【考点】一元二次方程的解的概念和计算

10.如图，正方形ABCD的边长为4,延长CB至E使EB=2,以EB为边在上方作正方形EFGB,

延长FG交DC于M,连接AM、AF,II为AD的中点，连接FH分别与AB、AM交于点N、K.则

下列结论：①AANH四△GNF；②NAFN=NHFG；③FN=2NK；④S△丽:S△制=1:4.其中正确

的结论有

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】AH=GF=2,ZANH=ZGNF,ZAHN=ZGFN,△ANHgZ\GNF(AAS),①正确；由①得AN=GN=1,

VNG±FG,NA不垂直于AF,，FN不是NAFG的角平分线，；.NAFN¥/HFG,②错误；

由△AKHsAMKF,且AH:MF=1:3,AKH:KF=1:3,又VFN=HN一\K为NH的中点，即FN=2NK,

③正确；SziAFtF—AN•FG=1)SAADM=-DM•AD=4,；.SAAH«:SAADM=1:4,④正确.

22

【考点】正方形的性质，平行线的应用，角平分线的性质，全等三角形，相似三角形，三角

形的面积

二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)请将下列各题的正确答案填写在答题

卡相应的位置上.

11.计算2019°+(1)T=

3

【答案】4

【解析】1+3=4

【考点】零指数幕和负指数基的运算

12.如图，已知a〃b,Zl=75°,则Z2=___

【解析】180°-75°=105°.

【考点】平行线的性质

13.一个多边形的内角和是1080°,这个多边形的边数是

【答案】8

【解析】(n-2)X180°=1080",解得n=8.

【考点】n边形的内角和=(n-2)X180°

14.已知x=2y+3,则代数式4x-8y+9的值是.

【答案】21

【解析】由已知条件得x-2y=3,原式=4(x-2y)+9=12+9=21.

【考点】代数式的整体思想

15.如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=15石米，在实验楼的顶部B点测得

教学楼顶部A点的仰角是30。，底部C点的俯角是45°,则教学楼AC的高度是

_________________米(结果保留根号).

C门来，D

【答案】15+15J3

【解析】AC=CD•tan30°+CD-tan45°=15+15月.

【考点】解直角三角形，特殊三角函数值

16.如题16T图所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明

按题16-2图所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样

的图形（题16-1图）拼出来的图形的总长度是（结果用含a、

b代数式表示）.

题16-1图题16-2图

【答案】a+8b

【解析】每个接触部分的相扣长度为（a-b）,则下方空余部分的长度为a-2（a-b）=2b-a,

3个拼出来的图形有1段空余长度，总长度=2a+（2b-a）=a+2b：5个拼出来的图形有2

段空余长度，总长度=3a+2（2b-a）=a+4b；7个拼出来的图形有3段空余长度，总长度

=4a+3（2b-a）=a+6b：9个拼出来的图形有4段空余长度，总长度=5a+4（2b-a）=a+8b.

【考点】规律探究题型

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）

17.解不等式组：®

[2（x+l）>4②

【答案】

解：由①得x>3,由②得x>l,

原不等式组的解集为x>3.

【考点】解一元一次不等式组

18.先化简，再求值：（二7-」一〕十•二，其中x=血.

Vx-2x-2；x2-4

【答案】

解：原式="■X2-X

x-2x2-4

X_1x(X+2*x_2)

x-2x(x-1)

x+2

x

V2+22+2V2,r-

当X-,原式：F

【考点】分式的化简求值，包括通分、约分、因式分解、二次根式计算

19.如图，在AABC中，点D是AB边上的一点.

（1）请用尺规作图法，在AABC内，求作NADE.使/ADE=NB,DE交AC于E；（不要求写

作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若A空D一2,求A里F的值.

DBEC

【答案】

解：（1）如图所示，NADE为所求.

（2）VZADE=ZB

ADE//BC

.AEAD

..---=----

ECDB

,/——二2

A；—二2

【考点】尺规作图之作一个角等于已知角，平行线分线段成比例

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）

20.为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将

测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如题20图表所示，

根据图表信息解答下列问题：

成绩等级频数分布表成绩等级频扇形统计图

成绩等级频数

A24

B10

CX

D2

合计y

题20图表

（1）x=y=_扇形图中表示C的圆心角的度数为——度；

（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育

锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲、乙两名学生的概率.

【答案】

4

解：⑴y=104-25%=40,x=40-24-10-2=4,C的圆心角=360°X一=36°

40

（2）画树状图如下：

开始

（甲乙）（甲丙）（甲乙）（乙丙）（甲丙）（乙丙）

一共有6种可能结果，每种结果出现的可能性相同，其中同时抽到甲、乙的结果有2种

.p21

63

答：同时抽到甲、乙两名学生的概率为2.

3

【考点】数据收集与分析，概率的计算

21.某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，己知每个篮球的价格为

70元，每个足球的价格为80元.

（1）若购买这两类球的总金额为4600元，篮球、足球各买了多少个？

（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，最多可购买多少个篮球？

【答案】

解：（1）设购买篮球x个，则足球（60-x）个.

由题意得70x+80（60-x）=4600,解得x=20

则60-x=60-20=40.

答：篮球买了20个，足球买了40个.

（2）设购买了篮球y个.

由题意得70yW80(60-x),解得yW32

答：最多可购买篮球32个.

【考点】一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用

22.在如图所示的网格中，每个正方形的连长为1,每个小正方形的顶点叫格点，^ABC的

三个顶点均在格点上，以点A为圆心的&与BC相切于点D,分别交AB、AC于点E、F.

(1)求△ABC三边的长；

(2)求图中由线段EB、BC、CF及&所围成的阴影部分的面积.

解：⑴由题意可知，AB=V22+62=2710,AC=722+62=2V10,

BC=A/42+82=4A/5

(2)连接AD

由(1)可知，AB2+AC2=BC2,AB=AC

.1.ZBAC=90°,且aABC是等腰直角三角形

,/以点A为圆心的笳与BC相切于点D

.,.AD1BC

.\AD=-BC-275(或用等面积法AB-AC=BC-AD求出AD长度)

2

,*'S网影=SziABC-S扇形EAF

Saw二—X2VHy乂2A/10^=20

2x

2

S喇形EA广;乃(26)二5兀

.*•S阴/=20-5n

【考点】勾股定理及其逆定理，阴影面积的计算包括三角形和扇形的面积公式

五、解答题(三)(本大题3小题，每小题7分，共21分)

23.如图，一次函数丫=1＜送+13的图象与反比例函数y=^的图象相交于A、B两点，其中点A

X

的坐标为（-1,4）,点B的坐标为（4,n）.

（1）根据函数图象，直接写出满足hx+b＞上•的X的取值范围;

X

（2）求这两个函数的表达式；

（3）点P在线段AB上，且S△.：$丽=1:2,求点P的坐标.

解：(1)x<T或0<x<4

(2)♦.•反比例函数y=々•图象过点A(-1,4)

X

4-——,解得kz=-4

-1

4

，反比例函数表达式为丫=——

x

4

・・•反比例函数y=--图象过点B(4,n)

x

4

.\n=—=-1,AB(4,-1)

4

二•一次函数y=kix+b图象过A(-1,4)和B(4,-1)

J=4k,+b，解得

、b=3

一次函数表达式为y=-x+3

（3）：P在线段AB上，设P点坐标为（a,-a+3）

...△AOP和ABOP的高相同

,•*SAAOP:S/iBOP=l:2

/.AP:BP=1:2

过点B作BC〃x轴，过点A、P分别作AMLBC,PNLBC交于点M、N

BPBN

VMN=a+l,BN=4-a

27

.•.点P坐标为(一，一)

33

(或用两点之间的距离公式AP=1(a+。+(a+3-4)2,BP=7(4-a)2+(-l+a-3)2,由

AD]9

——'=一解得ai=—,a2=-6舍去)

BP23

【考点】一次函数和反比例函数的数形结合，会比较函数之间的大小关系，会求函数的解析

式，同高的三角形的面积比与底边比的关系

24.如题24-1图，在aABC中，AB=AC,。。是AABC的外接圆，过点C作/BCD=NACB交。

0于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF.

(1)求证：ED=EC；

(2)求证：AF是。0的切线；

(3)如题24-2图，若点G是△ACD的内心，BC-BE=25,求BG的长.

题24-1图题24-2图

【答案】

(1)证明：VAB=AC

.\ZB==ZACB

,/ZBCD=ZACB

・•・NB=NBCD

C

：AC=AC

ZB=ZD

，ZBCD=ZD

.*.ED=EC

(2)证明：

题24-1图

连接AO并延长交。0于点G,连接CG

由⑴得NB=NBCD

...AB〃【)F

VAB=AC,CF=AC

；.AB=CF

四边形ABCF是平行四边形

ZCAF=ZACB

VAG为直径

ZACG=90°,即NG+NGAC=90°

VZG=ZB,ZB=ZACB

ZACB+ZGAC=90"

ZCAF+ZGAC=90°即Z0AF=90°

•.,点A在。。上

；.AF是。0的切线

(3)解：

题24-2图

连接AG

VZBCD=ZACB,ZBCD=Z1

.\Z1=ZACB

NB=NB

/.△ABE^ACBA

,BE_AB

*AB-BC

VBC・BE=25

AAB2=25

，AB=5

・・•点G是4ACD的内心

・・・N2=N3

VZBGA=Z3+ZBCA=Z3+ZBCD=Z3+Z1=Z3+Z2=ZBAG

ABG=AB=5

【考点】圆的综合应用，等弧等弦等角的转换，切线的证明，垂径定理的逆应用，内心的概念，

相似三角形的应用，外角的应用，等量代换的意识

25.如题25-1图，在平面直角坐标系中，抛物线y=立x2+d叵x-迪与x轴交于点A、B(点

848

A在点B右侧)，点D为抛物线的顶点.点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F,ACAD

绕点C顺时针旋转得到ACFE,点A恰好旋转到点F,连接BE.

(1)求点A、B、D的坐标；

(2)求证：四边形BFCE是平行四边形；

(3)如题25-2图，过顶点D作DDiLx轴于点D”点P是抛物线上一动点，过点P作PM

±x轴，点M为垂足，使得4PAM与ADDiA相似(不含全等).

①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；

②直接回答这样的点P共有几个？

题25-1图题25-2图

【答案】

(1)解：由y=-^-x2+~~~x■工^^=-^-(x+3)-2-\/3得点D坐标为(-3,2-J3)

令y=0得xi=-7,x2=l

...点A坐标为(-7,0),点B坐标为(1,0)

(2)证明:

题25-1图

过点D作DG，y轴交于点G,设点C坐标为（0,in）

ZDGC=ZF0C=90°,ZDCG=ZFC0

.,.△DGC^AFOC

.DGCG

'FO-CO

由题意得CA=CF,CD=CE,ZDCA=ZECF,0A=l,DG=3,CG=m+26

VC01FA

.,.FO=OA=1

：.-=m+2^,解得m=J^(或先设直线CD的函数解析式为丫=1^+1),用D、卜'两点坐

1m

标求出y=Mx+也，再求出点C的坐标)

...点C坐标为(0,V3)

CD=CE=-^32+(V3+2A/3)2=6

VtanZCFO---二6

FO

ZCF0=60°

AAFCA是等边三角形

・•・NCF0二NECF

AEC//BA

VBF=B0-F0=6

，CE=BF

・・・四边形BFCE是平行四边形

(3)解：①设点P坐标为(m,—m2+^m-^),且点P不与点A、B、D重合.若

848

△PAM与△DBA相似，因为都是直角三角形，则必有一个锐角相等.由(1)得AD尸4,1)*2有

(A)当P在点A右侧时，m>l

(a)当△PAMs/XDADi,则NPAM=NDADI,此时P、A、D三点共线，这种情况不存在

PMAD

(b)当△PAMS/XADDI,则NPAM=NADD”此时——=——L

AMDD,

V3,373773

——m~+-----m--------

.♦.卫----------------乙=—解得皿=-3(舍去)，mE(舍去)，这种不存在

m-12V33

(B)当P在线段AB之间时，-7Vm<l

(a)当△PAMs^DADi,则NPAM=NDAD”此时P与D重合,这种情况不存在

PMAD

(b)当△PAMSZSADDI,贝|J/PAM=/ADDI,止匕时——=——L

AMDD,

V33V37V3

——UT2+-------m------4

----------------L=y解得m尸-3,叱=1(舍去)

m-1------2V33

(C)当P在点B左侧时，m<-7

PMDD

(a)当△PAMS/XDADI,则NPAM=NDADI,此时——=——L

AMAD,

V33V37百

——m2+-----m--------0

..._8-----------4---------8=*，解得皿=-11,m2=l(舍去)

m-14

PMAD

(b)当△PAMs^ADDi,贝IJ/PAM=/ADDI,止匕时——=——L

AMDD,

V33V3773

—m2T-------m--------.

・848_4_37

••一---------------------——,解得mi-----,ni2-l(古去)

m-12V33

537

综上所述，点P的横坐标为-士，-11,,三个任选一个进行求解即可.

33

②一共存在三个点P,使得APAM与△口口△相似.

【考点】二次函数的综合应用，旋转的性质，相似三角形的的应用，等边三角形的性质，平

行四边形的证明，平面直角坐标的灵活应用，动点问题，分类讨论思想

河南省2019年中考数学试卷

一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

1.(3分)-工的绝对值是()

2

A.-1B.工C.2D.-2

22