复数与复变函数

复变函数与积分变换复变函数与积分变换及应用背景M.Kline（莫里斯克莱恩）(1908-1992)(《古今数学思想》(MathematicalThoughtfromAncienttoModernTimes)的作者,美国数学史家)指出:从技术观点来看,十九世纪最独特的创造是单复变函数的理论。这个新的数学分支统治了十九世纪,几乎象微积分的直接扩展统治了十八世纪那样。这一丰饶的数学分支,一直被称为这个世纪的数学享受。它也被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一。（1）计算某些复杂的实函数的积分。J.Hadamard（阿达马）说：实域中两个真理之间的最短路程是通过复域。（2）流体的平面平行流动等问题的研究；（3）计算绕流问题中的压力和力矩；著名例子：飞机机翼剖面压力的计算，从而研究机翼的造型问题。复变函数理论的应用（4）计算渗流问题.

例如：大坝、钻井的浸润曲线.（5）平面热传导问题、电(磁)场强度.

例如：热炉中温度的计算.（7）Fourier变换应用于频谱分析和信号处理等（6）复变函数理论也是积分变换的重要基础（8）Laplace变换应用于控制问题

（9）Z变换应用于离散控制系统（10）小波分析的应用领域十分广泛,如信号分析和图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、地质勘探与地震预报等等。第一章复数与复变函数熟练掌握用复数的三角式进行计算的方法；正确理解辐角的多值性；正确理解复变函数及相关概念第一节复数基本理论理解复数的概念熟练掌握复数的表示和运算了解复数域、复平面、复球面与无穷大一、复数与复数域

每个复数具有z=x+iy的形式，其中x和y是实数，i是虚数单位(-1的平方根）。

x和y分别称为实部和虚部，分别记作：复数的共轭定义为：1、复数容易验证例1设、是两个复数，求证：两个复数相等指它们的实部与虚部分别相等。如果Imz=0，则z可以看成一个实数；如果Imz不等于零，那么称z为虚数；如果Imz不等于零，而Rez=0，则称z为纯虚数。注意：2、复数的四则运算复数的四则运算定义为：

复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域(对加、减、乘、除运算封闭），记为C。复数域可以看成实数域的扩张。3、复数的几何表示在平移关系下

复数可以等同于平面中的向量等价类BA注意：几个重要不等式4、非零复数的三角表示向量的长度称为复数的模，定义为：非零复数与实轴正向之间的夹角称为复数的辐角，记为Argz

当z落于一,四象限时，不变。

当z落于第二象限时，加。

当z落于第三象限时，减。

三角表示的乘除法其中后一个式子应理解为集合相等两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。几何意义

将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。

同理，对除法，也有：其中后一个式子也应理解为集合相等。即两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。三角表示的乘幂——棣模佛(DeMoivre)公式

进一步，有：

可以看到，k=0,1,2,…,n-1时，可得n个不同的值，即z有n个n次方根，其模相同，辐角相差一个常数，均匀分布于一个圆上。

k取其它整数时，这些根又会重复出现。例2求所有值解：由于所以有有四个根。1.南极、北极的定义S二、复球面与无穷大Nyzxo对复平面内任一点P,用直线将P与N相连,与球面相交于Q点（球极投影）。

2.复球面的定义SNyzxoQP球面上的点，除去北极N外，都和复平面上的点之间存在一一对应的关系。我们规定:

复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作

。球面上的北极N就是复数无穷大

的几何表示。SNyzxoQP球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面3.扩充复平面的定义不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面，记作C。包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面，记作。复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.对于复数来说,与有限复数的基本运算为：这些运算也无意义：实部,虚部,辐角等概念均无意义；模规定为正无穷大，即第二节复变函数正确理解复变函数概念掌握复变函数极限、连续等内容一、复变函数的概念Def1.设G是一个复数的集合，z=x+iy。如果有一个确定的法则存在，使得按照这一法则，对于集合G中的每一个复数

z，都有确定的（一个或几个）复数w=u+iv与之对应，则称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数)，记作如果z的一个值对应着w的一个值,则函数f(z)是单值的；否则就是多值的。集合G称为f(z)的定义域,对应于G中所有z对应的一切w值所成的集合G*,称为值域。在以后的讨论中,定义集合G常常是一个平面区域,称之为定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数。与实变函数的关系：一个复变函数相当于一对二元实变函数二、复变函数的极限复变函数极限的计算，可归结为二元实函数极限的计算[证]必要性:根据极限的定义有存在时，或当时，即因此有充分性:而则当时，有由极限定义，对于任给，总存在使当时，即三、复变函数的连续性例如，函数在复平面内除原点外处处连续。因为除原点外是处处连续的。而处处连续。解例求极限例求极限解

因为所以有故有区域初步概念:

a的r邻域定义，或以为a圆心，为r半径的圆盘U(a,r)定义为：

以为a圆心，为r半径的闭圆盘定义为：极限点、内点、边界点:中有无穷个点，则称a为的E极限点；,则称a为E的内点；中既有属于E的点，又有不属于E的点，则称a为的E边界点；集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，记为闭包、孤立点、开集、闭集:称为D的闭包，记为若对存在一个r>0，使得则称a为的E孤立点（是边界点但不是聚点）；开集：所有点为内点的集合；闭集：或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；1、任何集合的闭包一定是闭集；2、如果存在r>0

，使得，则称E是有界集，否则称E是无界集；3、复平面上的有界闭集称为紧集。区域的例子:例1、圆盘U(a,r)是有界开集；闭圆盘是有界闭集；例2、集合{z||z-a|=r}是以为a心，r为半径的圆周，它是圆盘U(a,r)和闭圆盘的边界。例3、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。例4、集合E={z|0<|z-a|<r}是去掉圆心的圆盘。圆心a边界点，它是E边界的孤立点，是集合E的聚点。无穷远点的邻域:

对一切r>0,集合

称为无穷远点的一个r邻域。类似地，我们可以定义聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。我们也称扩充复平面为复平面的一点紧化。区域、曲线:

复平面C上的集合D，如果满足：（1）、D是开集；（2）、D中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的所有点完全属于D。则称D是一个区域。结合前面的定义，可以定义有有界区域、无界区域。连通性:性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。区域D内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。

扩充复平面:

在扩充复平面上，不含无穷远点的区域的定义同上；含无穷远点的区域是C上的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。注意：加上无穷远点后，许多性质将有很多变化。曲线:设已给如果Rez(t)和Imz(t)都是闭区间[a,b]上连续函数，则称这些点组成集合为一条连续曲线。如果对上任意不同两点t及s，但不同时是的端点，我们有:即是一条除端点外不自交的连续曲线，那么上述集合称为一条简单连续曲线，或若尔当曲线。若还有z(a)=z(b)，则称为一条简单连续闭曲线，或若尔当闭曲线。若尔当定理:

若尔当定理：任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。光滑曲线:光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在[a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。区域的连通性:

设D是一个区域，在复平面C上，如果D内任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点都属于D，则称D是单连通区域;否则称D是多连通区域。例1:集合为半平面，它是一个单连通无界