2025版新教材高考数学一轮复习4相等关系与不等关系训练含解析新人教B版

四相等关系与不等关系(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1．设b<a，d<c，则下列不等式中肯定成立的是()A．a－c<b－d B．ac<bdC．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋cC解析：由同向不等式具有可加性可知C正确．2．(多选题)下列不等式证明过程正确的是()A．若a，b∈R，则eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2B．若x>1，y>1，则lgx＋lgy≥2eq\r(lgx·lgy)C．若x<0，则x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝－4D．若x<0，则2x＋2－x>2eq\r(2x·2－x)＝2BD解析：A错误，∵a，b不满意同号，故不能用均值不等式；B正确，∵lgx和lgy肯定是正实数，故可用基本不等式；C错误，∵x和eq\f(4,x)不是正实数，故不能干脆利用均值不等式；D正确，∵2x和2－x都是正实数，故2x＋2－x>2eq\r(2x·2－x)＝2成立，当且仅当2x＝2－x相等时(即x＝0时)，等号成立．故选BD.3．设0<x<2，则函数y＝eq\r(x4－2x)的最大值为()A.2 B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(3) D.eq\r(2)D解析：∵0<x<2，∴4－2x>0，∴x(4－2x)＝eq\f(1,2)×2x(4－2x)≤eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋4－2x,2)))2＝eq\f(1,2)×4＝2.当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时等号成立．即函数y＝eq\r(x4－2x)的最大值为eq\r(2).4．(多选题)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为()A．若a>b，则ac<bcB．若ac2>bc2，则a>bC．若a<b<0，则a2>ab>b2D．若a>0>b，则|a|<|b|BC解析：当c＝0时，ac＝bc，A为假命题；若ac2>bc2，则c≠0，c2>0，故a>b，B为真命题；若a<b<0，则a2>ab且ab>b2，即a2>ab>b2，C为真命题；当a＝1，b＝－1时，|a|＝|b|，D为假命题．故选BC.5．(2024·上海卷)下列不等式恒成立的是()A．a2＋b2≤2ab B．a2＋b2≥－2abC．a＋b≥2eq\r(|ab|) D．a＋b≤－2eq\r(|ab|)B解析：对于选项A，因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时取等号，所以a2＋b2≥2ab，故A错误．对于选项B，因为a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2≥0，当且仅当a＝－b时取等号，所以a2＋b2≥－2ab，故B正确．对于选项C，令a＝－1，b＝2，则a＋b＝－1＋2＝1,2eq\r(|ab|)＝2eq\r(|－1×2|)＝2eq\r(2).因为1＜2eq\r(2)，所以a＋b＜2eq\r(|ab|)，故C错误．对于选项D，令a＝1，b＝0，则a＋b＝1，－2eq\r(|ab|)＝－2eq\r(|1×0|)＝0.因为1>0，所以a＋b>－2eq\r(|ab|)，故D错误．6．当x>0时，函数f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)有()A．最小值1 B．最大值1C．最小值2 D．最大值2B解析：f(x)＝eq\f(2,x＋\f(1,x))≤eq\f(2,2\r(x·\f(1,x)))＝1，当且仅当x＝eq\f(1,x)(x>0)，即x＝1时取等号，所以f(x)有最大值1.7．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析()A．甲合适B．乙合适C．油价先高后低甲合适D．油价先低后高甲合适B解析：设甲每次加m升油，乙每次加n元钱的油，第一次加油x元/升，其次次加油y元/升．甲的平均单价为eq\f(mx＋my,2m)＝eq\f(x＋y,2)，乙的平均单价为eq\f(2n,\f(n,x)＋\f(n,y))＝eq\f(2xy,x＋y).因为x≠y，所以eq\f(\f(x＋y,2),\f(2xy,x＋y))＝eq\f(x2＋y2＋2xy,4xy)>eq\f(4xy,4xy)＝1，即乙的两次平均单价低，乙的方式更合适．故选B.8．已知a＋b>0，则eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)与eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小关系是________．eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)解析：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(a＋ba－b2,a2b2).因为a＋b>0，(a－b)2≥0，所以eq\f(a＋ba－b2,a2b2)≥0.即eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).9．(2024·临沂高三期末)当eq\r(x)＋eq\f(9,\r(x)＋1)取得最小值时，x＝________.4解析：eq\r(x)＋eq\f(9,\r(x)＋1)＝eq\r(x)＋1＋eq\f(9,\r(x)＋1)－1≥2eq\r(9)－1＝5，当且仅当eq\r(x)＋1＝eq\f(9,\r(x)＋1)，即x＝4时，等号成立．B组新高考培优练10．已知x，y∈R，且x>y>0，则()A．eq\f(1,x)－eq\f(1,y)>0 B．sinx－siny>0C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y<0 D．lnx＋lny>0C解析：选项A中，因为x>y>0，所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)，即eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0，故结论不成立；选项B中，当x＝eq\f(5π,6)，y＝eq\f(π,3)时，sinx－siny<0，故结论不成立；选项C中，函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x是定义在R上的减函数．因为x>y>0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y<0；选项D中，当x＝e－1，y＝e－2时，结论不成立．11．(多选题)(2024·潍坊高三期中)若x≥y，则下列不等式中正确的是()A．2x≥2y B．eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)C．x2≥y2 D．x2＋y2≥2xyAD解析：由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有2x≥2y，故A正确；当y<x<0时，eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)不成立，故B错误；当0≥x≥y时，x2≥y2不成立，故C错误；因为x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0成立，从而有x2＋y2≥2xy成立，故D正确．故选AD.12．(2024·济宁高三期末)已知奇函数f(x)在R上单调．若正实数a，b满意f(4a)＋f(b－9)＝0，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是()A．1 B．eq\f(9,2)C．9 D．18A解析：奇函数f(x)在R上单调，f(4a)＋f(b－9)＝0，则f(4a)＝－f(b－9)＝f(9－b)．故4a＝9－b，即4a＋b＝9.所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(4a＋b)＝eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(4a,b)＋5))≥eq\f(1,9)(2eq\r(4)＋5)＝1，当仅且当eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即a＝eq\f(3,2)，b＝3时，等号成立．故选A.13．设x>0，y>0，x＋2y＝4，则eq\f(x＋12y＋1,xy)的最小值为________．eq\f(9,2)解析：eq\f(x＋12y＋1,xy)＝eq\f(2xy＋x＋2y＋1,xy)＝eq\f(2xy＋5,xy)＝2＋eq\f(5,xy).因为x>0，y>0且x＋2y＝4，所以4≥2eq\r(2xy)(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)，所以2xy≤4，所以eq\f(1,xy)≥eq\f(1,2)，所以2＋eq\f(5,xy)≥2＋eq\f(5,2)＝eq\f(9,2).14．某厂家拟定在2024年实行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满意x＝3－eq\f(k,m＋1)(k为常数)．假如不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品须要再投入16万元．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2024年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－eq\f(2,m＋1)(m≥0)．又每件产品的销售价格为1.5×eq\f(8＋16x,x)，所以2024年的利润y＝1.5x×eq\f(8＋16x,x)－8－16x－m＝4＋8x－m＝4＋8eq