第11讲平方根与立方根（5种题型）（原卷版）

第11讲平方根与立方根（5种题型）1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．3.了解立方根的含义；4.会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.一．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“-a”正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．二．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．三．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．四．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．【规律方法】平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．五．计算器—数的开方正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．一．平方根（共6小题）1．（2022秋•泗阳县期末）16的平方根是（）A．4 B．±4 C．2 D．±22．（2023•沛县三模）64的平方根是．3．（2022秋•高邮市期末）若﹣m是a的平方根，则（）A．m＝a2 B．m2＝a C．m＝﹣a2 D．﹣m2＝a4．（2022秋•常州期末）已知2（x﹣1）2＝18，求x的值．5．（2022秋•苏州期末）求方程中x的值：（x﹣2）2＝3．6．（2021秋•常熟市校级月考）求下列各式中x的取值：（1）2x2﹣8＝0．（2）4（2x﹣1）2＝9．二．算术平方根（共10小题）7．（2022秋•南京期末）4的平方根是（）A． B．± C．2 D．±28．（2018秋•秦淮区期末）3的算术平方根是（）A．± B． C．﹣ D．99．（2022秋•玄武区期末）13的平方根是；9的算术平方根是．10．（2022秋•太仓市期末）面积为2cm2的正方形的边长为cm．11．（2022秋•秦淮区月考）实数4的平方根是（）A．2 B．﹣2 C． D．±212．（2023•淮阴区模拟）计算：＝．13．（2022秋•吴江区校级月考）已知2a﹣1的算术平方根为3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2的平方根．14．（2022秋•高新区校级期中）已知±是2a﹣1的平方根，3是3a+2b﹣3的算术平方根，求a+2b的平方根．15．（2022秋•建湖县期中）小明的爸爸打算用如图一块面积为900cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为768cm2的桌面．（1）求正方形工料的边长；（2）若要求裁出的桌面的长宽之比为4：3，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由．16．（2022秋•海陵区校级月考）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．三．非负数的性质：算术平方根（共12小题）17．（2022秋•崇川区校级月考）已知a，b满足（a﹣1）2+＝0，则a+b的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．018．（2021秋•仪征市期末）已知实数x，y满足（x﹣3）2++|z﹣5|＝0，则以x，y，z的值为边长的三角形的周长是（）A．6 B．12 C．14 D．以上答案均不对19．（2022秋•高邮市期末）若与（ab+6）2互为相反数，则a﹣b的值为．20．（2022秋•大丰区期末）若+（1﹣y）2＝0，则xy的平方根＝．21．（2022秋•江都区期末）已知a，b都是实数，若，则a﹣b＝．22．（2022秋•江都区月考）如果，那么x+2y的算术平方根为．23．（2022秋•姑苏区校级期中）已知实数x，y满足，则代数式（x+y）2022的值为．24．（2022秋•盐都区期中）已知x，y满足，则x+y＝．25．（2022秋•苏州期中）已知，则xy＝．26．（2022秋•工业园区校级月考）若m，n满足等式（m﹣2）2+＝0．（1）求m，n的值；（2）求4m﹣3n的平方根．27．（2021秋•无锡期末）已知与（x﹣y+3）2互为相反数，求（x2+y）的平方根．28．（2022春•绥棱县校级期中）已知a、b满足+|b﹣|＝0，解关于x的方程（a+2）x+b2＝a﹣1．四．立方根（共5小题）29．（2022秋•苏州期末）若a3＝1，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．030．（2022•射阳县校级二模）﹣8的立方根是（）A．﹣2 B． C． D．231．（2023•淮阴区三模）8的立方根是．32．（2022秋•无锡期末）已知一个正数的两个平方根分别为a和2a﹣6．（1）求a的值，并求这个正数；（2）求10a+7的立方根．33．（2022秋•宿豫区期末）求下列各式中的x：（1）4x2＝25；（2）（x+1）3＝﹣8．五．计算器—数的开方（共4小题）34．（2022•惠阳区校级开学）（1）用计算器计算：＝＝＝＝（2）观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？（3）试运用发现的规律猜想：＝，并通过计算器验证你的猜想．35．（2016秋•灌云县月考）按要求填空：（1）填表：a0.00040.044400（2）根据你发现规律填空：已知：＝2.638，则＝，＝；已知：＝0.06164，＝61.64，则x＝．36．（2019春•济宁期中）用计算器探索．已知按一定规律排列的一组数：1，，，…，，，如果从中选择出若干个数，使它们的和大于3，那么至少要选几个数？37．（2017秋•靖江市校级期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表：n160.160.00161600160000…40.40.0440400…（1）表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来）（2）运用你发现的规律，探究下列问题：已知≈1.435，求下列各数的算术平方根：①0.0206；②2060000．一、单选题1．（2022秋·江苏淮安·八年级校考期末）的平方根为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）若是a的平方根，则（）A． B． C． D．3．（2020春·江苏扬州·八年级扬州教育学院附中校考期中）化简的结果是()A． B． C．3 D．94．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）36的算术平方根是（）A．6 B． C．18 D．5．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）一个正方形的面积为29，则它的边长应在（

）A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间6．（2023秋·江苏盐城·八年级校考期末）已知的三边a，b，c满足，那么是（

）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能判断二、填空题7．（2022秋·江苏·八年级期末）在做浮力实验时，小华用一根细线将一圆柱体铁块拴住，完全浸入盛满水的溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为60立方厘米，小华又将铁块从溢水杯中拿出来，量得溢水杯的水位下降了0.8厘米，则溢水杯内部的底面半径为______厘米（取3）．8．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）一个正数的两个平方根为和，则这个数为______．9．（2020秋·江苏南京·八年级统考期末）________10．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期末）计算______．11．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）如果一个正数x的平方根为和，那么这个正数x的值是______．12．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期末）若，则xy的平方根______．13．（2023春·江苏南通·八年级校联考期中）若，均为实数，且，则=________.14．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）已知a、b、c满足，则的平方根为____________．三、解答题15．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考期中）计算下列各题，(1)已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根；(2)已知，，求．16．（2021秋·江苏宿迁·八年级统考期末）求式中x的值：(1)；(2)．17．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）已知m是144的平方根，n是125的立方根．(1)求m、n的值；(2)求的平方根．18．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）小明的爸爸打算用如图一块面积为的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为的桌面．(1)求正方形工料的边长；(2)若要求裁出的桌面的长宽之比为，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由．19．（2022秋·江苏·八年级期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：a…0.04440040000……x2yz…(1)表格中的三个值分别为：x＝；y＝；z＝；(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝；(3)利用这一规律，解决下面的问题：已知，则①≈；②≈．20．（2022秋·江苏泰州·八年级校考期中）已知a，b，c都是实数，且满足，且，求代数式的值．一、单选题1．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）若一个数的立方为，则这个数是（）A． B．3 C． D．2．（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）若，则的值为（）A． B．1 C． D．03．（2023春·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）面积为2的正方形的边长在（

）A．0和之间 B．和1之间 C．1和之间 D．和2之间4．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）下列实数，，，，，中无理数的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知，则的相反数是（

）A． B． C． D．6．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）下列各式中计算正确的是：（

）A． B． C． D．7．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）16的算术平方根是（

）A．±8 B．±4 C．4 D．－48．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知x，y为实数，且满足，则的值为（

）A．4 B．6 C．9 D．169．（2023春·江苏·八年级专题练习）若a、b、c为三角形的三条边，则+|bac|=(

).A．2b2c B．2a C．2 D．2a2c10．（2023春·江苏·八年级专题练习）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（）A．11 B．10 C．9 D．8二、填空题11．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）计算：______．12．（2023秋·江苏南京·八年级校联考期末）实数的算术平方根是_______________．13．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）计算：＝_______14．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）已知实数、满足，则的值为______________．15．（2023春·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，矩形中，两个小正方形的面积分别为、，若，，则图中阴影部分面积为__________．16．（2023春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）若，则的值为_____17．（2023秋·江苏徐州·八年级校考期末）若和是一个正数x的两个平方根，则________．18．（2023春·江苏·八年级开学考试）如图，将五个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______．19．（2023秋·江苏苏州·八年级期中）若，都为实数，且，则______．20．（2023春·江苏·八年级专题练习）观察下列各式：＝＝＝2，即＝2＝＝＝3，即＝3，那么＝_____．三、解答题21．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）求下列各式中的x．(1)(2)(3)22．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算：．23．（2023春·江苏·八年级专题练习）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即