对钩函数详解性质图像对比并举例说明I2

主要内容：本文通过对比分析，解析函数y=ax+eq\f(b,cx)当a，b，c的系数符号不同时，并举例以四个函数y₁=89x+eq\f(151,38x),y₂=89x-eq\f(151,38x),y₃=-89x+eq\f(151,38x),y4=-89x-eq\f(151,38x),说明系数符号变化与函数性质的关系，简要画出函数在同一个坐标系下的图像。☆.函数的定义域分析根据y₁=89x+eq\f(151,38x),y₂=89x-eq\f(151,38x),y₃=-89x+eq\f(151,38x),y4=-89x-eq\f(151,38x)函数特征，可知均含有分式，故要求分母不为0，所以4个函数的定义域相同，定义域均为：(-∞,0)∪(0,+∞)。☆.函数的单调性分析由于4个函数均是由一个正比例函数和一个反比例函数的和差函数，可以根据两个函数的单调性综合分析和差函数的单调性。1.对于函数y₂=89x-eq\f(151,38x),是由正比例增函数和反比例减函数的差，所以相当于两个增函数的和，故函数y2整体为增函数。2.对于函数y₃=-89x+eq\f(151,38x)，是由正比例减函数和反比例减函数的和，所以相当于两个减函数的和，故函数y3整体为减函数。3.对于函数y₁=89x+eq\f(151,38x)，y4=-89x-eq\f(151,38x)前后两个函数的单调性不一致，不能简单通过上述方法解析，但可以使用导数来分析单调性。☆.导数分析函数的单调性步骤1.函数y₁=89x+eq\f(151,38x),求函数的一阶导数，有：eq\f(dy,dx)=89-eq\f(151,38x²)=eq\f(89*38x²-151,38x²),令eq\f(dy,dx)=0，即：89*38x²-151=0,所以x=±eq\f(1,3382)eq\r(510682)≈±0.21,结合函数的定义域，并根据导数与函数单调性有：(1)当x∈(-∞,-eq\f(1,3382)eq\r(510682))∪(eq\f(1,3382)eq\r(510682)，+∞)时，eq\f(dy,dx)＞0，函数为增函数；(2)当x∈[-eq\f(1,3382)eq\r(510682),0)∪(0,eq\f(1,3382)eq\r(510682)]时，eq\f(dy,dx)＜0，函数为减函数。2.函数y4=-89x-eq\f(151,38x),是y1的相反函数，故单调性与之相反。同理，结合函数的定义域，并根据导数与函数单调性有：(1)当x∈(-∞,-eq\f(1,3382)eq\r(510682))∪(eq\f(1,3382)eq\r(510682)，+∞)时，eq\f(dy,dx)＜0，函数为减函数；(2)当x∈[-eq\f(1,3382)eq\r(510682),0)∪(0,eq\f(1,3382)eq\r(510682)]时，eq\f(dy,dx)＞0，为增函数。☆.函数的凸凹性1.函数y₁=89x+eq\f(151,38x)有：eq\f(dy,dx)=89-eq\f(151,38x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0+eq\f(2*151,38x³)=eq\f(2*151,38x³),可知与x的符号成正向关系，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数。2.函数y₂=89x-eq\f(151,38x)有：eq\f(dy,dx)=89+eq\f(151,38x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0-eq\f(2*151,38x³)=-eq\f(2*151,38x³)，可知与x的符号有关系且相反，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数。3.y₃=-89x+eq\f(151,38x)有：eq\f(dy,dx)=-89-eq\f(151,38x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0+eq\f(2*151,38x³)=eq\f(2*151,38x³),可知与x的符号成正向关系，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数。4.y4=-89x-eq\f(151,38x)有：eq\f(dy,dx)=-89+eq\f(151,38x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0-eq\f(2*151,38x³)=-eq\f(2*151,38x³)，可知与x的符号有关系且相反，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数。☆.函数的极限eq\s(lim,x→-∞)89x+eq\f(151,38x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)89x+eq\f(151,38x)=-∞,eq\s(lim,x→0+)89x+eq\f(151,38x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)89x+eq\f(151,38x)=+∞。eq\s(lim,x→-∞)89x-eq\f(151,38x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)89x-eq\f(151,38x)=+∞，eq\s(lim,x→0+)89x-eq\f(151,38x)=-∞，eq\s(lim,x→+∞)89x-eq\f(151,38x)=+∞，eq\s(lim,x→-∞)-89x+eq\f(151,38x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-89x+eq\f(151,38x)=-∞，eq\s(lim,x→0+)-89x+eq\f(151,38x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)-89x+eq\f(151,38x)=-∞。eq\s(lim,x→-∞)-89x-eq\f(151,38x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-89x-eq\f(151,38x)=-∞eq\s(lim,x→0+)-89x-eq\f(151,38x)=-∞,eq\s(lim,x→+∞)-89x-eq\f(151,38x)=+∞☆.函数的奇偶性按照奇偶性判断方法，可知四个函数y₁=89x+eq\f(151,38x),y₂=89x-eq\f(151,38x),y₃=-89x+eq\f(151,38x),y4=-89x-eq\f(151,38x),均为奇函数。所以，图像关于原点对称,本处以y₃介绍奇偶性判断步骤。∵f(x)=-89x+eq\f(151,38x)∴f(-x)=-89*(-x)+eq\f(151,38*(-x))=89x-eq\f(151,38x)=-[-89x+eq\f(151,38x)]=-f(x).即：f(-x)=-f(x)，所以函数为奇函数，关于原点对称。☆.函数的五点图x(＜0)-0.33-0.27-0.21-0.15-0.0889x+eq\f(151,38x)-41.41-38.75-37.61-39.84-56.7989x-eq\f(151,38x)-17.33-9.310.2313.1442.55-89x+eq\f(151,38x)17.339.31-0.23-13.14-42.55-89x-eq\f(151,38x)41.4138.7537.6139.8456.79x(＞0)0.080.150.210.270.3389x+eq\f(151,38x)56.7939.8437.6138.7541.4189x-eq\f(151,38x)-42.55-13.14-0.239.3117.33-89x+eq\f(151,38x)42.5513.140.23-9.31-17.33-89x-eq\f(151,38x)-56.79-39.84-37.61-38.75-41.41☆.函数的图像示意图四个函数y₁=89x+eq\f(151,38x),y₂=89x-eq\f(151,38x),y₃=-89x+eq\f(151,38x),y4=-89x-eq\f(151,38x)在同一个坐标系下示意图如下所示。其中：红色曲线表示y₁=89x+eq\f(151,38x)图像；绿色曲线表示y₂=89x-eq\f(151,38x)图像；紫色曲线表示y₃=-89x+eq\f(151,38x)图像；黑色曲线表示y4=-89x-eq\f(151,38x)图像。yy4=-89x-eq\f(151,38x)y₁=89x+eq\f(151,38x)y₃=-89x+eq\f(151,38x)y₂=89x-eq\f(151,38x)y₃=-89x+eq\f(151,38x) xy₁=89x+eq\f(151,38x)y4=-89x-eq\f(151,38x)☆.主要特性归纳1.函数相反性：函数y₁=89x+eq\f(151,38x)和函数y4=-89x-eq\f(151,38x)在同一个x处的y值互为相反数；函数y₂=89x-eq\f(151,38x)和函数y₃=-89x+eq\f(151,38x)也在同一个x处的y值互为相反数。2.经过的象限：函数y₁=89x+eq\f(151,38x)经过第一和第三象限，函数y4=-89x-eq\f(151,38x)则经过第二、第三象限；函数y₂=89x-eq\f(151,38x)和函数y₃=-89x+eq\f(151,38x)四个象限均经过。3.曲线的交点：函数y₁=89x+eq\f(151,38x)和函数y4=-89x-eq\f(151,38x)分别同另外3条曲线均没有交点;曲线方程y₂=89x-eq\f(151,38x)和函数y₃=-89x+eq\f(151,38x)有公共交点，且有两个交点，交点在x轴上，并互为相反数。4.坐标轴交点：函数y₁=89x+eq\f