1.3 两个重要极限 无穷小量与无穷大量_第1页
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复习：一、极限的四则运算二.极限求法;1.多项式与分式函数代入法求极限;2.求函数极限时，经常出现等情况，都不能直接运用极限运算法则，必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限．常使用的有以下几种方法．（1）对于有理分式的型，常因式分解、约分，再求极限（4）对于型，可将分子分母同时除以未知数的最高次幂，然后再求极限．3.利用左右极限求分段函数极限.（2）对于无理分式的型，分子、分母有理化，

约分，再求极限.（3）对于型，往往需要先通分，化简，再求极限.1.3

两个重要极限无穷小量与无穷大量一、两个重要极限二、无穷小与无穷大量一、两个重要极限极限1注意：（2）所求变量中带有三角函数；（1）（3）解:

例1

求例2求解：凑例3解:原式凑例4

求解：原式例5求例6求解：原式解：原式例7求解：原式极限2注意：（1）式子中，x可以用其他任何字母或式子代替。（2）底是，指数是;趋势是，因此可记为：如：解：原式例9求解：原式例8求练习1求下列极限：例10求解：原式另解二：原式另解一：令，则原式

练习2求极限

（2）（1）例11求解：原式一、两个重要极限或注:代表相同的表达式小结（1）牢记两个重要极限的形式、结论。（2）方法：能凑则凑，不能凑换元当1、无穷小定义1若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;为时的无穷小量，简称无穷小.三、无穷小与无穷大量即说明:①同一个函数，在不同的趋向下，可能是无穷小，也可能不是无穷小；②无穷小不是一个常量，是在一个变化过程中的变量；③零是唯一可作为无穷小的常数。如无穷小运算法则（在同一变化过程中）性质1.有限个无穷小的和还是无穷小.说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，性质2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.解:利用性质2可知的水平渐近线.说明:是例12求例13求解2.无穷大量定义2.如果当时,函数的绝对值无限增大，则称函数为当时的无穷大量，简称无穷大。记作说明：若成立，则也称函数为当时的无穷大。注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,函数当但所以时,不是无穷大!3.若，则直线为曲线y=f(x)

的垂直渐近线3.无穷小与无穷大的关系若为无穷大,则为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.

在自变量的同一变化过程中,说明:解：例14求例16指出自变量x在怎样的变化趋势下，下列函数为无穷小、无穷大量

（2）解：（1）因为因为，

（1）所以当时，所以当时，

（2）解：（2）因为因为所以当时，所以当时，填空：4.无穷小的比较例如,不存在，不可比.

由上面结果可看出，当时，同为无穷小,但是趋向于零的“快慢”程度却有不同.定义例如，例5解常用等价无穷小:证明例7求解定理(等价无穷小代换定理)例8解例9解解：原式例10求小结：

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