新高考数学之圆锥曲线综合讲义第18讲角度、数量积定值问题(原卷版+解析)

第18讲角度、数量积定值问题一、解答题1．已知椭圆：的上下顶点分别为，且点．分别为椭圆的左、右焦点，且．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点是椭圆上异于，的任意一点，过点作轴于，为线段的中点．直线与直线交于点，为线段的中点，为坐标原点．求的大小．2．已知椭圆上的点到它的两个焦的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点．（）求圆和椭圆的方程．（）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值．3．已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆交于、两点。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线与圆相切，证明：为定值．4．已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．（Ⅰ）求椭圆的离心率及左焦点的坐标；（Ⅱ）求证：直线与椭圆相切；（Ⅲ）判断是否为定值，并说明理由．5．已知点F1为椭圆的左焦点，在椭圆上，PF1⊥x轴．（1）求椭圆的方程：（2）已知直线l与椭圆交于A，B两点，且坐标原点O到直线l的距离为的大小是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．6．如图，点M在椭圆1（0＜b）上，且位于第一象限，F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1，F2，M的圆与y轴交于点P，Q（P在Q的上方），|OP|•|OQ|＝1．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）直线PM与直线x＝2交于点N，试问，在x轴上是否存在定点T，使得•为定值？若存在，求出点T的坐标与该定值；若不存在，请说明理由．7．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且过点，过椭圆的左顶点A作直线轴，点M为直线上的动点，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于P（1）求椭圆C的方程；（2）求证：；（3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．8．已知椭圆左右焦点为，左顶点为A（-2.0），上顶点为B,且∠=.（1）求椭圆C的方程；（2）探究轴上是否存在一定点P，过点P的任意直线与椭圆交于M、N不同的两点，M、N不与点A重合，使得为定值，若存在，求出点P；若不存在，说明理由.9．已知椭圆C：(a>b>0)经过点(，1)，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设过点(－1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知椭圆(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与点F构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1，0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点E(m，0)，使恒为定值？若存在，求出E的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.11．已知椭圆的离心率为，右焦点为，直线l经过点F，且与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线l绕点F转动时，试问：在x轴上是否存在定点M，使得为常数?若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的左顶点坐标为，离心率为．求椭圆E的方程；过点作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知椭圆C：的离心率为，点P（1，）在椭圆C上，直线l过椭圆的右焦点与椭圆相交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求定点M的坐标；若不在，请说明理由．14．已知圆的圆心在轴上，半径，过点且与直线相切.（1）求圆的方程；（2）若过点的直线l与圆交于不同的两点，且与直线交于点，若中点为，问是否存在实数，使为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.第18讲角度、数量积定值问题一、解答题1．已知椭圆：的上下顶点分别为，且点．分别为椭圆的左、右焦点，且．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点是椭圆上异于，的任意一点，过点作轴于，为线段的中点．直线与直线交于点，为线段的中点，为坐标原点．求的大小．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）由顶点坐标得再在中利用椭圆几何条件得．（2）利用向量数量积研究的大小．先设，则得．求出直线与直线交点，得．再根据向量数量积得，根据代入化简得，即得．试题解析：解：(Ⅰ)依题意，得．又，在中，，所以．所以椭圆的标准方程为．(Ⅱ)设，，则，．因为点在椭圆上，所以．即．又，所以直线的方程为．令，得．又，为线段的中点，所以．所以，．因为，所以．．2．已知椭圆上的点到它的两个焦的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点．（）求圆和椭圆的方程．（）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值．【答案】（）；；（）见解析．【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义知，又，因此易求得，得椭圆方程，从而也得到圆的方程；（2）设出，，分别代入椭圆方程和圆的方程得到两个关系式，写出直线AP的方程，求出M点坐标，同理写出BP方程，求出N点坐标，再求得向量，并计算数量积，结果为0，可得．试题解析：（）依题意，得，，∴圆方程，椭圆方程．（）设，，∴，，，∵方程，令时，，方程为，令得，∴，，∴，∴．点睛：“设而不求”是解题过程中根据需要设邮变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种关系（如和、差、积）来表示变量之间的联系，在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到种“化难为易、化繁为简”的效果，在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，步骤一般如下：（1）设直线方程与椭圆为的两个交点坐标为；（2）联立直线与椭圆的方程组成方程组，消元得一元二次方程；（3）利用韦达定理得，，然后再求弦长以及面积，或求其他量（如本题向量的数量积）．3．已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆交于、两点。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线与圆相切，证明：为定值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，由椭圆的定义得，由椭圆的性质知，故易得椭圆方程；（Ⅱ）直线与椭圆相交，首选讨论直线斜率不存在的特殊情形，求得，因此在斜率存在时，设直线，交点，要证明，由直线与圆相切求得的关系，由直线方程与椭圆方程联立方程组后可得，然后计算，并把刚才的结论代入可得．试题解析：（Ⅰ）由题意得（Ⅱ）当直线轴时，因为直线与圆相切，所以直线方程为。当时，得M、N两点坐标分别为，当时，同理；当与轴不垂直时，设，由,,联立得，，=综上，（定值）考点：椭圆标准方程，直线与椭圆相交，定值问题．【名师点睛】1．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．2．求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．4．已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．（Ⅰ）求椭圆的离心率及左焦点的坐标；（Ⅱ）求证：直线与椭圆相切；（Ⅲ）判断是否为定值，并说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）答案见解析.【分析】（1）由题意可得，，据此确定离心率即可；（2）由题意可得.分类讨论和两种情况证明直线与椭圆相切即可；（3）设，，当时，易得．当时，联立直线方程与椭圆方程可得，结合韦达定理和平面向量的数量积运算法则计算可得．据此即可证得为定值．【详解】（1）由题意，，所以离心率，左焦点．（2）由题知，，即.当时直线方程为或，直线与椭圆相切．当时，由得，即所以故直线与椭圆相切．（3）设，，当时，，，，，所以，即．当时，由得，则，，．因为．所以，即．故为定值．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．5．已知点F1为椭圆的左焦点，在椭圆上，PF1⊥x轴．（1）求椭圆的方程：（2）已知直线l与椭圆交于A，B两点，且坐标原点O到直线l的距离为的大小是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．【答案】（1）y2＝1；（2）∠AOB为定值【分析】（1）由PF1⊥x轴，及点P的坐标可得F1的坐标，即c的值，将P的坐标代入，由a，b，c之间的关系的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论：当斜率不存在时由原点到直线的距离可得直线l的方程，代入椭圆中求出A，B的坐标，进而可得数量积的值为0，可得∠AOB；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由原点到直线的距离可得参数之间的关系，将其代入数量积的表达式，可得恒为0，即∠AOB恒为定值【详解】（1）因为PF1⊥x轴，又在椭圆上，可得F1(﹣1，0)，所以c=1，1，a2=c2+b2，解得a2=2，b2=1，所以椭圆的方程为：y2=1；（2）当直线l的斜率不存在时，由原点O到直线l的距离为，可得直线l的方程为：x，代入椭圆可得A(,)，B(,)或A(,)，B(,)，可得，所以∠AOB；当直线l的斜率存在时，设直线的方程为：y=kx+m，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由原点O到直线l的距离为，可得，可得3m2＝2(1+k2)，①直线与椭圆联立，整理可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0，=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)>0，将①代入中可得=16m2+8>0，x1+x2，x1x2，y1y2＝k2x1x2+km(x1+x2)+m2，所以，将①代入可得0，所以∠AOB；综上所述∠AOB恒成立．【点睛】本题考查了椭圆方程的求解及直线与椭圆的综合，考查了运算能力，属于中档题．6．如图，点M在椭圆1（0＜b）上，且位于第一象限，F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1，F2，M的圆与y轴交于点P，Q（P在Q的上方），|OP|•|OQ|＝1．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）直线PM与直线x＝2交于点N，试问，在x轴上是否存在定点T，使得•为定值？若存在，求出点T的坐标与该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）存在定点T（1，0），使得•为定值0．【分析】（I）设圆心．则圆的方程为：,令，得：，即可得出，进而得出．

（II）设．将代入圆与椭圆的方程，可得坐标，可得直线的方程，设，可得•，即可得出．【详解】（I）设圆心（0，t）．则圆的方程为：x2+（y﹣t）2＝c2+t2．令x＝0，得：y2﹣2ty﹣c2＝0（*），∴|OP|•|OQ|＝|yP•yQ|＝c2＝1．∴b＝a2﹣c2＝1．（II）设M（x0，y0）．将M（x0，y0）代入圆与椭圆的方程，可得：

2ty0﹣1＝0，22，消去x0，得t，代入（*）得：y21＝0，即，所以过F1，F2，M的圆与y轴交于点P，Q（P在Q的上方）.所以yP，.则.则直线的方程为：y，

由直线PM与的交点为.所以在直线PM的方程中，令得，．得设T（d，0），•（x0﹣d，y0）•（2﹣d，）

＝（x0﹣d）•（2﹣d）+1﹣x0＝（1﹣d）x0﹣d（2﹣d）+1．要使得•为定值，即与M的坐标无关.当d＝1时，•0为定值．存在定点T（1，0），使得•为定值0．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且过点，过椭圆的左顶点A作直线轴，点M为直线上的动点，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于P（1）求椭圆C的方程；（2）求证：；（3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．【答案】（1）（2）详见解析（3）4．【解析】试题分析：（1）两个独立条件可解得两个未知数：由离心率为得，由椭圆C过点得，即得，，则椭圆C的方程．（2）证明，一般从坐标表示出发：先设，则，又由B,P,M三点关系可得，从而，也可设直线斜率表示点的坐标（3）同（2）试题解析：（1）∵椭圆C：的离心率为，∴，则，又椭圆C过点，∴．2分∴，，则椭圆C的方程．4分（2）设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为，设，将代入椭圆C的方程中并化简得：，6分解之得，，∴，从而．８分令，得，∴，．9分又＝，11分∴，∴．13分（3）=．∴为定值4．16分考点：直线与椭圆位置关系，椭圆方程8．已知椭圆左右焦点为，左顶点为A（-2.0），上顶点为B,且∠=.（1）求椭圆C的方程；（2）探究轴上是否存在一定点P，过点P的任意直线与椭圆交于M、N不同的两点，M、N不与点A重合，使得为定值，若存在，求出点P；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在点使得为定值【分析】（1）由题意知a，结合∠=可得c，．再利用a2＝b2+c2，得b2即可．（2）直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，利用数量积为定值，得到k与m的关系，即可得出结论．【详解】（1）由题意知：又∠=，所以为正三角形，,,椭圆C的方程为；（2）设直线MN的为,M,N,,,,，消去y得,,由韦达定理,,,,得,为定值，则，即,得即存在点使得为定值.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．9．已知椭圆C：(a>b>0)经过点(，1)，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设过点(－1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)－.【解析】试题分析：(Ⅰ)由以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点可知，将点代入椭圆方程，即可求得和的值，从而求得椭圆方程；(Ⅱ)分类讨论，当斜率存在时，将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，及恒为定值即可求得的值，从而求得的值及点坐标；当直线的斜率不存在时，点，则时，求得的值及点坐标.试题解析：(Ⅰ)由题意可得圆的方程为x2＋y2＝b2.因为该圆经过椭圆的焦点，所以半焦距c＝b，所以a2＝2b2.将点(，1)代入椭圆方程可得b2＝2，a2＝4，所以椭圆C的方程为.(Ⅱ)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(m,0)．当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)．联立得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－4＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，又y1y2＝k2(x1＋1)(x2＋1)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝k2＝，而＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝＋＝＝为定值，只需，解得m＝－，从而＝－，当直线l的斜率k不存在时，点A(－1，)，B(－1，-)，此时，当m＝－时，＝(－1－m)(－1－m)－＝－.综上，存在点M(－，0)，使得＝－.【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和平面向量数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.10．已知椭圆(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与点F构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1，0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点E(m，0)，使恒为定值？若存在，求出E的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）求出抛物线的焦点坐标，可得c，再求出b的值，即可求椭圆的方程；

（2）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可求得结论．试题解析：(1)由题意，知抛物线的焦点为F(，0)，所以c＝＝.因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形，所以b＝×＝1.可求得a＝2，故椭圆的方程为＋y2＝1.(2)假设存在满足条件的点E，当直线l的斜率存在时设其斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1).由得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝.则＝(m－x1，－y1)，＝(m－x2，－y2)，所以·＝(m－x1)(m－x2)＋y1y2＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)＝m2－＋＋k2＝＝＝(4m2－8m＋1)＋.要使·为定值，则2m－＝0，即m＝，此时·＝.当直线l的斜率不存在时，不妨取P，Q，由E，可得＝，＝，所以·＝－＝.综上，存在点E，使·为定值.11．已知椭圆的离心率为，右焦点为，直线l经过点F，且与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线l绕点F转动时，试问：在x轴上是否存在定点M，使得为常数?若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在定点满足题意【分析】（1）由题意得，再根据右焦点为，求出的值，就可得到的值，再根据，，的关系，解出值，则椭圆方程可知；（2）当直线斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，求出，，设出M点坐标，以及，要使其为常数，只需要，化简，可求出的值，当直线垂直于轴时，同样求出的值，两者一致，所以在轴上存在定点M，使得为常数.【详解】（1）由题意可知，，又，解得，所以，所以椭圆的方程为．（2）若直线不l垂直于x轴，可设的方程为．由得．．设，，则，．设，则，，要使得（为常数），只要，即．对于任意实数k，要使式恒成立，只要，解得．若直线l垂直于x轴，其方程为，此时，直线l与椭圆两交点为，，取点，有，，．综上所述，过定点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l绕点F转动时，存在定点，使得．【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，以及动直线与椭圆相交时存在性问题的解法．做题时综合运用了向量数量积的运算，韦达定理的应用，属于难题.12．已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的左顶点坐标为，离心率为．求椭圆E的方程；过点作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】1；2.【分析】设出椭圆的方程，得到关于a，c的方程组，解出即可求出椭圆方程；假设存在符合条件的点，设，，求出，通过讨论当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，联立直线和椭圆的方程，结合韦达定理求出m的值，当直线l的斜率不存在时，求出直线方程，代入检验即确定．【详解】设椭圆E的方程为，由已知得，解得：，所以．所以椭圆E的方程为．假设存在符合条件的点，设，，则，，，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由，得：，，，，，对于任意的k值，上式为定值，故，解得：，此时，为定值；当直线l的斜率不存在时，直线l：，，，，由，得为定值，综合知，符合条件的点M存在，其坐标为．【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，以及存在性问题、转化与划归思想的应用，属于难题．解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成