第8讲拓展二四边形中动点问题（题型精讲）

第8讲拓展二：四边形中动点问题（精讲）目录模型1：平行四边形中动点问题模型2：矩形中动点问题模型3：菱形中动点问题模型4：其它图形中动点问题模型1：平行四边形中动点问题典型例题例题1．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积．(3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．【答案】(1)60°(2)(3)当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，

∴∠DPC＝∠PCB

∵CP平分∠BCD，

∴∠PCD＝∠PCB，∴∠DPC＝∠DCP，

∴DP＝DC．∵CD＝CP，

∴PC＝CD＝PD，∴△PDC是等边三角形

∴∠D＝∠B＝60°；（2）解：如图②中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD，BCAD，，∴，∴∴∴，∵△PCD为等边三角形，∴PD=CD=8cm，PD边上的高为=，∴；（3）解：解：四边形ABCD是平行四边形，

∴ADBC，

∴PDBC若要使四边形PDQB是平行四边形，则PD＝BQ，设运动时间为t秒，

①当0＜t≤3时，PD＝12t，BQ＝124t，∴12t＝124t，解得t＝0，不合题意，舍去；②当3＜t≤6时，PD＝12t，BQ＝4（t3）=4t12，∴12t＝4t12，解得t＝4.8；

③当6＜t≤9时，PD＝12t，BQ＝124（t6）=364t，∴12t＝364t，解得t＝8；

④当9＜t≤12时，PD＝12t，BQ＝4（t9）=4t36，∴12t＝4t36，解得t＝9.6；

综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．例题2．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？【答案】当运动时间为0秒或4秒或秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．设运动时间为t．当0≤t≤时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝4t，BQ＝10﹣4t，∴10﹣t＝10﹣4t，3t＝0，∴t＝0；当＜t≤5时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝4t﹣10，∴10﹣t＝4t﹣10，解得：t＝4；当5＜t≤时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝4t﹣20，BQ＝30﹣4t，∴10﹣t＝30﹣4t，解得：t＝；当＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝4t﹣30，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8．综上所述：当运动时间为0秒或4秒或秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．例题3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止）．设运动时间为秒，当为何值时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？【答案】秒、秒或秒【详解】解：四边形为平行四边形，．若要以、、、四点组成的四边形为平行四边形，则．分四种情况讨论：（1）当时，，，，，，（不合题意，舍去）；（2）当时，，，，，解得：；（3）当时，，，，，，解得：；（4）当时，，，，，解得：．综上所述可知，当运动时间为秒、秒或秒时，以、、、四边形是平行四边形．同类题型归类练1．（2022秋·湖南郴州·九年级统考阶段练习）如图矩形的长为24，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，运动方向如箭头所示，当有一个点先运动到所在边的另一个端点时运动停止，其他各点也相应停止．若运动的距离分别用，，，表示（）．(1)当M、N重合时求x的值；(2)P、Q是否重合？如重合求出x的值，如不能重合请说明理由；(3)当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？【答案】(1)；(2)不能，理由见解析；(3)2或．【详解】（1）解：，解得：（舍去），所以当时M、N重合；（2）解：不存在，理由是：，解得：，则，所以不存在，P、Q不能重合；（3）解：（Ⅰ）当M、N重合前，解得（舍去），，（Ⅱ）当M、N重合后，解得：（舍去）所以当x的值为2或时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．2．（2022秋·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，平行四边形中，，，平分交于，且，(1)求证：；(2)求平行四边形的面积；(3)取中点，动点以每秒个单位的速度从点向点运动，动点以每秒个单位的速度从点向点运动，两点同时出发，当，中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为，是否存在，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，（1）四边形是平行四边形，，，，，，，．（2）如图，作于，平分，，∵，，，，，是等边三角形，，，，，．（3）存在．由题意：，，或，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，，或，解得或．时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形．3．（2022春·天津和平·八年级校考期中）如图1，在四边形ABCD中，，∠B＝90°，AD＝acm，BC＝bcm，并且a，b满足b＝+8，若动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，回答下列问题：(1)AD＝______cm，BC＝______cm．(2)设点P、Q同时出发，并运动了x秒，求当x为多少秒时，四边形PQBA是矩形．(3)如图2，若四边形ABCD变为平行四边形ABCD，AD＝BC＝6cm，动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在BC间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发，并运动了t秒，求当t为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．【答案】(1)6，8(2)当x为3.2秒时，四边形PQBA是矩形(3)当t为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形（1）解：∵，又∵，，∴，∴a＝6，b＝8，∴AD＝6cm，BC＝8cm，故答案为：6，8；（2）解：根据题意可知：AP＝0.5xcm，CQ＝2xcm，∴BQ＝BC﹣CQ＝（8﹣2x）cm，当AP＝BQ时，根据可知，四边形ABQP是平行四边形，又∵∠B=90°，∴四边形PQBA是矩形，∴根据AP＝BQ，有0.5x＝8﹣2x，解得x＝3.2，答：当x为3.2秒时，四边形PQBA是矩形；（3）解：∵AD=6cm，P点的速度每秒为0.5cm，∴时间，∴Q点移动的最大距离为：12×2=24cm，∵AD=BC=6cm，Q点的速度每秒为2cm，∴Q点走完6cm的距离所需时间为6÷2=3秒，根据题意可知：AP＝0.5tcm，点Q的运动距离为2tcm，∴PD＝AD﹣AP＝（6﹣0.5t）cm，当P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，即有PD＝BQ，①当0＜t≤3时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝（6﹣2t）cm，∴6﹣0.5t＝6﹣2t，解得t＝0（不符合题意，舍去）；②当3＜t≤6时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝（2t﹣6）cm，∴6﹣0.5t＝2t﹣6，解得t＝4.8；③当6＜t≤9时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝BC﹣CQ＝（18﹣2t）cm，∴6﹣0.5t＝18﹣2t，解得t＝8；④当9＜t≤12时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝BC﹣CQ＝（2t﹣18）cm，∴6﹣0.5t＝2t﹣18，解得t＝9.6．综上所述：当t为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．模型2：矩形中动点问题典型例题例题1．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在边上以每秒的速度从向运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在、间往返运动，两点同时出发，点到达点时同时停止，在这段时间内，有如下说法：①该过程中，会出现4次的时刻；②该过程中，会出现3次四边形和四边形同时为矩形的时刻；③该过程中，当：时，四边形和四边形的面积比为6∶5；④该过程中，矩形和面积比的最大值为4∶3．上述说法正确的是______（填序号）．【答案】①②##②①【详解】解：①∵矩形中，，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴Q从C到B往返一次就可以得到一次平行，∵P的速度是/秒，∴两点运动的时间为，∴Q运动的路程为，∴Q从C到B往返一次得到一次平行的次数为次，∴会出现4次的时刻，故①正确；②∵在矩形中，，∴．当四边形为矩形时，．当时，，解得，，∴当时，四边形和四边形同时为矩形；当时，，解得t=4，∴当时，四边形和四边形同时为矩形；当时，，解得，∴当时，四边形和四边形同时为矩形；当时，，解得，，此时，四边形不为矩形；综上所述，当t为或4或时，四边形和四边形同时为矩形，即该过程中，会出现3次四边形和四边形同时为矩形的时刻，故②正确；③当时，，∴，，∴四边形和四边形的面积比为，故③错误；④当时，矩形和面积比取最大值为：，故④错误；故答案为：①②．例题2．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图1，在矩形中，对角线相交于点，，，点从点出发沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发沿方向以每秒的速度向点运动，设运动的时间为秒，当点运动到点时，点停止运动．过点作于点．(1)填空：_____________，________（用含有t的式子表示）；(2)是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(3)若在某一时刻，平面内存在一点，使四点构成的四边形是矩形，求出的值．【答案】(1)30；tcm；（10−2t）cm(2)存在；t＝时，四边形APHQ是菱形(3)t的值为或4（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠ABO＝90°，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠BAO＝60°，∴∠ACB＝90°−60°＝30°，∵AB＝5cm，∴AC＝2AB＝10（cm），∵QH⊥CB，∴∠QHC＝90°，∵CQ＝2t（cm），∴AQ＝（10−2t）cm，QH＝CQ＝t（cm），故答案为：30；tcm；（10−2t）cm．（2）解：存在．理由如下：∵，AP＝QH＝t，∴四边形APHQ是平行四边形，当AP＝AQ时，四边形APHQ是菱形，∴t＝10−2t，解得：t＝，∴t＝时，四边形APHQ是菱形．（3）解：当∠PQH＝90°时，存在一点G，使P、Q、G、H四点构成的四边形是矩形，如图所示：此时PQ、QH为矩形的两条邻边，∵，∴∠QPB=180°∠PQH=90°，∴点G一定在AB上，∵∠PBH=∠BHQ=∠PQH=90°，∴四边形PBQH为矩形，∴此时点G在点B上，∴PB＝QH，∴5−t＝t，∴t＝；当∠QPH＝90°时，存在一点G，使P、Q、G、H四点构成的四边形是矩形，如图所示：根据解析（2）可知，四边形APHQ为平行四边形，∴∠QHP=∠BAC=60°，∵∠QPH＝90°，∴∠PQH=30°，∵，∴∠APQ=∠PQH=30°，∴AP＝2AQ，∴t＝2（10−2t），∴t＝4；综上所述，满足条件的t的值为或4．例题3．（2022春·吉林四平·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为．（1）＝，＝；（2）当时，＝；（3）当四边形为矩形时，求的值．【答案】（1）28，4；（2）5或7；（3）6．【详解】解：（1）如图1，作DE⊥BC于点E，则∠DEC=∠DEB=90°，∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=180°∠B=90°，∴四边形ABED是矩形，∴BE=AD=24，∵∠C=60°，∴∠CDE=30°，∴CE=CD=×8=4，∴BC=BE+CE=24+4=28（cm），AB=DE=（cm），故答案为：28，4；（2）如图2，PQ=CD=8，且PQ与CD不平行，作DE⊥BC于点E，PF⊥BC于点F，∵∠PFB=∠B=∠A=90°，∴四边形ABFP是矩形，∴AP=BF；∵∠PFQ=∠DEC=90°，PF=DE，∴Rt△PFQ≌Rt△DEC（HL），∴∠QPF=∠CDE=30°，∴QF=PQ=4；∴24x=3x+4，解得，x=5；如图3，PQ=CD=8，且PQ∥CD，作DE⊥BC于点E，作PF⊥BC于点F，∵∠PFB=∠B=∠A=90°，∴四边形ABFP是矩形，∴AP=BF；∵∠PFQ=∠DEC=90°，PF=DE，∴Rt△PFQ≌Rt△DEC（HL），∴∠QPF=∠CDE=30°，∴QF=PQ=4；∴24x=3x4，解得，x=7，故答案为：5或7；（3）如图4，∵AP∥BQ，∠B=90°，∴当AP=BQ时，四边形ABQP时矩形，∴24x=3x，解得，x=6．同类题型归类练1．（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）如图，在直角梯形中，，，，，，动点P从点A开始沿AD边向点D以速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．求：(1)t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？(2)t为何值时，四边形ABQP为矩形？(3)是否存在，使梯形ABQP的面积为？若存在请求出，若不存在请说明理由．【答案】(1)6(2)(3)不存在，理由见解析（1）解：由题意得：AP=tcm，CQ=3tcm，则PD=（24t）cm，∵PD∥CQ，∴PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，此时，24t=3t，解得：t=6，∴t=6时，四边形PQCD为平行四边形；（2）由题意得：AP=t，BQ=263t，∵AP∥BQ，∠B=90°，∴当AP=BQ时，四边形ABQP为矩形，∴t=263t，解得：t=，∴当t=时，四边形ABQP为矩形．（3）∵由题意得：AP=t，BQ=263t，，解得，此时BQ=263t=4，∴不存在，使梯形的面积为．2．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以/秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以/秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．设Q点运动的时间为t秒．（1）若P，Q两点同时出发．①当四边形为矩形时，直接写出t的值为________；②若，求t的值；（2）若P点先运动2秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止．则t为时________（直接写出结果）为直角三角形．【答案】（1）①；②t的值为4或；（2）6或．【详解】解：（1）①∵四边形APQD是矩形，∴AP=DQ，∵AP=2t，DQ=284t，∴，解得；（2）如图，当四边形为平行四边形时，即，易得，解得，；如图，当四边形为等腰梯形时，过点P作PM⊥CD于M，过点B作BN⊥BC，∵AB∥CD，∠A=90°，∴AD⊥BC，∴四边形APMD，四边形ABQD都是矩形，∴AD=PM=BQ，DN=AB=24cm，MD=AP∴CN=CDDQ=4cm，又∵PQ=BC，∴△PMQ≌△BNC（HL），∴MQ=CN=4cm，∴，解得，；综上所述，符合条件的t的值为4或；

（2）当t=2时，AP=4cm，PDQ不可能是直角；当∠DQP是直角时，∵AB∥CD，∠A=90°，∴此时四边形APQD是矩形∴DQ=AP=4cm∴CQ=CDDQ=24cm∴t=24÷4=6秒当∠DPQ是直角时，过点Q作QM⊥AB，∵AB∥CD，∠A=90°，∴AD⊥BC，∴四边形AMQD是矩形，∴AM=QD=284t，AD=QM=6cm∴PM=AMAP=244t，∵，，∴解得综上所述t的值为6或．3．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，，AD=24cm，AB=8cm,BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动.（1）当运动时间为t秒时，用含t的代数式表示以下线段的长：AP=________,BQ=__________；（2）当运动时间为多少秒时，四边形PQCD为平行四边形？（3）当运动时间为多少秒时，四边形ABQP为矩形？【答案】（1）t，263t；（2）运动时间为6秒时，四边形PQCD为平行四边形．（3）运动时间为秒时，四边形ABQP为矩形．【详解】解：（1）由题意知AP=t，BQ=263t，故答案为：t，263t；（2）由题意可得：PD=ADAP=24t，QC=3t，∵AD∥BC，∴PD∥QC，设当运动时间为t秒时PD=QC，此时四边形PQCD为平行四边形．由PD=QC得，24t=3t，解得：t=6，∴当运动时间为6秒时，四边形PQCD为平行四边形．（3）∵AD∥BC，∴AP∥BQ，设当运动时间为t秒时AP=BQ，四边形ABQP为平行四边形．由AP=BQ得：t=263t，解得：t=，又∵∠B=90°∴平行四边形ABQP为矩形．∴当运动时间为秒时，四边形ABQP为矩形．模型3：菱形中动点问题典型例题例题1．（2022春·广东韶关·八年级统考期中）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为．(1)当为何值时，四边形是矩形；(2)当为何值时，四边形是菱形；(3)分别求出（2）中菱形的周长和面积．【答案】(1)3s(2)s(3)，（1）解：由已知可得，，在矩形中，，，当时，四边形为矩形，，得，故当s时，四边形为矩形．（2）∵AP=CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形，即时，四边形AQCP为菱形，解得，故当时，四边形AQCP为菱形．（3）当时，，则周长为：，面积为：．例题2．（2022春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期中）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、．(1)请用含有的式子填空：，，；(2)是否存在某一时刻使四边形为菱形？如果存在，求出相应的值；如果不存在，说明理由；(3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由．【答案】(1)，，(2)存在，(3)5或8，理由见解析（1）解：∵点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，∴，∵点从点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：，，．（2）存在，理由如下：由（1）知：，∵，，∴，∴，∴四边形是平行四边形，当时，平行四边形是菱形，即，解得，则存在，使得平行四边形成为菱形．（3）当为直角三角形时，有三种可能：①当时，∵，，∴四边形为矩形，∴，∴，即是直角三角形，在中，，∴，∴，即，解得：；②当时，由（2）知，∴，∵，∴，∴，即，解得：；③当时，表示点与点重合，根据题意此种情况不存在．综上所述：当为或时，为直角三角形．例题3．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，为锐角，，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点的运动时间为秒．(1)点在上运动时，_____________；点在上运动时，_____________．（用含的代数式表示）(2)点在上，时，求的值．(3)当直线平分的面积时，求的值．(4)若点的运动速度改变为每秒个单位．当，的某两个顶点与、所围成的四边形为菱形时，直接写出的值．【答案】(1)；(2)(3)或(4)【详解】（1）根据题意：当点在上运动时，，当点在上运动时，，故答案为：；（2）当点在上，时，点在上，且，∴，∴，解得：，∴的值为：（3）∵当点依次在、、、上时，的取值范围依次为：、、、，当点依次在、、、上时，的取值范围依次为：、、、，由于当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．∴当，点在上，点在上时，直线平分的面积，∴，即，解得：，当，点在上，点在上时，直线平分的面积，∴，即，解得：，综上所述：当直线平分的面积时，的取值为：或（4）∵，∴，∴点在上，∴，且，∴的某两个顶点与、所围成的菱形只能是：，∴点在边上，，∵此时：，∴，例题4．（2022秋·广东深圳·九年级统考阶段练习）已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒．

（1）当为何值时，四边形是平行四边形？（2）在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在线段上有一点，且，当运动几秒时，四边形的周长最小，并画图标出点的位置．【答案】（1）2.5；（2）存在，，；，；，；（3），图见解析【详解】解：∵四边形为矩形，，，∴，，∵点是的中点，∴，由运动知，，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴；①当点在的右边时，如图，∵四边形为菱形，∴，∴在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴②当点在的左边且在线段上时，如图，同①的方法得出，∴，③当点在的左边且在的延长线上时，如图，同①的方法得出，，∴．如图，由知，，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵四边形的周长为，∴最小时，四边形的周长最小，∴作点关于的对称点，连接交于，∴，∵，∴，∴，∴．同类题型归类练1．（2022秋·全国·八年级假期作业）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°．点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作PM⊥BC于点M，连接PQ、QM．（1）请用含有t的式子填空：AQ＝，AP＝，PM＝（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由；（3）当t为何值时，△PQM为直角三角形？请说明理由．【答案】（1）t，402t，t；（2）时，四边形AQMP是菱形；（3）或时△PQM是直角三角形【详解】解：（1）由题意可得：BP=2t，AQ=t∵∠C＝90°，∠A＝60°∴∠B=30°，∴，∴，∵PM⊥AC，∴∠PMB=90°，∴，故答案为：t，402t，t；（2）存在，理由如下：由（1）知，∵PM⊥BC，AC⊥BC∴PM∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形，∴当AP=AQ时，四边形AQMP是菱形，∴，解得，∴当时，四边形AQMP是菱形；（3）当△PQM为直角三角形时有三种情况：①当∠MPQ=90°，此时四边形CMPQ是矩形，∴∠PQA=∠PQC=90°，∴∠APQ=30°，∴AP=2AQ，∴，解得；②当∠MQP=90°时，由（2）知MQ∥AP，∴∠APQ=∠PQM=90°，∴∠PQA=30°，∴AQ=2AP，∴，解得；③当∠PMQ=90°时此种情况不存在，∴综上所述，或时△PQM是直角三角形．2．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）综合与探究：已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；连接．若设运动的时间为，解答下列问题：(1)当时，求的值；(2)点，同时出发，为何值时，以，，为顶点的三角形与相似；(3)如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，直接写出此时的值；若不存在，说明理由，（不写求解过程）【答案】(1)(2)或(3)存在，【详解】（1）解：∵，，，∴，∵，∴，∴；（2）由题意知：，，当，则，，，，；当，则，，，，当或时，以、、为顶点的三角形与相似，故答案为：或；（3）过点作、，分别交于、交于，如图所示：，四边形是矩形，当时，即时，为等腰三角形，此时把沿翻折得到四边形是菱形，，，，即，解得：，，，解得：，当时，四边形是菱形．3．（2022春·山东济宁·八年级统考阶段练习）如图，平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，A点在x轴正半轴上，∠COA=60°，OA=10cm，OC=4cm，点P从C点出发沿CB方向，以1cm/s的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿AO方向，以3cm/s的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．(1)求点C，B的坐标（结果用根号表示）(2)从运动开始，经过多少时间，四边形OCPQ是平行四边形；(3)在点P，Q运动的过程中，四边形OCPQ有可能成为直角梯形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由；(4)在点P、Q运动过程中，四边形OCPQ有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．（提示：四条边都相等的四边形是菱形）【答案】(1)C点坐标是（2，2），B点坐标是（12，2）；(2)经过2.5秒，四边形OCPQ是平行四边形；(3)经过2秒钟，四边形OCPQ是直角梯形；(4)不能成为菱形（1）过C作CE⊥OA于E，∵∠COA=60°，∴∠1=30°，∴OE=CO=2cm，在Rt△COE中，CE=，∴C点坐标是（2，2），∵四边形OABC是平行四边形，∴CB=OA=10，CB∥OA，∴B点坐标是（12，2）；（2）设从运动开始，经过x秒，四边形OCPQ是平行四边形，103x=x，解得：x=2.5，故运动开始，经过2.5秒，四边形OCPQ是平行四边形；（3）四边形OCPQ能成为直角梯形．设经过t秒钟，四边形OCPQ是直角梯形，PQ⊥OA，过点C作CE⊥OA于E，则∠CEQ=∠CPQ=∠OQP=90°，∴四边形CEQP是矩形，∴CP=EQ，∴t=1023t，解得：t=2，故经过2秒钟，四边形OCPQ是直角梯形；（4）不能成为菱形，如果四边形OCPQ菱形，则CO=QO=CP=4cm，∵OA=10cm，∴AQ=104=6（cm），则Q的运动时间是：6÷3=2（秒），这时CP=2×1=2（cm）∵CP≠4cm，∴四边形OCPQ不能成为菱形．4．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知，如图为坐标原点，四边形为矩形，，点是的中点，动点在线段上以每秒3个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒．(1)当为何值时，的面积为10？(2)在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，t＝，点Q的坐标为（3，4）或t＝，点Q的坐标为（−3，4）或t＝1，点Q（8，4）．【详解】（1）解：依题意得：，，，，的面积：，所以，得：，解得：，答：当为时，的面积为10．（2）存在．①当点Q在线段BC上时，如图1，若四边形ODPQ是菱形，∴OQ＝OD＝5，在Rt△OCQ中，CQ＝＝3，∴CP＝3＋5＝8，∴t＝，点Q的坐标为（3，4）；若四边形ODQP是菱形，如图2：∵四边形ODQP是菱形，∴OP＝OD＝5，在Rt△OCP中，CP＝＝3，∴点P（3，4），PQ＝5，∴t＝＝1，点Q（8，4）；②当点Q在射线BC上时，如图2，∵四边形ODPQ是菱形，∴OQ＝OD=PQ=5，在Rt△OCQ中，CQ＝＝3，∴CP＝5−3＝2，∴t＝，点Q的坐标为（−3，4）．综上所述：存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形，t＝，点Q的坐标为（3，4）或t＝，点Q的坐标为（−3，4）或t＝1，点Q（8，4）．模型4：其它图形中动点问题典型例题例题1．（2023秋·四川雅安·九年级校考期中）如图，在中，，，，、分别是的中点，连接．从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，点也停止运动。连接，设运动时间为s．答下列问题：(1)请直接用含的代数式表示的长；(2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？(3)当为何值时，为等腰三角形（直接写出）【答案】(1)；(2)或(3)或3或或【详解】（1）由勾股定理得，，∵E、D分别是的中点，，∴，由题意得，，∴，（2）在中，，∴．∵D、E分别是的中点．且，①时，∵，∴，∴，由题意得：，即，解得；②如图2中，当时，，∴，∴，∴，∴当t为或时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似．（3）如图3中，当点Q在线段上时，由，可得，解得，如图4中，当点Q在线段上时，，可得，解得，如图5中，当点Q在线段上时，由，过点Q作于M，∴，∵，∴，∴，∴，解得．如图6中，当点Q在线段上时，由，同理可得，解得．综上所述，或3或或时，是等腰三角形．例题2．（2022春·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，动点从点出发，在线段上以每秒的速度运动向点运动，点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为（秒）．(1)用含的代数式表示，______；(2)若四边形是平行四边形，求此时的值；(3)是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)5(3)存在，或5或（1）解：经过ts后cm，则，，故答案为：．（2）当时，解得：；∵，∴，∴当时四边形EFCD是平行四边形．（3）存在点F，使△FCD是等腰三角形，理由如下：过D作于G，则四边形ABGD是矩形，∴，，∴，在Rt△CDG中，由勾股定理得：分情况讨论：①，如图1，则，解得：；②，如图2，∵，∴，∴，，∴；③，如图3，在RT△FDG中，由勾股定理得：∵，，∴，，解得：，综上所述，存在点F，使△FCD是等腰三角形，t的值为或5或．例题3．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在直角梯形中，，以为原点建立直角坐标系，、的坐标分别为、，，为中点，动点自点出发沿的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为秒．(1)求的长，并求当将梯形的周长平分时的值，并指出此时点在哪条边上；(2)动点在从到的移动过程中，设的面积为，试写出与的函数关系式，并指出的取值范围；(3)几秒后线段将梯形的面积分成1：3的两部分？求出此时点的坐标？【答案】(1)=10，，此时点P在CB边上(2)（）(3)（，）、（，）(1)解：点坐标为，，，梯形的周长为：，根据PD将梯形COAB的周长平分，由，得．此时点在上；(2)解：作于，于，于，则．，，，，，．；(3)解：点只能在或上，（ⅰ）当点在上时，设点的坐标为．由，得，得，此时．由，得．即在7秒时有点（，）；（ⅱ）当点在上时，设点的坐标为．由，得，得，此时．即在秒时，有点（，）．故在7秒时有点（，），在秒时有点（，），使将梯形的面积分成的两部分．例题4．（2022春·辽宁抚顺·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴上、轴上，，，若点的坐标为，且．（1）直接写出点、、的坐标；（2）若动点从原点出发沿轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线把四边形分成面积相等的两部分停止运动，求点运动时间；（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，连接，使三角形的面积与四边形的面积相等？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）A（8，0），B（4，4），C（0，4）；（2）t=；（3）存在；点Q坐标（0，12）或（0，−4）【详解】解：（1）∵b＝∴a＝4，b＝4∴点B（4，4）∵CB∥OA，OA＝8，∴A（8，0），点C（0，4）（2）∵S四边形ABCO＝×4×（4＋8）＝24，且直线PC把四边形OABC分成面积相等的两部分∴S△COP＝×4×OP＝12∴OP＝6∴t＝＝3s（3）∵S△CPQ＝×OP×CQ＝24∴CQ＝8，且点C（0，4）∴点Q坐标（0，12）或（0，−4）．同类题型归类练1．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在中，，厘米，厘米，点D在上，且厘米．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以4厘米/秒的速度沿向终点C运动；点Q以5厘米/秒的速度沿向终点C运动．过点P作交于点E，连接．设动点运动时间为t秒．(1)；（用t的代数式表示）(2)连接，并运用割补的思想表示的面积（用t的代数式表示）；(3)是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形，如果存在，请求出t，如果不存在，请说明理由；(4)当t为何值时，为直角三角形．【答案】(1)(2)(3)存在，(4)或【详解】（1）解：由题意可得：；（2）如图1，连接，，，cm，，，，，∴；（3）四边形是平行四边形，，，，∴当时，使四边形是平行四边形；（4）如图2，当时，，，又，四边形是平行四边形，，，；当时，，，，，，，，，，，，