2025版新教材高考数学一轮复习第十章概率随机变量及其分布10.5离散型随机变量的数字特征学案新人教A版

10.5离散型随机变量的数字特征必备学问预案自诊学问梳理1.离散型随机变量的均值(1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn则称E(X)=为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.

问题思索随机变量的均值与样本的平均值有什么区分和联系?(2)均值的性质若Y=aX+b,其中X是随机变量,a,b是常数,随机变量X的均值是E(X),则E(Y)=E(aX+b)=.

特殊提示①当a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身;②当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数之和;③当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量X乘积的均值等于这个常数与X的均值的乘积.2.离散型随机变量的方差(1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn则称D(X)=为随机变量X的方差,并称D(X)为随机变量X的标准差,记为σ(x温馨提示①随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的.②(xi-E(X))2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值E(X)的偏离程度,而D(X)是上述偏离程度的加权平均数,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.③标准差与随机变量有相同的单位,而方差的单位是随机变量单位的平方.(2)方差的性质若Y=aX+b,其中X是随机变量,a,b是常数,随机变量X的方差是D(X),则D(Y)==.

特殊提示①当a=0时,D(b)=0,即常数的方差等于0.②当a=1时,D(X+b)=D(X),即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差.③当b=0时,D(aX)=a2D(X),即随机变量与常数之积的方差等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积.3.几种特殊分布的均值和方差(1)两点分布:若随机变量X听从两点分布,则E(X)=,D(X)=.

(2)二项分布:若X~B(n,p),则E(X)=,D(X)=.

(3)超几何分布:设随机变量X听从参数为N,M,n(n,N,M∈N*,M≤N,n≤N)的超几何分布,令p=MN则E(X)=,D(X)=nM(N1.若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).2.均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X).3.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.4.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).5.若X~N(μ,σ2),则X的均值与方差分别为E(X)=μ,D(X)=σ2.考点自诊1.推断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.()(2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的状况,因此它们是一回事.()(3)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定.()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.()2.(2024江苏镇江高三检测)若X~B80,14,则D(X)=()A.20 B.40 C.15 D.303.已知X的分布列为:X-101P111设Y=2X+3,则E(Y)的值为()A.73 B.4C.-1 D.14.设0<a<1,随机变量X的分布列为:X0a1P111则当a在(0,1)内增大时()A.D(X)增大 B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大5.(多选)(2024山东聊城高三质检)若随机变量X听从两点分布,其中P(X=0)=14,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是(A.P(X=1)=E(X) B.E(4X+1)=4C.D(X)=316 D.D(4X+1)=关键实力学案突破考点求离散型随机变量的均值与方差【例1】(2024江苏盐城模拟,18)为了提倡健康、低碳、绿色的生活理念,某市建立了公共自行车服务系统激励市民租用公共自行车出行,公共自行车按每车每次的租用时间进行收费,详细收费标准如下:①租用时间不超过1小时,免费;②租用时间为1小时以上且不超过2小时,收费1元;③租用时间为2小时以上且不超过3小时,收费2元;④租用时间超过3小时的时段,按每小时2元收费.(不足1小时的部分按1小时计算)已知甲、乙两人独立出行,各租用公共自行车一次,两人租车时间都不会超过3小时,设甲、乙租用时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5,租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3.(1)求甲、乙两人所付租车费相同的概率;(2)设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望E(ξ).解题心得1.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤:(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值.(2)求X取每个值的概率.(3)写出X的分布列.(4)由均值的定义求E(X).(5)由方差的定义求D(X).2.留意性质的应用:若随机变量X的均值为E(X),则对应随机变量aX+b的均值是aE(X)+b,方差为a2D(X).对点训练1某投资公司在2024年年初打算将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种状况发生的概率分别为79项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种状况发生的概率分别为35针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.考点二项分布的均值与方差【例2】一个盒子中装有大量形态、大小一样,质量不完全相同的小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的质量(单位:克),质量分组区间为[5,15),[15,25),[25,35),[35,45],由此得到样本的频率分布直方图,如图.(1)求a的值,并依据样本数据,试估计盒子中小球质量的众数与平均数;(2)从盒子中随机抽取3个小球,其中质量在[5,15]内的小球个数为X,求X的分布列和数学期望以及方差(以直方图中的频率作为概率).解题心得求随机变量X的均值与方差时,可首先分析X是否听从二项分布,假如X~B(n,p),那么用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大削减计算量.对点训练2(2024天津,16)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校状况互不影响,且任一同学每天到校状况相互独立(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事务“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事务M发生的概率.考点均值与方差在决策中的应用【例3】某地区拟建立一个艺术博物馆,实行竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司,经过层层筛选,甲、乙两家建筑公司进入最终的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案:两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题,已知这6个招标问题中,甲公司可正确回答其中的4道题目,而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23,甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立,互不影响的(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率;(2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两家哪家公司竞标胜利的可能性更大?解题心得利用均值、方差进行决策的方法:均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,因此,当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分晓,由此可对实际问题作出决策推断;若两个随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两个变量的方差来探讨随机变量的离散程度或者稳定程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小,进而进行决策.对点训练3为回馈顾客,某商场拟通过模拟兑奖的方式对1000位顾客进行嘉奖,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的嘉奖额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:①顾客所获的嘉奖额为60元的概率;②顾客所获的嘉奖额的分布列及均值;(2)商场对嘉奖总额的预算是60000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的嘉奖总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的嘉奖额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.假如随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X听从超几何分布.X的均值为E(X)【典例】已知100件产品中有10件次品,从中任取3件,则取出的3件产品中次品数的均值是,方差是.

答案0.30.2645解析(方法1)用随机变量ξ表示取出的3件产品中的次品数,则ξ的全部可能取值是0,1,2,3,且有P(ξ=0)=C100C903C1003≈0.7265,P(ξP(ξ=2)=C102C901C1003≈0.0250,P(ξ=3)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P所以ξ的分布列为ξ0123P0.72650.24770.02500.0008从而E(ξ)=0×0.7265+1×0.2477+2×0.0250+3×0.0008=0.3001≈0.3,D(ξ)≈(0-0.3)2×0.7265+(1-0.3)2×0.2477+(2-0.3)2×0.0250+(3-0.3)2×0.0008≈0.2645.(方法2)这是超几何分布问题,其中N=100,M=10,n=3,故E(ξ)=nMN=3×D(ξ)=nM(N-M)(解题心得求超几何分布的均值时,干脆应用公式E(X)=nMN比较简洁,而方差公式不太简洁记忆,一般是依据超几何分布的概率公式求出分布列,代入离散型随机变量的方差公式计算对点训练从5名女生和2名男生中任选3人参与英语演讲竞赛,设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数.(1)求ξ的分布列;(2)求ξ的均值与方差;(3)求ξ≤1的概率.概率问题与现实生活联系亲密,所以高考等各类综合考试中常以实际应用题形式呈现,多为解答题,有较大的阅读量,与社会热点问题紧密结合,考查概率与统计中的众多学问.有时也会与函数、导数、数列、不等式等学问综合命题,考查形式新奇,有肯定的难度.【典例】某病毒存在人与人之间的传染,可以通过与患者的亲密接触进行传染.我们把与患者有过亲密接触的人群称为亲密接触者,每位亲密接触者被感染后即被称为患者.已知每位亲密接触者在接触一个患者后被感染的概率为p(0<p<1),某位患者在隔离之前,每天有a位亲密接触者,其中被感染的人数为X,假设每位亲密接触者不再接触其他患者.(1)求一天内被感染人数X的概率P(X=k)(k=0,1,2,…,a)与a、p的关系式和X的数学期望;(2)该病毒在进入人体后有14天的潜藏期,在这14天的潜藏期内患者无任何症状,为病毒传播的最佳时间,设每位患者在被感染后的其次天又有a位亲密接触者,把某一名患者被感染的当天按第1天算起,第n天新增患者的数学期望记为En.①求数列{En}的通项公式;②若戴口罩能降低每位亲密接触者患病概率,降低后的患病概率p'=ln(1+p)-23p,当p'取最大值时,计算此时p'所对应的E6'值和此时p对应的E6值,依据计算结果说明戴口罩的必要性.(取a=结果保留整数,参考数据:ln3≈1.1,ln2≈0.7,13≈0.3解(1)由题意,被感染人数听从二项分布:X~B(a,p),则P(X=k)=Cakpk(1-p)a-k(k=0,1,2,…,a),X的数学期望E(X)(2)①由题意可知当n=1时,E1=0,当n≥2时,第n天被感染人数为(1+ap)n-1,第n-1天被感染人数为(1+ap)n-2,En=(1+ap)n-1-(1+ap)n-2=ap(1+ap)n-2,则EnEn-1=1+ap,且E2=ap.②令f(p)=ln(1+p)-23p,则f'(p)=1∴f(p)在0,12上单调递增,在12,1上单调递减.f(p)max=f12=ln32-13=ln3-ln2-13≈1.1-0.7-0.3=则当a=10,n=6时,E6'=10×0.1(1+10×0.1)4=16.E6=10×0.5(1+10×0.5)4=6480.∵E6>E6',∴戴口罩很有必要.对点训练1(2024山东威海一模,22)新药在进入临床试验之前,须要先通过动物进行有效性和平安性的试验.现对某种新药进行5000次动物试验,一次试验方案如下:选取3只白鼠对药效进行检验,当3只白鼠中有2只或2只以上运用“效果明显”,即确定“试验胜利”;若有且只有1只“效果明显”,则再取2只白鼠进行二次检验,当2只白鼠均运用“效果明显”,即确定“试验胜利”,其余状况则确定“试验失败”.设对每只白鼠的试验相互独立,且运用“效果明显”的概率均为p(0<p<1).(1)若p=12,设该新药在一次试验方案中“试验胜利”的概率为p0,求p0的值(2)若动物试验预算经费700万元,对每只白鼠进行试验须要300元,其他费用总计为100万元,问该动物试验总费用是否会超出预算,并说明理由.对点训练2(2024云南昆明三模,20)某高校毕业生小张自主创业从事苹果的种植,并开设网店进行销售.为了做好苹果的品控,小张从自己果园的苹果树上,随机摘取150个苹果测重(单位:克),其质量分布在区间[100,400]内,依据统计的数据得到如图1所示的频率分布直方图.图1图2(1)以上述样本数据中频率作为概率,现一顾客从该果园购买了30个苹果,求这30个苹果中质量在(300,400]内的个数X的数学期望;(2)小张的网店为了进行苹果的促销,推出了“买苹果,送福袋”的活动,买家在线参与按图行进赢取福袋的嬉戏.该嬉戏的规则如下:买家点击抛掷一枚特殊的骰子,每次抛掷的结果为1或2,且出现这两种结果的概率相同;从动身格(第0格)起先,每掷一次,依据抛掷的结果,按如图2所示的路径向前行进一次,若掷出1点,即从当前位置向前行进一格(从第k格到第k+1格,k∈N),若掷出2点,即从当前位置向前行进两格(从第k格到第k+2格,k∈N),行进至第31格(获得福袋)或第32格(感谢惠顾),嬉戏结束.设买家行进至第i格的概率为pi(i=0,1,2,…,32),p0=1.①求p1,p2,并写出用pi-2,pi-1表示pi(i=2,3,…,31)的递推式;②求p32,并说明该高校生网店推出的此款嬉戏活动,是更有利于卖家,还是更有利于买家.10.5离散型随机变量的数字特征必备学问·预案自诊学问梳理1.(1)x1p1+x2p2+…+xnpn=∑i=1nx问题思索提示①区分:随机变量的均值是一个常数,它不依靠于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它是随着样本的不同而改变的.②联系:对于简洁随机抽样,随着样本容量的增加,样本的平均值越来越接近于总体的均值.因此,我们常用样本的平均值来估计总体的均值.(2)aE(X)+b2.(1)∑i=1n(xi-E(X))2pi(2)D(aX+b)a2D3.(1)pp(1-p)(2)npnp(1-p)(3)nM考点自诊1.(1)×(2)×(3)√(4)√2.C∵X~B80,14,∴D(X)=80×14×343.A∵E(X)=-12+16=-13,∴E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-24.D依据题意可得E(X)=0+a+13=a+13,D(X)=0-a+132×13+a-所以D(X)是先减小后增大,故选D.5.ABC因为随机变量X听从两点分布,且P(X=0)=14,所以P(X=1)=34,E(X)=0×14+1×34=34,所以P(X=1)=E(X),故A正确;E(4X+1)=4E(X)+1=4×34+1=4,故B正确;D(X)=(0-34)2×14+(1-34)2×34关键实力·学案突破例1解(1)依据题意,分别记“甲所付租车费0元、1元、2元”为事务A1,A2,A3,它们彼此互斥,且P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,所以P(A3)=1-0.4-0.5=0.1.分别记“乙所付租车费0元、1元、2元”为事务B1,B2,B3,它们彼此互斥,且P(B1)=0.5,P(B2)=0.3,所以P(B3)=1-0.5-0.3=0.2.由题知,A1,A2,A3与B1,B2,B3相互独立,记甲、乙两人所付租车费相同为事务M,则M=A1B1∪A2B2∪A3B3,所以P(M)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=0.4×0.5+0.5×0.3+0.1×0.2=0.2+0.15+0.02=0.37.(2)据题意,ξ的可能取值为0,1,2,3,4,P(ξ=0)=P(A1)P(B1)=0.2;P(ξ=1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=0.4×0.3+0.5×0.5=0.37;P(ξ=2)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)=0.4×0.2+0.5×0.3+0.1×0.5=0.28;P(ξ=3)=P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)=0.5×0.2+0.1×0.3=0.13;P(ξ=4)=P(A3)P(B3)=0.1×0.2=0.02.所以ξ的分布列为:ξ01234P0.20.370.280.130.02数学期望E(ξ)=0×0.2+1×0.37+2×0.28+3×0.13+4×0.02=1.4.对点训练1解若按“项目一”投资,设获利为X1万元,则X1的分布列为X1300-150P72∴E(X1)=300×79+(-150)×29=200.若按“项目二”投资,设获利为X2万元,则XX2500-3000P311∴E(X2)=500×35+(-300)×13+0×115=200.D(X1)=(300-200)2×79+(-150-200)2×29=35000,D(X2)=(500-200)2×35+(-300-200)2×13+(0-200)2×115=140000.∴E(X1)=E(X2),D(X1)<D(X例2解(1)由题意,得(0.02+0.032+a+0.018)×10=1,解得a=0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为20克,而样本中小球质量的平均数x=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6(克).故由样本估计总体,可估计盒子中小球质量的平均值为24.6克.(2)该盒子中小球质量在[5,15)内的概率为15,则X~B3,15.X的可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=C30150×453=64125,P(X=1)=C31X0123P6448121则E(X)=3×15D(X)=3×15对点训练2解(1)因为甲同学上学期间的三天中到校状况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故X~B3,23,从而P(X=k)=C3k23k133-k,k=0,1,2,3.所以随机变量X0123P1248随机变量X的数学期望E(X)=3×23=2(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B3,23,且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.由题意知事务{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事务{X=3}与{Y=1},事务{X=2}与{Y=0}均相互独立,从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=827×例3解(1)由题意可知,所求概率P=C41C22C63×(2)设甲公司正确完成面试的题数为X,则X的取值分别为1,2,3.P(X=1)=C41C22C63=15,P(X=2)=CX123P131所以E(X)=1×15+2×35+3×15=2,D(X)=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3-2)2×15=25.设乙公司正确完成面试的题为Y,则Y取值分别为0,1,2,3.P(Y=0)=127,P(Y=1)=C31×23×13Y0123P1248所以E(Y)=0×127+1×29+2×49+3×827=2.或∵Y~B3,23,∴E(Y)=3×23=2D(Y)=(0-2)2×127+(1-2)2×29+(2-2)2×49+(3-2)2×827=23.由E(X)=E(Y),D对点训练3解(1)设顾客所获的嘉奖额为X.①依题意,得P(X=60)=C11C31C42②依题意,得X的全部可能取值为20,60.P(X=60)=12,P(X=20)=C32CX2060P11所以顾客所获的嘉奖额的均值为E(X)=20×12+60×12=(2)依据商场的预算,每个顾客的平均嘉奖额为60元,所以先找寻均值为60的可能方案.对于面值由10元和50元组成的状况,假如选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以均值不行能为60元;假如选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以均值也不行能为60元;因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的状况,同理可解除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析.对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的嘉奖额为X1,则X1的分布列为X12060100P121X1的均值为E(X1)=20×16+60×23+100×16=60,X1的方差为D(X1)=(20-60)2×16+(60-60)2×23+(100-60)2×16=16003.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的X2406080P121X2的均值为E(X2)=40×16+60×23+80×16=60,X2的方差为D(X2)=(40-60)2×16+(60-60)2×23+(80-60)2×16=4003.由于两种方案的嘉奖额的均值都符合要求,但方案2嘉奖素养提升微专题16——超几何分布的均值与方差对点训练解(1)ξ可能取的值为0,1,2,且ξ满意超几何分布.P(ξ=0)=C20C53C73=27,P(ξ=1)=C2ξ012P241(2)E(ξ)=0×27+1×47+2×17=67,D(3)P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=27案例探究(五)概率与函数、导数、数列、不等式的综合问题对点训练1.解(1)当p=12时,一次检验就取得“试验胜利”的概率为C32p2(1-p)+C33p3=3×14×12+123=12;经过两次检验才取得“试验胜利”的概率为[C31p(1-p)2](2)设一次试验方案须要用