考点15 不等式选讲

考点15不等式选讲【易错点分析】1.型不等式的解法（1）若，则，等价于，等价于或，然后根据a，b，c的值求解即可.（2）若，则的解集为，的解集为R.2.型不等式的解法（1）零点分区间法：①令每个绝对值符号内的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大的顺序排列，把实数集分为若干个区间；③在所分区间内去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.（2）几何法（利用的几何意义）由于与分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如或的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观.（3）数形结合法通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象是解题的关键.3.型不等式的解法（1）或.（2）.4.绝对值三角不等式定理1如果a，b是实数，则，当且仅当时，等号成立.定理2如果a，b，c是实数，那么，当且仅当时，等号成立.5.不等式的证明（1）比较法①作差法：要证明，只需证.②作商法：要证明，只要证.（2）综合法从已知条件，不等式的性质和基本不等式等出发，通过逻辑推理，推导出所要证明的结论.（3）分析法从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立.（4）反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立.（5）放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的.1.已知函数.

（1）解不等式；

（2）若，使得成立，求出实数m的取值范围.2.已知.(1)当时，解不等式；(2)若时，恒成立，求实数a的取值范围.3.已知函数.

（I）当时，解不等式；

（Ⅱ）若，求实数a的取值范围.4.已知不等式.(1)若，求不等式的解集.(2)若不等式的解集不是空集，求的取值范围.5.已知函数.(1)当时，求不等式的解集.(2)若函数的图像与轴没有交点，求实数的取值范围.6.已知函数.(1)求不等式的解集.(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.7.已知函数.(1)当时，求不等式的解集.(2)若恒成立，求实数的取值范围.8.已知.(1)若，求不等式的解集.(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.9.已知函数.(1)若，求不等式的解集.(2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.10.已知函数.若，求不等式的解集；若恒成立，求实数的取值范围.

答案以及解析1.答案：（I）当时，，

解得，故；

当时，，

解得，故；

当时，，

解得，故.

综上所述，不等式的解集为或.

（Ⅱ）函数

结合函数的图象可知.

设，

，

满足，

，

故实数m的取值范围为.2.答案：（1）当时，不等式可化为，

当时，不等式可化为，解得；

当时，不等式可化为，解得；

当时，不等式可化为，解得.

综上所述，当时，原不等式的解集为.

（2）当时，，

因此，在上恒成立.

则，解得又，所以故

因此实数a的取值范围是.3.答案：（I）当时，不等式，

即.

①当时，原不等式化为

，

解得，所以；

②当时，原不等式化为

，

所以；

③当时，原不等式化为

，

解得，所以.

综上，不等式的解集为.

（Ⅱ）由，得.

因为，

当且仅当时，等号成立，

所以，

所以或，

所以实数a的取值范围为或.4.答案：(1)当时，原不等式为.若，则，此时不等式无解；若，则；若，则.综上所述，不等式的解集为.(2)设，则..即的取值范围为.5.答案：(1)当时，不等式可化为，即，或，解得或.(2)当时，要使函数的图像与轴没有交点，只需即；当时，，函数的图像与轴有交点；当时，要使函数的图像与轴没有交点，只需此时无解.综上所述，函数的图像与轴没有交点时，实数的取值范围为.6.答案：(1)原不等式等价于或或解得或或.不等式的解集为.(2)不等式恒成立等价于，即.，当且仅当，即时，等号成立.，则，解得，实数的取值范围是.7.答案：(1)当时，，当时，不等式无解；当时，令，解得，不等式的解集为；当时，，符合题意.综上可得，不等式的解集为.(2)恒成立等价于.，.，，解得或.实数的取值范围为.8.答案：(1)由，得，等价于或或解得或或无解.不等式的解集为.(2)当时，.恒成立，即恒成立，即恒成立，，即，解得.实数的取值范围是.9.答案：(1)当时，当时，，解得；当时，，无解；当时，，解得.综上所述，不等式的解集为.(2)对于任意的，不等式恒成立，即恒成立，即恒成立.因为，所以要使原不等式恒成立，只需，解得或.所以实数的取值范围是.10.答案：(