专题02数轴与绝对值的综合应用

专题02数轴上的四种动点问题【知识点梳理】1.数轴上两点间的距离数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|；2.数轴上点移动规律数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的数为a－b.类型一、求动点运动的时间例.如图，已知数轴上有、、三点，点为原点，点、点在原点的右侧，点在原点左侧，点表示的数为，点表示的数为，且与满足，．(1)直接写出、的值，___________，___________；(2)动点从点出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，设运动时间为秒，请用含的式子表示线段的长度；(3)在（2）的条件下，若点为的中点，点为的中点，求为何值时，满足．【答案】(1)4；10；(2)；(3)当或时，满足【解析】(1)解：∵，∴，解得：；故答案为4；10；(2)解：∵，且点A表示的数为4，∴点C所表示的数为20，由题意可得：，则有点P在数轴上所表示的数为，点Q在数轴上所表示的数为，∴；(3)解：由（1）（2）可得：点P在数轴上所表示的数为，点Q在数轴上所表示的数为，点A表示的数为4，点B表示的数为10，点C表示的数为20，∴，，∵点为的中点，点为的中点，∴，，①当点P、M都在点O的左侧时，可得：，如图所示：∴，，∵，∴，解得：；②当点P、M都在点O的右侧且在点A的左侧，即，如图所示：∴，，∵，∴，解得：（不符合题意，舍去）；③当点P、M都在点A的右侧且在点P、Q没有重合，即，如图所示：∴，，∵，∴，解得：；④当点P在点Q的右侧时，显然是不符合；∴综上所述：当，或．【变式训练1】如图，已知数轴上的点A、B对应的数分别是－5和1．(1)若P到点A、B的距离相等，求点P对应的数；(2)动点P从点A出发，以2个长度单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)若动点P从点A出发向点B运动，同时，动点Q从点B出发向点A运动，经过2秒相遇；若动点P从点A出发向点B运动，同时，动点Q从点B出发与点P同向运动，经过6秒相遇，试求P点与Q点的运动速度（长度单位/秒）【答案】(1)；(2)存在；2或6；(3)2单位长度/秒；1单位长度/秒【解析】(1)点A、B对应的数分别是5和1，设点P对应的数为x，则，，∵，∴，解得：，∴点P对应的数为2；(2)P对应的数为，∴，，∵，∴，当时，，当时，，答：当或6时，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；(3)设P点的运动速度m单位长度/秒，Q点的运动速度n单位长度/秒，根据题意得，，解得：，答：P点的运动速度2单位长度/秒，Q点的运动速度1单位长度/秒．【变式训练2】如图一，已知数轴上，点表示的数为，点表示的数为，动点从出发，以个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，运动时间为秒(1)线段__________．(2)当点运动到的延长线时_________．（用含的代数式表示）(3)如图二，当秒时，点是的中点，点是的中点，求此时的长度．(4)当点从出发时，另一个动点同时从点出发，以个单位每秒的速度沿射线向右运动，①点表示的数为：_________（用含的代数式表示），点表示的数为：__________（用含的代数式表示）．②存在这样的值，使、、三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请直接写出值．______________．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)①；

②秒或秒或秒或秒【解析】(1)解：∵在数轴上，点A表示的数为－6，点B表示的数为8，∴．故答案为：14(2)∵在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，动点从点出发时，以个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，运动时间为秒，∴，∴．故答案为：(3)∵点表示的数为，点表示的数为，动点从点出发时，以个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，当秒时，，∴，又∵点是的中点，点是的中点，∴，，∴．∴此时的长度为．(4)①设运动时间为，当点从点出发时，以个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，另一个动点同时从点出发，以个单位每秒的速度沿射线向右运动，∴，，∴点所表示的数为：，点所表示的数为：，故答案为：；②结合①的结论和点所表示的数，可知：点表示的数为，点所表示的数为：，点所表示的数为：，分以下三种情况：若点为中点，则，∴，解得：或；若点为中点，则，∴，解得：；若点为中点，则，∴，解得：．综上所述，当为秒或秒或秒或秒时，、、三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点．【变式训练3】如图，单位长度为1的数轴上有三个点A、B、C，其中A、C点表示的数互为相反数．(1)点B表示的数是________；(2)若线段向左以每秒1单位运动，点C向左每秒2单位运动，那么经过几秒点C到A、B两点的距离相等？(3)若点P从点A开始以每秒1个单位向点C运动，点Q从点C开始以每秒4个单位在A、C之间做往返运动．当点P到达点C时，两个点同时停止运动，请问经过几秒P，Q两点相遇．【答案】(1)1；(2)6.5秒；(3)经过1.6秒或秒或4.8秒8秒后，P、Q两点相遇．【解析】(1)解：、点表示的数互为相反数．，、点表示的数为，4，点表示的数是，故答案为：；(2)解：设经过秒点到、两点的距离相等，由题意得：，解得，答：经过6.5秒点到、两点的距离相等；(3)解：设经过秒、两点相遇，①当点第一次从点到点的过程中，解得秒；②当点第一次从点到点的过程中，，解得秒；③当点第二次从点到点的过程中，解得秒；④当点第一次从点到点的过程中，解得秒；答：经过1.6秒或秒或4.8秒8秒后，、两点相遇．【变式训练4】如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是8，点在数轴上表示的数是10，若线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度也向右匀速运动．(1)线段与线段从开始相遇到完全离开共经过多长时间；(2)问运动多少秒时（单位长度）；(3)设线段，开始运动后的运动时间为秒，当为何值时，恰好满足．【答案】(1)秒；(2)①、相遇之前：秒，②、相遇之后：秒(3)当为5秒或9秒后恰好满足【解析】(1)解：、相遇后到A点完全离开：秒(2)解：①、相遇之前：秒②、相遇之后：秒(3)由题可得，秒后A，，，可分别表示为：A：，：，：，：．则：，，①、相遇之前，由题可得：，，②、相遇之后，由题可得：，，综上所述：当为5秒或9秒后恰好满足．类型二、定值问题例1．点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且a、b满足．(1)如图1，求线段AB的长；(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；(3)如图2，点P在B点右侧，PA的中点为M，N为PB靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该值．【答案】(1)4；(2)存在，当点P表示的数为1.5或3.5时，；理由见解析(3)结论①正确，=2【解析】(1)解：∵|a+1|+（b3）2=0，∴a+1=0，b3=0，∴a=1，b=3，∴AB=|13|=4．答：AB的长为4；(2)解：存在，∵，∴x=2，∴BC==5．设点P在数轴上对应的数是m，∵，∴|m+1|+|m3|=5，令m+1=0，m3=0，∴m=1或m=3．①当m≤1时，m1+3m=5，m=1.5；②当1＜m≤3时，m+1+3m=5，（舍去）；③当m＞3时，m+1+m3=5，m=3.5．∴当点P表示的数为1.5或3.5时，；(3)解：设P点所表示的数为n，∴PA=n+1，PB=n3．∵PA的中点为M，∴PM=PA=．∵N为PB的四等分点且靠近于B点，∴BN=PB=，∴①PM2BN=2×=2（不变），②PM+BN=+×=（随点P的变化而变化），∴正确的结论为①，且PM2BN=2．例2.如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动3cm到达A点，再向右移动4cm到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm．(1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置；(2)把点C到点A的距离记为CA，则CA=______cm．(3)若点A沿数轴以每秒3cm匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为3cm？(4)若点A以每秒1cm的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒4cm、9cm的速度匀速向右移动．设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出的值．【答案】(1)见解析；(2)；(3)经过或秒后点A到点C的距离为3cm(4)的值不会随着t的变化而变化，【解析】(1)解：由题意得：A点对应的数为，B点对应的数为1，点C对应的数为，点A，B，C在数轴上表示如图：(2)解：设原点为O，如图，∴，，∴．故答案为：．(3)解：①当点A在点C的左侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm，由题意得：，解得：．②当点A在点C的右侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm，由题意得：，解得：．综上，经过或秒后点A到点C的距离为3cm．(4)解：的值不会随着t的变化而变化，．由题意：，，∵移动t秒后，，，∴．∴的值不会随着t的变化而变化，．【变式训练1】如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足，O为原点，若动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）．(1)求a，b的值．(2)当点P运动到线段OB上时，分别取OB和AP的中点E，F，试探究下列结论：①的值为定值；②的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请将正确的选出来并求出该值．(3)当点P从点A出发运动到点O时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在OB间往返运动，当PQ＝1时，求动点P运动的时间t的值．【答案】(1)；(2)①正确，该定值为2；(3)P运动的时间或t＝4或t＝6或【解析】(1)由题得，∵，，∴，，∴a+2＝0，b－5＝0，∴．(2)设P点对应的数为x，则，∵OB与AP的中点分别为E、F，则E点对应的数为，F点对应的数为，则AB＝7，OP＝x，，对于①有为定值，对于②有不为定值．∴①正确，该定值为2．(3)当点P运动到6对应的点时t＝8，此后PB>1恒成立，由于Q在OB间往返运动．则PQ＝1不会再成立，当点P运动到O时，t＝2，∴，且由题得P点对应的数为t－2，点Q第一次到达O时，，点Q第一次到达B时，，点Q第二次到达O时，，∴①时，Q点对应的数为．则，I．11－3t＝1，，II．11－3t＝－1，t＝4．②时，Q点对应的数为，，I．t－7＝1，t＝8（舍），II．t－7＝－1，t＝6．③时，Q点对应的数为，，I．21－3t＝1，（舍），II．21－3t＝－1，．综上P运动的时间或t＝4或t＝6或．【变式训练2】如图，直线上有两条可以左右移动的线段和，线段在线段的左边，，，且，运动过程中，点、始终分别是线段、的中点．(1)求线段，的值；(2)若线段以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时，线段以每秒1个单位长度的速度也向右运动，且线段运动6秒时，，求运动前点、之间的距离；(3)设，且线段不动，将线段以每秒4个单位长度的速度向右运动．在向右运动的某一个时间段内，是否存在的值为定值，若存在，请直接写出这个定值，并直接写出这个时间段；若不存，请说明理由．【答案】(1)m＝8，n＝16；(2)运动前点B、C之间的距离为10或2；(3)当9≤t≤12时，MN＋AD＝12为定值．【解析】(1)∵|m−8|＋（n−16）2＝0，∴m−8＝0，n−16＝0，解得：m＝8，n＝16；(2)由（1）可得：AB＝8，CD＝16，∵点M、N始终分别是线段AB、CD的中点，∴AM＝BM＝AB＝4，CN＝DN＝CD＝8，①若6秒后，M′在点N′左边时，由MN＋NN′＝MM′＋M′N′，即4＋8＋BC＋6×1＝6×4＋4，解得：BC＝10，②若6秒后，M′在点N′右边时，则MM′＝MN＋NN′＋M′N′，即6×4＝4＋BC＋8＋6×1＋4，解得BC＝2，综上，运动前点B、C之间的距离为10或2；(3)存在．运动t秒后：MN＝|36−4t|，AD＝|48−4t|，当0≤t＜9时，MN＋AD＝84−8t，当9≤t≤12时，MN＋AD＝12，当t＞12时，MN＋AD＝8t−84，∴当9≤t≤12时，MN＋AD＝12为定值．【变式训练3】如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+8|=（b6）2．(1)A，B两点对应的数分别为a＝______，b＝______．(2)若点A，B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A，B两点相距2个单位长度？(3)若点A，B以（2）中的速度同时向右运动，同时点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，请问：在运动过程中，AP+2OBOP的值是否会发生变化？若变化，请用t表示这个值；若不变，请求出这个定值．【答案】(1)8；6；(2)2秒或秒；(3)不变，20【解析】(1)解：∵a，b满足|a+8|=（b6）2，∴a+8=0，b6=0，∴a=8，b=6．