专题19与平行四边形有关的动态问题与最值问题

专题19与平行四边形有关的动态问题与最值问题题型一与平行四边形有关的动态问题1．如图，四边形中，，，．点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当线段将四边形截出一个平行四边形时，此时的运动时间为2或3．【解答】解：设运动时间为，由题意可得，，，，，当时，四边形为平行四边形，，．，当时，四边形为平行四边形，，．综合以上可得或时，线段将四边形截出一个平行四边形．故答案为2或3．2．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，，，，点从点出发，沿着边运动到点停止，在点运动过程中，若是直角三角形，则的长是或．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，如图，当时，，，，，，；当时，，，，，综上所述：的长是或，故答案为或．3．如图，在，，，、点从点出发沿边运动到点，点从点出发沿边向点运动，点运动速度为，点运动速度为，它们同时出发，同时这运动，经过4或时，．【解答】解：如图，过点作于，，，，，设经过时，，当四边形是平行四边形时，，，，当四边形是等腰梯形，，，综上所述：经过4或时，，故答案为4或．4．如图，等边的边长为，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为A．或 B．或 C．或 D．或【解答】解：①当点在的左侧时，根据题意得：，，则，，当时，四边形是平行四边形，即，解得：；②当点在的右侧时，根据题意得：，，则，，当时，四边形是平行四边形，即，解得：；综上可得：当或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形．故选：．5．如图，在四边形中，，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点向点运动，当2或3秒时，直线在四边形内部能截出一个平行四边形．【解答】解：设点、运动的时间为秒，依题意得，，，，，①当时，四边形是平行四边形，即，解得．②当时，四边形是平行四边形，即，解得，，所以经过2秒或3秒后，直线将四边形截出一个平行四边形．故答案为：2或3．6．如图，在中，已知，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上以的速度从点出发在上往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），设运动时间为，若以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则的值错误的是A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：设经过秒，以点、、、为顶点组成平行四边形，在上运动，，即，以点、、、为顶点组成平行四边形，，分为以下情况：①点的运动路线是，由题意得：，解得：；②点的运动路线是，由题意得：，解得：；③点的运动路线是，由题意得：，解得：；综上所述，的值为6或10或12，故选：．7．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向运动，同时，点从点以相同的速度向运动．当点运动到点时，点随之停止运动．若设运动的时间为秒，以点、、、、、任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则的值是A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：．时，，，，，因，此时构成一个平行四边形，不符合题意；．时，，，，，因，此时构成一个平行四边形，不符合题意；．时，，，，，因，此时只构成一个平行四边形，不符合题意．．时，，，，则，因，此时有2个平行四边形：平行四边形和平行四边形，符合题意．故选：．8．如图，已知四边形，，分别是，上的点，，分别是，的中点，当点在上从点向点移动而点不动时，线段的长A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．不能确定【解答】解：连接．、分别是、的中点，为的中位线，，的长为定值，线段的长不改变．故选：．9．如图，在四边形中，且，，点、分别从点、同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动．问几秒后直线将四边形截出一个平行四边形？【解答】解：设点，运动的时间为．依题意得：，，，．，①当时，四边形是平行四边形．即，解得．②当时，四边形是平行四边形，即，解得：．所以经过2秒或3秒后，直线将四边形截出一个平行四边形．10．如图所示，在四边形中，，，，点从点向点以的速度运动；同时点从点向点以的速度运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为秒．（1）用含有的代数式表示：，，，；（2）求出点从运动开始到停止用多少时间；（3）求运动时间为多少秒时，四边形是平行四边形．【解答】解：（1）由题意得：，，则，，故答案为：，，，；（2）（秒，即点从运动开始到停止用15秒；（3）若四边形是平行四边形，，满足时，四边形是平行四边形，，解得：，当秒后四边形是平行四边形．11．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到点，的对应点分别是，，连接，，．（1）求点，的坐标及四边形的面积．（2）在轴上是否存在点，连接，，使？若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，试说明理由．（如图（3）点是线段上的一个动点，连接，，当点在上移动时（不与，重合）给出下列结论：（如图．①的值不变；②的值不变；③的值可以等于；④的值可以等于．以上结论中正确的是：②④．【解答】解：（1）点，的坐标分别为，，现同时将点，向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到点，的对应点分别是，，，，四边形的面积；（2）设时点到的距离为，则，解得，要使，则点的坐标为，；（3）过点作，则，，，，，，值不变，正确；同理可得出：①的值不变，错误；③当点在点时，的值最小，此时，故不可以等于，此选项错误；，的值可以等于，则该选项正确．故答案为：②④．12．如图，在直角梯形中，，，且，，．若动点从点出发，以每秒的速度沿线段、向点运动；动点从点出发以每秒的速度沿向点运动，当点到达点时，动点、同时停止运动．设点、同时出发，并运动了秒，（1）直角梯形的为12，周长为；（2）当为多少时，四边形成为平行四边形？（3）是否存在，使得点在线段上且？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）如图1所示，过点作于，，，四边形是矩形，，，由勾股定理得，，，直角梯形的周长；故答案为：12，32；（2）由题意得：，，，，当时，四边形成为平行四边形，则，解得：；即为秒时，四边形成为平行四边形；（3）存在，使得点在线段上且，理由如下：作于，连接，如图2所示：点在上，，，，的面积，，在中，由勾股定理得：，，解得：此时，，存在秒，使得点在线段上且．13．如图，直角梯形中，，，已知，，动点从点出发，沿线段向点作匀速运动；动点从点出发，沿线段向点作匀速运动．过点垂直于的射线交于点，交于点．、两点同时出发，速度为每秒1个单位长度，当点运动到点，、两点同时停止运动，设点运动的时间为秒．（1）当为何值时，四边形构成平行四边形？（2）试用含的代数式分别表示与的长度．（3）若设的面积为，试求出关于的函数关系式．【解答】解：（1）由于四边形构成平行四边形，，即，解得，则当时，四边形构成平行四边形；（2），，在中，，，在中，，，；，（3），则的面积为：．14．如图，在中，对角线，相交于点，，，．点从点出发沿方向匀速运动，速度为，连接并延长交于点．设运动时间为（1）当为何值时，四边形是平行四边形？（2）设四边形的面积为，当时，求的值．【解答】解：（1）当时，四边形是平行四边形，理由是：四边形是平行四边形，，，，，，，在和中，，，，即，，四边形是平行四边形，即当时，四边形是平行四边形；（2）过作于，过作于，，，，在中，由勾股定理得：，由三角形的面积公式得：，，，，，，，，，在和中，，，的面积，当时，，的面积为，．15．如图，在四边形中，，，，点自点向以的速度运动，到点即停止．点自点向以的速度运动，到点即停止，点，同时出发，设运动时间为．（1）用含的代数式表示：；；；．（2）当为何值时，四边形是平行四边形？（3）当为何值时，四边形是平行四边形？【解答】解：（1），，，（2）根据题意有，，，．，当时，四边形是平行四边形．，解得．时四边形是平行四边形；（3）由，，，，，如图1，，即，当时，四边形是平行四边形．即：，解得，当时，四边形是平行四边形．16．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿线段的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒．（1）若四边形为平行四边形，求运动时间．（2）当为何值时，三角形是以或为底边的等腰三角形？【解答】解：（1）四边形为平行四边形，，又，，，解得；（2）如图，过作于，当为顶角时，，，，，依据有：，解得；当为顶角时，，由有：，解得，综上，或时，符合题意．

题型二与平行四边形有关的最值问题17．如图，在平行四边形中，，，，是边上任意一点，沿剪开，将沿方向平移到的位置，得到四边形，则四边形周长的最小值为A．24 B．22 C．30 D．28【解答】解：当时，四边形的周长最小，，，．，，沿方向平移到的位置，，四边形周长的最小值为：，故选：．18．如图，在中，，，，为斜边边上的一动点，以、为边作平行四边形，则线段长度的最小值为．【解答】解：如图，过点作于，在中，，，，，，，四边形是平行四边形，，当时，有最小值，此时：，故答案为．19．如图，已知，，，为的中点，为上的一动点，以、为一组邻边构造，连接，则的最小值是9．【解答】解：如图，当时，垂足为，此时的值最小，过点作于，，，，，，为的中点，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，，和中，，，，．故答案为：9．20．如图，已知与，是直线上的一条动线段且在的下方），当最小时，点坐标为A．， B．， C． D．【解答】解：作点关于直线的对称点，过点作直线，使得平行于直线，并沿向下平移单位后得连接交直线于点如图理由如下：，四边形是平行四边形且当值最小时，值最小根据两点之间线段最短，即，，三点共线时值最小，直线的解析式即点坐标，故选：．21．如图，在平行四边形中，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接．则的最小值为A．2 B． C．1 D．【解答】解：如图，连接，四边形是平行四边形，，，，点、分别是、的中点，是的中位线，，当最小时，有最小值，当时，最小，则，此时，，，即的最小值是，故选：．22．如图，在中，，，点是射线上的一个动点，以，为邻边作平行四边形，则边的最小值为A．4 B．2 C． D．【解答】解：四边形是平行四边形，，由垂线段最短可得，当时，值最小，，，，在中，，，，，故选：．23．如图，在中，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点、分别为、的中点，连接，则的最小值为A．1 B． C． D．【解答】解：如图，连接，、分别为、的中点，，的最小值，就是的最小值，当时，最小，中，，，，，的最小值是．故选：．24．如图，在中，，，，点在线段上一动点，以为对角线的平行四边形中，则的最小值是6．【解答】解：平行四边形的对角线的交点是的中点，当时，最小，即最小．，，，又平行四边形中，，，是的中位线，，，．在中，，，，，．故答案为6．25．如图，在中，，，，为上的动点，连接以、为边作平行四边形，则长的最小值为A．3 B．4 C． D．【解答】解：当时，的长最小，四边形是平行四边形，，，，作于，如图所示：则四边形是矩形，，，，，，是直角三角形，，的面积，，的最小值为；故选：．26．如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点（含端点，但点不与点重合）点，分别是线段，的中点，若线段的最大值为2.5，则的长为A．5 B． C．2.5 D．3【解答】解：点，分别是线段，的中点，，，，最大时，最大，线段的最大值为2.5，．与重合时最大，此时，．故选：．27．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的点、点，，点，则对角线的最小值是A． B． C．5 D．6【解答】解：点，令，，在直线上，设，交于点，如图1，是和的中点，，，当最小时，最小，过作直线于，根据垂线段最短，，所以的最小值为，即当直线时，最小，则最小，设直线与轴，轴交于点，，如图2，令，则，，同理，，，，又，，为等腰直角三角形，，，，，且，，，即对角线的最小值为，故选：．28．如图，已知的顶点、分别在直线和上，是坐标原点，则对角线长的最小值为A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：过点作直线，交直线于点，过点作轴，交轴于点，直线与交于点，与轴交于点，直线与交于点，如图：四边形是平行四边形，，，，直线与直线均垂直于轴，